基于误差模型的多约束鲁棒编队控制器的设计

闫党辉, 章卫国, 陈航

(西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710072)

无人机系统是目前无人系统领域发展较快、水平较高、实际应用较多的一类空中无人系统,具有成本低、无人员伤亡、操作方便和灵活可靠等特点。与固定翼飞机相比,四旋翼飞机具有许多优点,例如,具备垂直起飞、着陆、悬停，以及室内飞行的能力。随着应用环境的日趋复杂以及任务的日益多样,单机的能力受到了限制,多机的编队协同已经成为无人机应用的重要发展趋势。

然而,四旋翼无人机具有6个自由度,却只有4个控制输入,因此,其动力学不仅是非线性的,而且是耦合的、欠驱动的,很难被控制。此外,无人机在编队飞行的过程中,会受到阵风、湍流和其他的外界干扰,且考虑到四旋翼离散动力学的特征值位于单位圆的边界上,因此,需要一种先进的控制策略来实现自主编队飞行的稳定,使编队具有较高的可操作性和对外界干扰的鲁棒性。为此,人们做了很多努力,并制定了一些策略来解决这类系统在编队飞行过程中遇到的问题。

近年来,已经提出了几种策略来应对以上提出的一些问题。Guzey等[1]开发了一种基于非线性输出反馈神经网络的一致性控制器。Yan等[2]提出了基于一致性的双闭环滑模编队控制器。魏扬等[3]考虑闭环系统存在时变干扰的情况下,设计了用于无人机编队保持的自适应控制器。Zhen等[4]解决了干扰和不确定性存在时,编队飞行中无人机的速度和姿态协同控制问题。Ille等[5]设计了分布式 MPC 用于跟踪给定的参考轨迹,并用惩罚因子来避免编队内碰撞的发生。Chevet等[6]提出基于 MPC 的编队重构算法,不仅允许损坏的无人机离开编队,还允许恢复的无人机重新加入当前编队,同时避免碰撞。Cai等[7]研究了一种用于多无人机编队控制的事件触发MPC方案,可以减少分布式 MPC 方案的计算负担。Huang等[8]提出了一种基于卡尔曼滤波和MPC的协同避碰方法,指导多架无人机协同避碰决策。Wolfe等[9]设计和测试了用于编队飞行跟踪的分布式多模型 MPC控制器。Rosa等[10]在非线性MPC的框架下,设计了一种具有避障功能的编队飞行控制器。

MPC是解决约束问题最有效的控制方法之一,它还可以通过多变量耦合实现多目标最优控制[11]。但是,无人机的离散时间模型是临界稳定的,在MPC的滚动优化过程中,这种临界稳定性可能会进一步恶化,这是被许多研究所忽略的。本文针对编队中无人机的TS和RS分别设计多约束预测模型控制器,以实现多约束和干扰存在的情况下,编队的最优控制和对于规划路径较好的跟踪;此外,通过对预测控制的成本函数进行适当地修改,不仅可以改善MPC计算中的数值问题,而且可以确保最优计算过程中闭环系统的稳定性。

1 四旋翼动力学模型及编队算法

1.1 考虑干扰的四旋翼动力学模型

本文考虑的四旋翼结构是完全相同的。其动力学模型可以通过拉格朗日-欧拉的方法获得。这里,考虑干扰因素的四旋翼非线性数学模型为[12]

(1)

式中：(φ,θ,ψ)为四旋翼的3个姿态的欧拉角,分别代表滚转角、俯仰角和偏航角;(x,y,z)为四旋翼的质心在惯性坐标系中的位置坐标;m为四旋翼无人机的总质量;g是重力加速度;Ui(i=1,2,3,4)为对应的控制输入;Ωr为螺旋桨角速度残差;di(i=1,2,…,6)表示外部扰动的集合,且|di|≤Di,Di(i=1,2,…,6)为有界正实数。aj(j=1,2,3,4,5),bk(k=1,2,3),ux,uy和uz的表达式如(2)～(3)所示

Jr为四旋翼的每个旋翼末端到飞行器重心的距离;(Ix,Iy,Iz)分别为围绕每个轴的转动惯量；la为转子的悬臂长度。

1.2 模型的离散化

由(1)式可以看出,前3个方程描述了四旋翼的旋转动力学,后面3个方程表示平移动力学,因此可以将(1)式分成RS和TS。对于第i个无人机的RS,在同时考虑干扰和不确定性的情况下,线性时变离散状态空间模型为

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

同理,对于第i个无人机的TS,其离散线性化时变模型为

(9)

1.3 一致性编队算法

考虑n个相同的UAV的编队,每个UAV由Vi(i∈{1,2,…,n})表示。它们构成有向图G={V,E},其中V={V1,V2,…,Vn}是UAV节点的集合,E⊆V×V为图的边集,其中图的边集由eij表示。表示Vi和Vj之间可以相互获得彼此的位置和速度信息。aij表示节点Vi和Vj之间连接的权重,aij=1表示节点Vi可以收到节点Vj的信息,否则aij=0。Vi的邻点集合由Ni={Vj∈V:eij∈E}表示。

以TS的x轴方向为例

(14)

式中,在只考虑定拓扑结构的系统时,(14)式的一致性控制律为[12]

(i=1,…,n) (15)

