厘清物理公式本质解决初中物理疑难问题——以“判断不同气压下液体压强大小”为例

曹可攀 ，黄致新

1.华中师范大学物理科学与技术学院，武汉 430079

2.武汉市晒湖中学，武汉 430064

初中物理实际教学中考虑到初中生的思维能力有限以及物理知识本身的复杂性，教材中对部分物理公式加以简化便于学生的学习。但面对一些涉及物理本质的问题时，不理解公式本质直接套用公式，不仅无法解决这一类问题，反而会让学生陷于矛盾当中，不利于学生物理核心素养的提升。

1 问题的提出

作为判断液体压强大小的公式p=ρgh普遍被老师和学生所接受，但是在学习中碰到的不同气压下的液体时，选择不同的液面，对于同一位置的液体压强采用液体压强公式p=ρgh，却会得到相反的结论。如图1所示，自制气压计从楼下到楼上，观察玻璃管内水柱高度的变化情况，并判断自制气压计瓶底受到液体压强的变化。通常的解释是分析自制气压计的原理：p内=ρgh+p外，当外界高度升高时，p外减小，在p内不变的情况下，h2就会变大，所以可以看到水柱高度上升，气压计瓶底受到液体压强就变大了。这种解释可以说明自制气压计玻璃管内水柱高度的变化情况，但是对于瓶底受到液体压强的变化却饱受争议。因为自制气压计玻璃管内水柱上升时，必然会造成瓶内水面下降，h1变小，按照液体压强计算公式p=ρgh判断压强就会变小。

图1 自制气压计

2 产生问题的原因分析

计算液体压强的大小关键是看液体深度，而深度的大小又取决于自由液面的选择。教材中选择的是标准大气压环境中的液面为自由液面，但是对于自制气压计中的大气环境，瓶外大气压随着高度升高而降低，瓶内气压随着水面下降也会降低，不管是瓶内还是瓶外，气压都发生了变化。没有固定不变的气压选作标准，也就没办法用p=ρgh合理解释瓶底液体压强变化。

3 解决问题的思路

分析物理概念的形成过程。液体压强也是压强的一种，所以先从压强的概念本质分析入手。在教材中压强的定义是正压力与接触面面积的比值，是用来描述压力的作用效果的物理量。从这个角度来分析，压强由压力和受力面积所决定。在学习这两个因素时，需要重点分析的是压力。压力是与重力有着本质区别的力，压力大小有时等于重力的大小，有时又与重力毫无关系，压力的大小受各种因素影响，初中阶段我们更多的是区分压力与重力的不同，对于大小的判断往往要借助于受力分析。

重现物理公式的推导过程。对于水平地面的固体对地面产生的压强，由于压力大小等于重力，计算固体压力时一般都会先计算压力后计算压强，所以F=G在固体中经常用到，但同时我们又要明确知道压力与重力的不同。对于液体计算公式的由来，教材中首先是通过探究实验得出液体压强的特点：同一深度朝各个方向都有压强且相等；密度相同时，深度越深压强越大；深度相同时，密度越大压强越大。这只是定性的关系，对于定量关系则是建立了一个规则形状的液柱，设想液柱下方平面的压强就是该位置的液体压强大小。如图2所示，液柱对平面的压力等于液柱所受的重力，借助于公式的变形 F=G=mg=ρVg=ρgSh，从而推出p=F/S=ρgh。由于液体同一深度朝各个方向都有压强且相等，所以这个公式就可以普遍计算同一深度其他位置的液体压强大小。对照压力与重力的区别，我们不难得知液体压强中液柱模型的建立是有前提条件的。模型中没有考虑外界对液体的压力，只考虑了液体本身受到的重力，所以才有压力等于重力的推导。如果考虑外界对液体的压力，那么此时的压力就不等于液体本身受到的重力，公式的推导就会发生变化。

图2 液体压强液柱模型

厘清体现物理本质的公式。教材中的液体压强计算公式p=ρgh没有考虑大气压力的影响。有部分老师认为液体压强就只需要考虑液体内部的作用，笔者认为这是偷换概念的一种说法。这就好比固体压强实验中，在下端垫有海绵的木桌上面放一个砝码，问木桌对海绵产生的压强，那么考虑木桌对海绵产生的压力不需要考虑砝码对木桌的压力吗？还有部分老师通过“压强”和“液体压强”来告诉学生解题中要不要考虑大气压的问题，显然这都是不太合理的。教材中对液体压强的处理，更多的鉴于大气压的普遍性而没有考虑大气压力对液体压强的影响，当然也没有考虑其他外力对液体压强的影响，所以导致液体压强的计算公式p=ρgh具有相对性。当考虑外界因素时，液体压强就等于p=ρgh+p外，在标准大气压下的液体压强公式就应该变为p=ρgh+p0，这才是液体压强的本质公式。

