集合思想应用于中职数学教学中的方法探索

王 斌 （沈阳市装备制造工程学校，辽宁 沈阳 110026）

引 言

虽然初中数学中已涉及不等式解的集合、有理数的集合和自然数的集合等与集合相关的知识，但是初中数学的学习不足以引领学习者深刻认知数学中的“集合”，仅能初步认识集合.现代数学将探究集合的数学理论称为“集合论”，其基础概念遍布数学知识的所有领域，在数学知识体系中地位独特.若现代数学是一座辉煌的殿堂，那“集合论”便是创造殿堂的基石，由此可见，集合思想之于数学的关键价值.在中职数学中，“集合”是学习者最早接触的数学知识之一，因此，探究中职数学教学中集合思想的运用策略势在必行.

一、集合思想之于中职数学教育的必要性

集合串联了存在差别的事物，使其成为统一整体.在数学知识体系中，集合的定义具备一定的抽象性，集合所涉及的元素较为繁杂，串联、集成有关元素的思考过程是产生集合思想的过程.集合思想是集合定义的衍生物，具体指借助特定的逻辑语言和逻辑思维串联、整理现实问题中所涉及的各种元素，将其构成一个完整框架，并以统一视角为切入点对其展开梳理.集合思想具备无序性、互异性和确定性.无序性表现为统一集合中的元素无须排列，无先后顺序；互异性表现为集合中的每个元素互相区分，且又互相联系，展现独立状态；确定性表现为在利用集合思想解决疑难问题的过程中，应明确所有元素是否归于这一集合，防止元素归类出现错误.此外，集合是数学领域的一个基础分支，且集合的基础概念已融入数学的每一个领域，并占据独特地位.德国数学家康托是集合论的开创者；英国数学家约翰·维恩最先应用“维恩图”表示任意的几何；瑞士数学家莱昂哈德·欧拉最先应用“欧拉图”表示两个非空集合间的联系.由此可知，当代数学领域各分支的成果几乎全部构筑在缜密的集合理论上.在数学应用问题的探究过程中，可以使用图示法直观简要地表示问题.在中职数学教育中，教师也许不会特意为学习者阐述集合的重要性，但却会重复强调集合图的关键意义，目的在于引导学习者掌握集合图的分析方法，并借助集合图解决数学问题，明确集合的价值，并将之应用于数学问题解决的过程中.于中职学习者而言，高操作性、立体化的数学问题才能提高其对数学的兴趣.领略数学的现实价值，感悟数学的风采，深度结合理论知识与实践，是中职数学教育的一个目标.

集合知识涉及的范畴极为广泛，包含中职数学中集合、函数、不等式、数列等知识的基础内容，因此，中职数学高考试卷必然包括与集合知识有关的题目.在教学活动中引导学习者详细掌握集合的基础内容，在解决问题的过程中形成“分门别类”的习惯，从而有针对性地进行数学习题训练.然而，在教学过程中，因为部分中职学习者的计算能力较弱，尤其是对于一元二次方程等有关题型.学习者初接触集合概念时，其中包含的计算问题并不多，由于学习者开始进入新的学习环境，掌握图示法的使用、简单集合题的解决办法等原因，都能提高学习者的学习热情.但当学习者掌握集合相关概念后，集合知识将呈现复杂、抽象的特征，其与其他知识的结合，也将提高其难度.同时因为中职阶段与初中阶段的数学学习在学习方式、学习思想、学习时间和重视程度等方面都存在显著差异，故培养学习者在集合方面的兴趣，并将之融入中职数学教育的每一个环节依旧任重道远.明晰中职数学教育与集合的关系，全面了解数学知识的系统性，才能够提高学习者学习数学的长久性.因此，集合思想在中职数学教育中的运用极具必要性和现实价值.

二、集合思想之于中职数学教育的运用现状

（一）逻辑渗透浅薄，数学思想欠缺

当前中职数学教育由于受应试教育观念的制约，部分教师在教学活动中依旧以理论的灌输和公式的记忆为重点，不够重视对学习者逻辑思维的培养.在这种教学模式下，学习者在数学学习过程中普遍以教师传授的思维方式解决问题，缺乏创新意识和思维意识，难以产生自主解题思路.长此以往，学习者容易产生惰性，难以形成数学思维，从而导致数学教育价值和学习价值难以实现.

