错在哪里

1 福建省莆田第四中学

祁君华 （邮编：351100）

题目（莆田一中、莆田四中2022 届高三模拟试卷，12）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是正方体在侧面BCC1B1上的一个动点（含边界），点P是棱AA1的中点，则下列结论正确的是（ ）

错解

易得选项A 正确，选项B 错误（过程略）.

对于选项C 与D，以点D为原点，如图1，建立空间直角坐标系.

图1

解答错了！错在哪里？

以上是好几位学生的一致解答，看似简便易行，滴水不漏，最后结果也与参考答案一致，但实属百密一疏，歪打正着. 到底错在哪里，又如何纠正呢？

“方法”的选择（坐标法）没有问题，“建系”、“设点”与“建模”也都没有问题，错就错在了重要的“定义域”——点M横坐标x的取值范围.

虽然他们也注意到了点M是侧面BCC1B1上的一个动点（含边界），直接得到x∈[0,2]，但稍加推敲，再细心作图，不难发现这个范围太大了. 其实，方程2x+z-2=0(0 ≤x≤2)对应的曲线是线段C1F（如图2，其中E是棱BC的中点，F是C1E与B1B的延长线的交点），这条线段不全在侧面BCC1B1上. 因此，x的取值范围应是[0,1].

正确解法

正解1 （坐标法）建系、设点与建模同上，由2x+z-2=0 得z=2-2x.

（几何法）分别取棱AD,BC的中点F,G，连接D1F,FG,C1G，易证DP⊥平面C1D1FG（寻找或构造线面垂直），

2 安徽省安庆市第二中学

王 庆（邮编：246001）

解答错了！错在哪里？

点评本题中变量x在多个位置同时出现，在求值时需要确保变量x取值相同，如果不一致时，需要通过分离、消元、变形等方法减少变量.

3 安徽省旌德中学

何玉友（邮编：242600）

解答错了！错在哪里？