2021年高考数学试题综合难度比较分析

杨正朝 (贵州师范大学数学科学学院 550025)

1 问题提出

2019年《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》强调科学设置试题难度，命题要符合相应学业质量标准，体现不同考试功能．[1]随后，教育部颁布《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，明确提出高考应具有适当的难度．[2]可见，试题难度不仅是教育部门关注的重点，也是社会关注的焦点．

为了更好地测量试题难度，文[3]对鲍建生课程难度的综合难度模型进行改良，并用于测试中韩两国高考试题的难度差异．文[4]基于文[3]的综合难度模型，增加了条件含量、阅读量两个因素，并以此为框架，对2016—2020年高考数学(理科)全国卷中的“统计与概率”进行难度对比分析．文[5]以文[3]综合难度模型为基础，以是否含参、运算水平、推理能力等难度因素为测评框架，对2019和2020年高考理科数学全国Ⅱ卷进行难度分析．可见，近年来对高考试题进行难度分析和比较，逐渐成为了数学教育的热点话题．因此，本研究以2021年高考试卷为例，对其综合难度进行分析对比，以便更好地为数学教学和高考命题提供建议．

2 研究设计

2.1 研究对象及方法

2021年高考试卷主要由三类组成：一是新高考试卷；二是文理不分科的自主命题；三是高考全国卷．研究以2021年全国理科(甲乙卷)、新高考Ⅰ卷和浙江卷共四套试卷为对象，进行综合难度分析，数据结果借助SPSS和Excel分别绘制条形图和雷达图，以便能够直观地进行比较分析．

2.2 研究工具

(1)综合难度模型

本研究基于文[3]的综合难度模型，以该模型的七个难度因素为框架，进行水平划分．各难度因素按A～G逐一进行编码，每个因素水平都分2～4级，依次赋值1～4，相关编码及赋值如表1所示.

表1 综合难度模型水平划分及赋值

表1 综合难度模型水平划分及赋值(续)

(2)示例分析

例(2021年全国乙卷第10题)设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则( )．

A.abC.aba2

难度水平分析该题编码为：A1无背景(题目为纯数学知识)，B2有参数(含有参数变量a,b)，C3简单符号运算(包含求导等符号运算)，D2复杂推理(推理较为抽象，步骤在3步以上)，E3两个知识点(包括零点、极值点、单调性等知识)，F1顺向思维(按题目条件直接求解问题)，G2运用(运用函数与导数相关知识求解)．

3 研究结果

根据表1水平划分和赋值标准，对2021年四套试卷中的试题进行分析，得出相关数据．其中，百分比为各因素水平题目数除以试卷试题总数(全国甲乙卷均为23个题，而新高考Ⅰ卷和浙江卷均为22题)，例如全国甲卷无背景A1：19÷23=82.6%，浙江卷无参数B1：9÷22=40.9%．并结合公式(*)计算各因素的综合难度系数，最终数据结果如表2所示．

表2 四套试卷的试题综合难度系数统计

为了能够生动地刻画不同试卷的7个因素情况，通过表2数据，利用SPSS绘制条形图，对四套试卷进行比较分析．对于整套试卷的综合难度系数，利用Excel绘制雷达图做整体性分析．

3.1 背景因素分析

由图1可知，在生活背景方面，全国甲乙卷和新高考Ⅰ卷均有考查到，而且比重均为13.0%左右，浙江卷没有涉及到生活背景的考查；在科学背景上，仅有全国甲卷和浙江卷考查到，分别为4.4%和4.5%，其余两套试卷都为0．可见，全国统一命题的试卷比较注重有背景的考查，而浙江卷相对较少．

图1

3.2 参数因素分析

由图2可以发现，在有参数方面，全国甲乙卷考查占比较高，均为60.9%，浙江卷次之，为59.1%，新高考Ⅰ卷最低，为50%．试题含有参数，在一定程度上要比无参数的试题抽象．