（二）集成知识难度高，专业建设有待完善

数学课程的教学对专业性和逻辑性普遍要求极高，但就中职数学教育现状而言，教师教学依旧以传统教学模式为主，在教学活动中以知识灌输为主，对学习者的引导极为有限，学习者在课堂活动中难以发挥主动性，致使学习者的数学思想难以形成.一方面，部分教师忽视培养学习者的数学逻辑思维，忽视渗透自主解题思维，导致学习者对数学问题欠缺独特见解，致使数学学习质量难以提升.另一方面，部分教师在梳理数学知识方面散乱无序，缺少知识的集成点，导致学习者无法有效整合对各种数学元素的认识，教学质量和学习效率难以达到预期目标.

（三）引导价值流失，教学方式单一

在中职数学教学活动中，引导学习者自主探究的价值高于知识传授和理论讲解的价值，但实现引导价值应选择契合学习者诉求的教学形式.然而，在长期的教学实践中，部分数学教师已习惯传统教学模式，以教材进度为参考，以理论灌输为手段展开数学教学活动，不能正确认知引导在教育中的价值，忽视引导学习者形成自主解题思维、树立数学思想，从而导致教学活动中引导的缺失、引导价值的流失，致使数学教育质量无法取得实质性的突破.

三、集合思想应用在中职数学教学中的优势

（一）表达更为简洁

对于数学教学来讲，教学的内容涉及的方面是较为广泛的，不仅需要进行教材内容的教学，也需要进行知识内容的拓展，这种情况使得数学教学比较烦琐，学生在学习的时候经常会出现思想断链的现象，严重影响学生的学习.在这样的情况下，集合思想的应用，能够将教学的内容精简化，对于一些文字表述较为麻烦的内容可以通过更为简洁的方式呈现出来，能够促使学生快速理解知识点，对于学生的成长发展有很大的帮助.在集合思想的影响下，教材中的内容能够以精简化的形式展现出来，促使学生的学习具有明确的方向和目标.

（二）难点更易突破

在数学教学中，教学的难点过于繁多，像方程、函数、集合等等，这些内容的理论知识过于的专业化，学生在学习的时候很难充分理解教材上的具体内容，在学习的时候经常会出现跟不上节奏、学习脱节的现象.对于这样的情况，集合思想的结合能够将教学中的难点进行分解，使学生的学习具有一定的阶级性和层次性.在集合思想的影响下，学生对于数学的难点内容有了新的认知，在学习的过程中也能紧跟教师的步伐，使得学生的学习质量有了保障.

（三）提升学生能力

在数学教学的过程中进行集合思想的融合，能够使学生在学习的过程中进行自身能力的强化，促使学生的整体实力得到提升.首先，学生能够在集合思想的影响下进行自身思维能力的拓展，促使学生的思想意识得到巩固提升，对于一些较为抽象复杂的内容也能具有自己的思考空间.其次，学生在学习的过程中，对于一些逻辑偏重的问题能够具有自己的构想，促使学生的解题能力得到提升.

四、集合思想之于中职数学教育的运用策略

（一）逻辑用语与集合

常用逻辑用语和集合是高考的必考知识点，是高中和中职阶段数学教育的基础内容.常用逻辑用语的教学能够帮助学习者掌握简单的推理技巧，锻炼学习者的思维能力，以及应用数学方法、数学语言和数学符号展开判断推理的能力.因此，教师在教学活动中应避免使用抽象的语言解释逻辑用语，应以集合的知识结构为切入点.集合间的计算包括补集、并集和交集，教学中应明确命题的组成和概念，明确逻辑连接词“非”“或”“且”的意义.以判断复合命题或简单命题真假的习题为例，在习题练习过程中，应注意将知识化繁为简，以基础知识为着手点，命题构成尽可能简单.

提高学习者的学习热情和求知欲是教师教学的追求和目标.虽然中职院校的学习者普遍基础较差，但所有学习者对知识的向往和对成长的期待都是一致的.因此，中职数学教师在教学活动中应迎难而上，不断提高自身专业水平，解决教学过程中遇到的难题.同时要正确把控数学教学与集合的关系，引导学习者维持高涨的学习热情，将逻辑思维应用在数学教学中，助力问题的解决.填空题、选择题是集合知识点在中职数学考试中的主要形式，也会出现创新题型，但普遍难度不大.教师可引导学习者在做题过程中使用符号语言、图形语言等，明确、直观地表达问题和结果.维恩图和数轴是展开补、并、交运算最有力的工具，结合逻辑语言和集合语言，可提高教学内容的准确度和简洁度.协助学习者使用集合语言表达数学对象，以逻辑思维分析问题，结合逻辑与集合，培养学习者使用数学语言交流的技巧.在教学活动中，怎样结合逻辑用语和集合，达到学习者愉快学、教师轻松教的目的，是值得探究的问题.