式中,pij为第i个无人机和第j个无人机之间的距离。k1>0。同理可以得到另外2个轴向的一致性控制律。

2 多约束MPC的设计

本文设计的主要目标是实现无人机编队的稳定和航迹跟踪,而多无人机编队是一个多约束的复杂系统,因此,可以采用MPC的方法进行求解。在本节中,分别针对每个UAV的TS和RS设计对应的MPC,以保证UAV的稳定性和路径跟踪能力。如上一节所述,TS通过ux,uy和uz决定了四旋翼的参考方向。因此,首先对TS进行MPC的设计。

对于编队中第i个 UAV,以TS为例,考虑干扰情况下的差分模型为

(16)

定义ΔXi,T(k)=Xi,T(k)-Xi,T(k-1),ΔUi,T(k)=Ui,T(k)-Ui,T(k-1),从而,可以得出一个新的增广系统为

(17)

(18)

其中,矩阵Fi,ζ和Hi,ζ分别为

(19)

(20)

(21)

(22)

(25)

假设-π/2<φi,r,θi,r<π/2,通过方程(3)可以推出第i个UAV的滚转角和俯仰角的参考值φi,r和θi,r分别为

(26)

(27)

最后,对于第i个UAV,在各个时刻传递给转动子系统的参考输入如下

(28)

同理,可以得到RS的最优控制U2,U3,U4和Ωr,进而应用到UAV的非线性动态模型中。

3 稳定性分析

(18)式中存在积分项,因此,如果预测范围较大,则(20)式的最优计算过程中会出现数值问题。从(5)式和(10)式可以看出,系统矩阵的特征值位于单位圆边界附近,这会使数值问题变得更糟[13]。因此,有必要设计适当的控制器,在保证系统闭环稳定性的同时,避免上述的数值问题。本文提出的算法,是在MPC算法的基础上作适当的修改,从而实现上述功能。

为了便于分析,以第i架无人机的TS为例,对于αT>1,将MPC中的成本函数按以下方式处理

(29)

式中,由于αT>1,成本函数中的权重系数会随着预测时间的增加而减小,因此,在进行最优化的计算过程中,相较于成本函数(20)式,修改后的成本函数更加重视当前时间的状态和控制,从而对应一个预测窗口,新的状态序列和增量控制矢量选择为

(32)

(33)

(34)

因此,具有多个约束的优化问题可以重新表示为

(35)

式中,MT,α的表达式为

(36)

(37)

式中对应的状态反馈增益矩阵KT,α和闭环系统可以表示为

(38)

(39)

证明与(35)式类似,(39)式的代数Riccati方程为

(40)

将Qσ和Rσ代入(40)式中可以得到

(41)

(42)

式中对应的状态反馈增益矩阵KT,σ和闭环系统为

(43)

综上所述,通过(29)式和(39)式对原始成本函数(21)式进行连续变换,等效于在最优化的求解过程中,得到了(43)式所示的最终闭环函数。如前所述,这样做的目的不仅保证最优计算过程中所使用模型的稳定性,而且还能够保证闭环系统的稳定性。

4 仿真结果

以3架四旋翼无人机构成的编队为例,这里提出一种围绕半径为r的圆构成的正三角形编队,其几何结构如图1所示。

图1 编队的几何结构和通信拓扑示意图

其中,UAV1能够接收所有的指令,其主要任务是跟踪规划好的轨迹。无人机的主要参数见表1。

表1 无人机的主要参数

R1(t)=3+t

图2 TS(a)和RS(b)闭环系统的极点分布图3 约束条件下编队无人机的角度响应

由图2中2个子系统的闭环极点分布可以看出,本文MMPC不仅能够保证所有闭环极点位于单位圆内,相较于RMPC,闭环极点能够更靠近原点,也就保证了更多的稳定度。

通过图3～7可以看出,虽然干扰的存在对姿态角和三轴轨迹跟踪造成了一定程度的影响,特别是对姿态角影响较为明显,但由于控制器对于干扰存在鲁棒性,使得编队的队形影响较小,且能在很短的时间内恢复到正常状态。

图8进一步证明了,本文设计的控制器,能够在很好处理约束的前提下,实现编队稳定的轨迹跟踪和对干扰较好的鲁棒能力。

图4 编队无人机x轴的位移 图5 编队无人机y轴的位移 图6 编队无人机z轴的位移

图7 干扰和约束条件下无人机的轨迹 图8 约束条件下编队无人机的输入

表2则可以看出,MMPC的条件数比RMPC的要小很多,证明了MMPC能够在实现上述控制效果的同时,计算的复杂度能够大大降低。

表2 RMPC和MMPC条件数

5 结 论

本文针对四旋翼的编队问题,提出了一种改进的多约束模型预测控制器,该控制器是基于误差的增广模型进行设计。主要结论如下:

1) 将四旋翼的三维空间模型分为TS和RS,并分别针对2个子系统设计相应的多约束MPC。

2) 通过对成本函数进行合理的修改,不仅保证了滚动优化过程中所使用模型的渐进稳定,还保证了闭环系统的稳定性。

3) 利用增广模型的特点能够消除外部干扰对于无人机路径跟踪的影响。

4) 相较于RMPC,MMPC的计算复杂度能够大大降低,并且能够保证在多约束存在的情况下,实现编队较好的路径跟踪。仿真结果也证明了所述方法的有效性。

未来的工作会考虑不确定性、避障和编队重构等问题。