图2

3.3 运算水平分析

由图3可知，四套试卷对于运算因素的四个水平都有全面考查到，但是分布不均衡．在简单数值运算上，全国乙卷为43.5%，比重最大，其次全国乙卷，为39.1%，最低的是新高考Ⅰ卷和浙江卷，均为31.8%；在复杂数值运算上，四套试卷的差别不大；在简单符号运算方面，浙江卷>全国乙卷>全国甲卷>新高考Ⅰ卷；在复杂符号运算上，新高考Ⅰ卷比重最高，为27.3%，运算难度较大，浙江卷次之，为18.2%，全国甲乙卷较低．从整体来看，四套试卷都侧重于考查简单数值和简单符号运算，二者之和占一半以上．

图3

3.4 推理能力分析

由图4可知，四套试卷重点考查复杂推理．在复杂推理方面，浙江卷比重最高，为68.2%，新高考Ⅰ卷次之，最低为全国甲乙卷，均为56.5%．可以看出，浙江卷在逻辑推理方面，运算步骤多，要求较高的逻辑推理能力．

图4

3.5 知识含量分析

由图5可以看出，对于知识含量因素三个水平的考查，四套试卷都有考查．在单个知识点方面，浙江卷最高，比重为36.4%，其次是新高考Ⅰ卷31.8%，全国甲卷为17.4%，全国乙卷最低，仅有8.7%；在两个以上知识点的考查上，全国乙卷比重较高，其次是全国甲卷，新高考Ⅰ卷和浙江卷紧随其后．从整体来看，浙江卷和新高考Ⅰ卷对三个水平考查相对均衡，而全国甲乙卷较为偏向于两个知识点以上的考查，考查知识点更为综合．

图5

3.6 思维方向分析

从图6可知，四套试卷都倾向于考查顺向思维．在顺向思维上，浙江卷和全国Ⅰ卷占比最大，均为81.8%，其次是全国甲乙卷，都是78.3%，四套试卷的顺向思维考查占比都在三分之二以上，这也体现了顺向思维符合学生思考方向，考查难度较适宜．在逆向思维上，四套卷的比重都在20%左右，其中，全国甲乙卷比重较高一些．适当增加逆向思维的试题，能够考查学生发散思维，对于不同层次的学生有良好的区分效果．

图6

3.7 认知水平分析

由图7可以看到，四套试卷对于认知因素的三个因素都有考查到，尤其是对于运用水平的考查，比重都比较高．在理解水平上，新高考Ⅰ卷考查较多，占22.7%，全国乙卷最低为8.7%；在运用水平方面，四套试卷占比均为一半以上，其中全国乙卷最高，其次是浙江卷，全国甲卷和新高考Ⅰ卷紧随其后；在分析水平上，新高考Ⅰ卷>全国甲卷>浙江卷>全国乙卷，分析水平侧重于考查学生综合运用已有知识、方法等分析和解决问题的能力．

图7

3.8 综合难度分析

结合表2数据，利用各难度因素权重值ki以及公式(** )，计算出四套试卷的综合难度系数，统计结果如表3．为了直观形象地刻画各难度因素水平，绘制出雷达图8.

表3 综合难度系数表

图8

由表3可知，四套试卷的综合难度系数从高到低依次排序，分别为：浙江卷>新高考Ⅰ卷>全国甲卷>全国乙卷．浙江卷相对来说，难度较大一些，全国统一命题的试卷差异不大．由于综合难度系数不止上述7个因素，因此，该数据在此难度模型下，仅供参考．

从图8可知，一方面四套试卷在背景因素、参数因素、推理能力、思维方向、认知水平五个方面差异不大，其余两个难度因素有所差别，但差距不大，这体现了高考试卷保持一定的稳定性和一致性．另一方面，四套试卷在运算水平、知识含量两个难度因素上综合难度系数均高于1.9，体现了试卷在运算能力和知识点综合运用上，考查难度较大．

4 研究结论

4.1 相对于自主命题而言，全国统一命题更关注背景因素的考查

上述试卷中，前三套均为全国统一命题试卷，通过数据分析比较，不难发现，其显著的特点是注重背景因素的考查，背景即课标中的情境．反观浙江卷，对于背景因素的考查较少．一方面试题以生活和科学设置情境，贴近现实，符合学生认知水平．例如，2021年全国甲卷的第4题以“青少年视力”为背景设计数学问题．近年来，随着互联网的发展，青少年视力问题变成公众关注的焦点，以此问题为切入点，不仅能够引起学生的重视，而且考查学生综合运用已学知识解决实际问题的能力，培养学生应用能力．另一方面“情境”二字多次出现在新课标，频次较高，这也体现了情境设置在高中数学教学中的重要性，情境作为数学问题的载体，也能够更好地体现育人的功能．例如，2021年全国乙卷第6题以“北京冬奥会志愿者”为背景，考查学生对计数原理和组合的运用，同时，也能够激发学生的志愿精神．

