联想开路，化生为熟，提升数学运算素养

2022-11-16 12:24324000浙江省衢州第二中学汪耀生

中学数学杂志 2022年3期

324000 浙江省衢州第二中学汪耀生

324200 浙江省衢州数字工业学校徐春红

311121 浙江省杭州二中未来科技城学校李盛

数学运算素养是高中数学的六大核心素养之一，具体是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.如何提升高中学生的数学运算素养，提高数学运算能力？这是高中数学教学中的一个核心问题.笔者在长期的教学实践中发现，采用“联想开路，化生为熟”的解题策略，对复杂的数学问题进行简单表征，容易抓住数学问题的本质，把握研究对象的数学特征，形成解决问题的思路，使运算过程简洁明快，解题思维程序化，感悟通性通法中的数学原理和其中蕴含的数学思想，有利于培育学生的数学运算素养.

一、联想与转化

联想思维是指在人脑内记忆表象系统中，由于某种诱因使不同表象发生联系的一种思维活动.联想思维是很重要的一种创新思维方法，在人的思维活动中起着基础性的作用.

转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，通过变换将问题转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法.化陌生为熟悉是一种重要的解题策略.

当面临一道没有接触过的陌生题目时，要联想曾经解过的或比较熟悉的题目，或联想类似题的求解方法，“化生为熟”，充分利用已有的知识、经验或解题模式，这样才能顺利地解题.

二、应用举例

(一)联想熟悉的数学知识

分析：联想到绝对值的一个基本性质|a+b|+|a-b|=2max{|a|,|b|}，可简捷求解.

例2已知数列{an}(n∈N*)满足an+1=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an-1|(n≥2)，且a1=1，a2=a(a>1)，则a1+a2+a3+…+a24=________.(结果用含a的式子表示)

分析：题设中的关系式是若干项求和的形式，相似联想，容易想到数列中前n项和与通项的关系，打开了解题思路.

解：当n=2时，a3=|a2-a1|=a-1.

当n≥3时，由题设得

评析：相似联想是由某一事物或现象联想到与它相似的其他事物或现象，进而产生某种新设想的联想方法.解答本题时，在理解题目蕴含的信息后，通过对题目结构等信息的加工，联想相似的数学对象和关系结构，迁移方法后发现解题思路，顺利解决问题.

解决相似问题的过程中让学生感悟数学的通性通法.对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，在演绎推理运算解决问题的过程中，学生形成规范化思考问题的品质.

(二)联想熟悉的解题方法

例4(2021全国高中数学联赛福建赛区预赛-7) 设正实数x,y满足x(x+2y)=9,求x5y的最大值.

分析：联想到这类问题的一般解题方法，利用平均值不等式，适当配凑即可解决问题.

评析：这里运用的是连续性联想思维.其主要特征是由此及彼，连绵不断地进行，可以是直接的，也可以迂回曲折地形成闪电般的联想链，连续性联想思维是打开沉睡在头脑深处记忆的最简便和最适宜的钥匙.

(三)联想熟悉的数学问题

图1

评注：根据题目条件结构，构造图形探索解决问题的思路，“化生为熟”，寻找原型，这是破解难题的重要策略，有利于学生形成数形结合的思想.在解决某个新问题之前，如果能先知道其原型，借助图形性质探索数学规律，研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，那么对新问题的理解就会更自然、深刻和全面.遇新思陈、推陈出新对顺利解决数学问题具有重要的现实意义.

例6若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的图像是中心对称图形，则a=________.

分析：联想已学过的中心对称图形，奇函数的图像是符合要求的.已知f(x)的图像是中心对称图形，若能经过适当平移，使函数f(x+t)刚巧为奇函数，则问题就能得到顺利解决.

解法1：f(x-a)=x(|x-2a|+|x-4-a|)，使函数f(x-a)是奇函数，只须g(x)=|x-2a|+|x-4-a|是偶函数.