平抛运动与斜面结合问题的剖析

郝占忠

平抛运动经常和斜面结合起来命题，求解此类问题的关键是挖掘隐含的几何关系。下面举例说明，供同学们参考。

一、物体从斜面顶端平抛，最终落回到斜面上

解决这类问题的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件，隐含条件的本质是给出了位移的方向，即位移方向与水平方向间的夹角与斜面的倾角相等，进而已知，则可以利用该式算出物体的运动时间。

1．研究从斜面顶端开始平抛并落回到斜面上的时刻。

（1）全过程中物体的位移方向沿斜面方向，即物体的竖直分位移与水平分位移之比等于斜面倾角的正切值。

（2）物体的竖直分速度与水平分速度之比等于斜面倾角正切值的两倍。

例1 如图1所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端，以初速度v1水平抛出一个小物体a，同时小物体b以初速度v2沿斜面下滑，两物体同时到达斜面上的P点，则二者的初速度v1和v2大小之比为（     ）。

A．1：1

B．1：cos θ

C．cos θ：1

D．1：cos2θ

解析：物体b沿光滑斜面下滑，初速度大小为v2，加速度大小为gsinθ。物体a做平抛运动，将其沿斜面方向和垂直于斜面方向进行分解，则沿斜面方向的初速度大小为v1cosθ，加速度大小为gsinθ（与物体6的加速度相同）。两物体要想在斜面上的某点相遇，则必须保持二者沿斜面方向的初速度大小相等，即v1cosθ=v2，因此v1：v2=1：cosθ。

答案：B

说明：当两物体同时从同一高度（或同一点）抛出时，两物体在竖直方向上均做白由落体运动，始终在同一高度上，二者的间距只取决于两物体的水平分运动。

2．研究速度与斜面平行的时刻。

（1）物体的竖直分速度与水平分速度之比等于斜面倾角的正切值。

（2）该时刻是全运动过程的中间时刻。

（3）该时刻之前与该时刻之后物体沿竖直方向的位移之比为1：3。

（4）该时刻之前与该时刻之后物体沿斜面方向的位移之比不是1：3。

例2如图2所示，在倾角为臼的斜面顶端以初速度v0水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离达到最大，最大距离为多少？

解析：将小球的平抛运动分解为沿斜面向下和垂直于斜面向上的分运动，观察分运动的情况可以凸显小球离开斜面距离达到最大的物理本质。取沿斜面向下为x轴的正方

二、物体平抛后垂直撞击斜面

物体在垂直撞击斜面的时刻满足的几何关系是速度方向与水平方向间的夹角与斜面的倾角互余。

例3 如图4所示，以初速度v0=10 m/s水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ=30°的斜面上，取重力加速度g=10 m/s2，则物体完成这段飞行所用的时间是（    ）。

答案：C

说明：对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，那么往往可以从分解速度的角度来研究问题；如果知道了某一时刻的位移方向，那么往往可以从分解位移的角度来研究问题。

三、物体在斜面上做类平抛运动

平抛运动是一种典型的匀变速曲线运动，如果物体所受的恒力并非重力，但其初速度也与加速度垂直，则该物体的运动也是匀变速曲线运动，其轨迹也是抛物线．其运动规律与平抛运动规律很类似，那么可以将其称为“类平抛运动”，比如小球在光滑斜面上沿水平方向或沿斜面抛出后在斜面上的运动就是类平抛运动。

例4如图6所示，光滑斜面的倾角为θ，斜边长为L，斜面顶端有一小球以平行于底边的初速度v0水平抛出，则小球滑到斜面底端时，在水平方向上的位移为多大？小球到达斜面底端时的速度为多大？

说明：求解物体在斜面上的类平抛运动问题的关键是准确分析物体的运动性质，灵活运用平抛运动的基本规律和方法技巧。

跟踪训练 1．如图7所示，在一同定斜面体的顶点以大小相同的初速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，已知斜面体两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上。若不计空气阻力，则A、B两小球的运动时间之比为（    ）。

A．1：1

B．4：3

C．16：9

D．9：16

2．如图8所示，一固定斜面的倾角为a，高为h，一小球从斜面顶端沿水平方向抛出，最终落至斜面底端，不计小球运动过程中所受的空气阻力，设重力加速度为g，则小球从抛出到离开斜面距离最大所经历的时间为（     ）。

3．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，其运动轨迹如图9中虚线所示。小球在竖直方向上下落的距离与在水平方向上通过的距离之比为（    ）。

4．如图10所示，A、B两质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出，质点A在竖直平面内运动，落地点为P1，质点B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2，不计空气阻力，下列说法中正确的是（    ）。

参考答案：

1．D提示：小球A落在左侧坡面上時，其位移与水平方向之间的夹角等于左侧斜坡的倾角37°；小球B落在右侧坡面上时，其位移与水平方向之间的夹角等于右侧斜坡的倾角53°。根据位移与水平方向之间的夹角的

2．A 提示：小球从斜面顶端沿水平方向抛出，最终落至斜面底端，将小球的初速度分解为沿斜面向下的分速度vx和垂直于斜面向上的分速度xy，则当小球的竖直分速度vyt=0时，小球离开斜面的距离最大。

3．D提示：做平抛运动的小球垂直撞击斜面时，其速度与竖直方向之间的夹角等

4．C提示：A、B两质点的初速度（设为u0）相同，则二者沿x轴方向的分运动均为速度为v0的匀速直线运动，二者沿x轴方向的位移大小取决于运动的时间，因为质点B沿斜面滑行的加速度a（a = gsinθ）小于g，沿斜面方向的分位移比质点A沿竖直方向的分位移大，所以质点B落地所用的时间较长，即x2>x1。