图1中自制气压计的液体压强大小问题实际上就是考查对液体压强本质的理解，判断瓶底的液体压强必须考虑外界因素的影响。瓶底的压强可以用两种方式来表示 p=ρgh1+p内；p=ρgh2+p外。由于h1变小，瓶内气压p内也会降低，所以p会变小。第二种方式h2变大，p外变小，不易判断。

理解了液体压强的本质公式可以帮助我们更好地分析一些物理原理。如图3所示，在用微小压强计测液体压强的实验中，用U型管两边液面高度差来表示液体压强大小。按照液体压强本质进行分析，橡皮膜受到的液体压强p=ρ0gh0+p0，所以橡皮管内的气压 p=ρgh0+p0。管内气压大小在U型管中又可以表示为p=ρgh+p0。由这两个等式可以推出ρ0gh0等于ρgh，当h0变大时，h也会变大，这就是微小压强计的原理。

图3 探究液体压强特点实验

反之，如果没有理解液体压强的本质，往往只狭隘地认识到液体压强就是去看深度和密度，不仅无法解决不同气压下的液体压强问题，甚至会在命题当中引发一些争议性问题。例如2020年某省的中考题：负压鱼缸是宁夏科技馆的一件展品，如图4甲所示，其纵截面示意图如图4乙所示，整个鱼缸只有投料口与大气相通，鱼缸内高于投料口水面以上的水不能从投料口流出，是因为受到________作用，水对鱼缸底部的压强p=_______（深度用图乙中的相关字母表示，水的密度用ρ水表示）。

图4 负压鱼缸

查阅相关资料，该题的参考答案是水对鱼缸底部的压强p=ρ水gh。这道题以负压鱼缸为背景,考虑了大气压对液体的作用。如果不是以负压为背景，按照通常的习惯计算液体压强，参考答案p=ρ水gh是没有问题的。但是，若在本题中要计算水对鱼缸顶部的压强，则应为 p1=p0-ρ水g（H-h）。由此反推鱼缸底部受到水的压强则应为p=ρ水gh+p0，这样本题就会有两个答案。在同一道题中，计算鱼缸底部受到的压强时不考虑大气压，而计算顶部的压强时又要考虑大气压，难免不妥。结合本题的负压背景，笔者认为水对鱼缸底部的压强为 ρ水gh+p0比 ρ水gh 更合适。

4 教学建议

教材中为了降低学生学习难度，液体压强的计算公式是基于液体压力等于液体所受重力的推导。老师在教学中可以补充说明，由于人们生活在大气压环境中，液体压强公式没有考虑大气压等外界压力的影响，对于一般的液体压强计算所选择的自由液面是与大气接触的液面，都默认为该液体表面处的压强为0，液体内部压强大小都用公式p=ρgh计算。当面对不同气压的环境，就需要考虑大气压的影响，此时液体压强应该用更具本质性的p=ρgh+p外来计算。在具体的习题编制中最好也能像理想环境中不考虑空气阻力一样，提示不考虑大气压的影响，这样便于学生应用p=ρgh解决物理问题，也不影响对液体压强本质的理解，有助于学生进入高中、大学以后对于液体压强的学习。

5 结语

厘清液体压强公式的本质，认识到液体压强计算公式p=ρgh的相对性，才能解决疑难问题。这样碰到诸如此类大气压发生变化的液面，选择不同气压的液面意味着参照物不一样，用相对计算公式计算同一位置的液体压强自然没有意义，此时的液体压强用p=ρgh+p外计算才符合物理本质。有学者用流体力学的知识，尝试对基础物理教学中液体的压强进行分析，得出当液体同时受到表面力和质量力时，其所具有的绝对压强大小应用p=ρgh+C来计算。其中，C就是液体所处环境对自由液面产生的压强，属于表面力的作用。而ρgh是自由液面到测量点的单位面积的液柱的重量，是因重力产生的压强[1]。这也从力学本质的角度印证了初中物理液体压强计算公式的相对性。由于初中物理处于启蒙阶段，教材的编写要考虑学生的思维发展水平等实际因素，存在一些公式没有基于物理本质进行详细说明和处理的情况，虽然这些公式可以帮助学生和老师解决部分表面的物理问题，但是对于涉及本质的物理现象就无法解决。

除了文中谈到的液体压强，比如在滑轮组的机械效率的计算中，通常计算有用功的公式W有用=G物h，而真正体现物理本质的公式应该是W有用=F动S=G物h（F动指的是滑轮输出的力），而且在水平方向使用滑轮或是从水中拉升物体时，W有用=G物h这个公式就无法计算了[2]。作为物理教师，在一线教学中要遵循教材又不拘泥于教材，从学生可以理解的角度，用已有的知识厘清物理公式的本质，优化、补充教材内容，才能让学生更好地掌握物理概念，解决疑难问题，提升物理核心素养。