4.2 浙江卷综合难度系数偏高，学生应具备一定的数学基础

通过上述对试卷综合难度系数的分析，研究表明，浙江卷在考查难度上要高于其他三套试卷．但是通过试卷的试题分析，能够发现，统一命题的全国卷中，存在着许多基础题，因为统一命制的试卷面向的是多个省份，各省份教育和经济水平不一致，因此，在试卷难度上要保持平衡，注重考查学生的数学基础知识和基本数学素养．而浙江卷由于面向的是浙江省省内学生，加上浙江省教育水平本身比较好，所以在试卷命制上更加注重中、高水平知识的考查，导致难度会有所加大．尽管考查的内容一致，但是命制的出发点不一样，也就导致了试题难度上难免会有所差异．因此，教学中要注重数学基础的培养，如果学生不具备一定的数学基础，在成绩上很难有所提升．

4.3 四套试卷都重视运算能力和知识含量的考查

对于运算水平和知识含量的考查，两者的难度系数都在1.9以上．一方面数学运算作为一种特殊的演绎推理，是处理数学问题、得到正确结果的基本途径．[7]同时，数学运算也是数学六大核心素养之一，可见，在命题上加强对学生运算能力的考查就显得理所当然.数学运算无论是在数学学习，还是现实生活中，是应用最为普遍的关键能力，而且也是衔接其他学科的重要纽带．另一方面知识含量体现了学生对知识点的掌握情况，试题的知识点融合得越多，越考查学生对知识的全面掌握程度，也考查学生对多个知识点的综合运用能力．现实社会中，面对的问题纷繁复杂，如果对于综合性的数学问题都一筹莫展，难以解决，那么踏入社会，学生只会举步维艰．

4.4 相比其他试卷，新高考试卷更加重视知识的综合运用

新高考在试卷结构和题型上发生了重大变化，但是试题难度与其他试卷相比，差异性不大．新高考增设了多选题，一是多选题形式新颖，考查的内容更为全面综合．例如，2021年新高考Ⅰ卷第9题，考查学生对统计中平均数、中位数、标准差等内容的理解，辨析它们的差异，考查内容全面，难度并不大，这就要求学生在日常学习中，掌握基础数学知识，养成勤于归纳总结的习惯，才能正确解决此类问题；二是多选题的设置，对不同层次的学生更具区分效果．多选题的得分机制是“全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分”，其一方面突显高考的人性化，增加学生的得分机会．另一方面更好地区分不同层次的学生，使高考起到更为科学的人才选拔作用．

5 研究启示

高考作为学生学业质量水平检测的重要手段，同时也肩负着人才选拔的重任．为此，研究通过高考试卷综合难度分析，旨在为数学教学和命题提供参考．首先，合理调节试卷难度，使其更具区分效果．这里指的区分效果并不是每个题都要提升难度，而是要求试卷中的极个别试题在命制上要有区分度．比如试卷的选择题或填空题最后两题，可以适当提升难度，这样能够更好地体现人才选拔的目的，对不同层次的学生起到更好的区分效果．其次，夯实基础知识，落实“四基”“四能”．新课标强调“四基”“四能”，其立足于基础知识的学习，才能够有更加长远的发展．通过试卷分析能够发现，高考中大多数试题是以基础知识为方向来命制的，尤其是全国统一命制的试卷，更加体现这一特点，这就要求在实际教学中，注重基础知识的理解和运用，夯实基础数学知识，提高自身的分析和解决问题能力．最后，加强开放性题型的命制，全面考查学生数学素养．开放性题型形式灵活，对学生能力要求更为全面和综合，能在一定程度上考查学生的创新意识．在教学过程中，要加强对学生探究意识的培养，让学生在情境中，积极地参与问题提出和问题解决．