圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究

王 锋 (江西省九江市柴桑区第一中学 332100)

圆锥曲线问题是高中数学的重点与难点，求解此类问题要求学生具备一定的几何功底、优秀的数形结合意识、熟练的运算能力，以及严密的逻辑思维．在高考中，圆锥曲线问题的分值所占的比重非常大，尤其是解答题.在时间有限的情况下，这对学生运算能力的要求非常高，毕竟人脑不是电脑，无法准确、快速地完成繁琐、复杂的计算.因此，对于一些具有共同特征的问题，我们需要积累一些常见的、有效的方法来应对．下面我们将针对圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题作一些探究，寻找解决此类问题的最佳途径．

1 提出问题

2 问题探究

分析1 按照题意，学生首先最容易想到的方法是设出l1，l2的直线方程，联立直线与椭圆的方程，解出M，N的坐标，再写出直线MN的方程，最后探索MN是否过定点．

分析2 先设MN的直线方程，通过联立直线MN和椭圆方程，得到M，N的坐标关系式．再利用l1⊥l2，即kAM·kAN=-1进行求解，从而找到直线MN方程中的变量关系，进而探究出直线MN所过定点．

解法2设直线MN的方程为x=my+n.(此处没有把方程设为y=kx+b的形式，是因为直线的斜率有可能不存在，讨论起来比较麻烦，注意到直线MN的斜率不可能为0，故设成x=my+n的形式更为简洁．)

虽然本方法计算量也不小，但是相对于解法1，还是可以接受的．

分析3 将解法2的思路进一步优化，在设直线MN的方程时，设为m(x-2)+ny=1(此直线不经过点A(2,0))的形式，便于后面采用齐次式进行计算．

相对于解法1和解法2，显然解法3的计算量要小很多，但是这种方程的设法是比较难理解的，而且在运算过程中，为什么将x2表示成(x-2+2)2，对学生来说也难以接受．这需要学生花时间去思考这种齐次化运算的特点和优势，从而熟练地掌握和运用．

3 归纳总结

设直线MN的方程为mx+ny=1，则⑤式可变为b2x2+a2y2+(2b2x0x+2a2y0y)(mx+ny)=0，即(b2+2b2mx0)x2+(a2+2a2ny0)y2+(2b2nx0+2a2my0)xy=0.

采用上述方法，我们还可以推导发现焦点在y轴上的椭圆以及双曲线和抛物线都具有类似的性质．

结论4过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A(x0,y0)，作互相垂直的两条直线分别交抛物线C于另外两点M,N，则直线MN过定点(2p+x0,-y0).

上述结论推广到双曲线和抛物线中，也有类似的结论，有兴趣的读者可以自行探究．文中总结了许多结论，并非是让大家记住公式直接套用，而是掌握解决此类问题的有效方法．今后，当遇到两直线斜率和、积、倒数和为定值等系列问题时，我们将不再盲目，不再惧怕，做到心中有数，能够更加自信地解决这类问题．