对2020年全国新高考Ⅰ卷导数题的再思考*

266700 山东省平度市第九中学 张 杰 姜尚鹏

276000 临沂大学数学与统计学院 薛 兵

2020年山东省实行了新高考，试卷中的导数题作为倒数第二道大题难住了不少学生，究其原因在于面对这种求参数取值范围的问题，一旦不能分离参数，或直接求导时找不到分类标准，学生就无从下手.笔者对这道题进行深入研究，发现入手方法多样.

1 试题分析

(2020全国新高考Ⅰ卷-21) 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

命题立意分析：本题考查导数几何意义,利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力、分类讨论思想和等价转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，所占分值为12分.

审题及解题分析：(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得出结果.(2)条件给出f(x)≥1，即研究f(x)的最值问题.先讨论特殊情况即当01时的取值范围.

(2)①当0

③当a>1时，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

综上所述，a的取值范围为a≥1.

2 其他解法

因为小问(1)比较简单，所以只对小问(2)的解法进行探讨.

2.1 隐零点法

解法1:①当0

综上所述，a的取值范围为a≥1.

评注：官方正解中通过对a的取值范围进行放缩，转化成上文讨论的情况，这样的解决方法是较难想到的，借助隐零点的方法解题是大部分普通层次的学生较易想到的方法，这种思路入手容易，通过隐零点满足的等式代换解决问题即可.

2.2 放缩法

解法2(利用切线放缩法，先不确定a的范围)：由f(x)≥1得aex-1-lnx+lna≥1.由ex≥x+1,lnx≤x-1，得ex-1≥x,-lnx≥1-x，又a>0，可得aex-1-lnx+lna≥ax+1-x+lna≥1，即(a-1)x+lna≥0恒成立.

①当a=1时，满足0≥0，所以a=1符合题意.

综上所述，a的取值范围为a≥1.

所以a的取值范围为a≥1.

所以a的取值范围为a≥1.

评注：放缩法适合水平高一些的学生使用，毕竟放缩到什么程度是放缩法的难点.建议优先考虑最简单的利用切线放缩，如ex≥x+1,lnx≤x-1，这也是放缩最常用的两个不等式，本题就可以采用切线放缩.利用a的取值范围放缩也不容易想到，建议采用更换主元的思想，将其看成关于a的函数进而放缩.

2.3 构造同构式法

所以a的取值范围为a≥1.

所以a的取值范围为a≥1.

评注：构造同构式法是少部分高水平学生才能掌握的方法，此方法的难点在于变形构造出结构相同的函数模型，建议学生熟练掌握指数和对数的运算以及基本的函数模型，如ex与x进行四则运算以及lnx与x进行四则运算得到的函数模型.

3 题目溯源

实际上,2018年全国高考Ⅰ卷(文科)第21题就是与上述试题类似的题目.2018年高考题为已知参数的取值范围，要求证明不等式，题目如下.

(2018全国高考Ⅰ卷文科-21) 已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点.求a，并求f(x)的单调区间；

2020年全国新高考Ⅰ卷第21题的小问(2)，实际上是2018年全国高考Ⅰ卷(文科)第21题小问(2)的逆向问题.如果教师在讲授时有意识地对2018年试题进行改编，就可以变成2020年的试题.下面展示2018年试题的改编题.

(2018全国高考Ⅰ卷文科-21改编) 已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点.求a，并求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.

改编后的2018年试题与2020年试题，两者给出的函数惊人地相似.所以教师在讲解高考题时，应研究得再深入一些，说不定下一道高考题就出自教师之手.同时可以发现，改编后的2018年试题也有三个角度的方法可供三种不同水平的学生选择，所以2020年全国新高考Ⅰ卷第21题是不可多得的好题，对教师平时的课堂教学具有良好的价值引领作用.因此，教师在高三复习时不能就题论题，而要将这道题蕴含的思想方法讲透，让不同水平的学生都能有所收获.如果教师一节课只讲这一道题的话，建议讲解时做如下改编.

(2020全国新高考Ⅰ卷-21改编) 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

(2)证明：当a≥1时，f(x)≥1.

(3)若f(x)≥1，求a的取值范围.

这样改编后，这道题对两道高考题蕴含的思想方法都进行了考查，同时也通过小问(2)为初次接触该题目的学生搭建了台阶，以便学生解决小问(3).思维层层递进，学生的数学素养螺旋上升，试题的育人功能得到提升.课后巩固时可以采用以下题目，此时不再需要搭建过渡的台阶，让学生课后的学习不再是简单的模仿，而是提升一个层级，将学生的学习从课堂延伸到课后，以落实学生课堂的听课效果.

巩固练习已知函数f(x)=aexlnx(其中e=2.71828…是自然对数的底数)，g(x)=x2+xlna，a>0.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设函数h(x)=g(x)-f(x)，若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立，求实数a的取值范围.