（二）几何与集合

几何对培养学习者空间思维能力具有重要价值，是数学教育的重要部分.虽然集合与几何看似不存在丝毫关联，分属数学知识的两个板块.但众所周知集合论与几何学都涉及公理.集合论中称之为选择公理，几何学中谓之平行公理.平行公理与选择公理都在否定和怀疑中不断完善，且相互渗透，在非康托集合论和非欧几何学中关系更进一步，以解决悖论问题为目的.立体几何和平面几何是几何的两个部分，立体几何包括棱锥、棱柱、多面体、空间直线与平面的角度、位置关系等，平面几何包括直线、抛物线、椭圆、圆、双曲线等，几何是客观世界中立体和平面的图形，是点、线、面之间的关系，而面与线是点的结合.由于几何理论体系相对完善，因此，在分析集合和几何的关系时，容易忽视集合的存在，忽视集合在解题中的作用.而在中职数学教学活动中，教师可通过现实案例，引导学习者探寻相似点，如在直线的点斜式求解过程中，与集合的求同理念相融合，探寻其中相似之处.

（三）函数与集合

函数是中职数学知识中的重要概念，表示一个事物伴随另一个事物的变化而变化的规律.函数一直是学习者学习的难点，因此中职数学教师在函数的教学活动中，可引导学习者遵循求同存异的集合思想，借助图像展现函数的特征性质.如三角函数类问题，具备周期性特征，在研究过程中可选择其中一个周期观察，并以此为参考探究其特征，归纳其规律.对于对数函数和指数函数，可借助图形探究其区别与联系，从而掌握其特征和性质，合理应对函数的变化状况.教师在教学活动中还可借助手机流量问题、打车问题等锻炼学习者的函数求解能力，引导学习者掌握集合思想，培养学习者数学思维.

（四）代数与集合

在数学教学中，代数属于一个教学难点，学生在学习的时候不能完整地理解代数的相关知识点，这种情况使得代数的学习效果具有一定的差异性.对于这种教学现状，可以将集合思想的内容结合到代数教学中，促使学生的学习效果能够具有一定程度的提升，同时也使得学生的学习成果得到强化.代数教学的设计范围是较为广泛的，像数集、命题、概率等都属于代数的一部分，因此集合思想在代数教学中的应用主要可以在以下三个方面进行体现.

一是在数集教学上进行集合思想的结合，主要分为两种情况，一种是通过集合进行充要条件的表述，另一种是通过集合进行命题条件的表述.对于充要条件的表述，可以分为两个步骤进行，第一步是先针对子集关系中的充分条件与必要条件进行说明，第二步是将充分条件与必要条件进行结合，使得子集的充要条件能够完整地表达出来.对于命题条件的表述，主要是针对一些带有命题性质的数集进行表述，像条件与结论之间的关系、原因与结果之间的关系等等，通过集合思想的结合，能够将这些要素清晰地展现出来，促使学生对这些内容的学习具有一定的依据与保障.

二是在命题教学上进行集合思想的结合，主要是针对一些复合性质命题的构成进行结合，促使命题的复合性能够得到分解，同时也能够使得命题的解法与结论更容易被学生接受.例如命题满足的性质，命题满足的性质，在这样的情况下，如果出现“或”的情况，就可以证明“∈或∈”；如果出现“且”的情况，就可以证明“∈且∈”；如果出现“非或者是非”的情况，就可以证明“∉或者∉”.

三是在概率教学上进行集合思想的结合，通过集合思想的方式进行互斥事件或对立事件的表述.对于概率教学来讲，互斥与对立事件属于教学的重点内容，如果只是单方面的通过概念进行教学，学生很难充分理解.因此教师可以在教学的时候进行集合思想的结合，复杂的事件可以分解为一个个的小事件，学生可以根据小事件的情况进行整体分析，这样可以在一定程度上促使学生掌握概率的学习内容.

（五）排列、组合与集合

对于中职数学的教学来讲，排列、组合也是教学的重点内容，在教学的过程中教师不仅需要为学生讲解排列组合的基本概念，也需要对这些内容的衍生知识进行讲述.因此学生在学习的时候经常会出现思维混乱的现象，严重影响学生的学习效果.对于这种情况，教师在教学的时候可以借助集合思想的方式进行，促使学生对于学习的内容具有较为全面的掌握，同时也使得学生的学习能够具有一定的提升.

在进行排列教学的时候，教师可以在集合思想的作用下进行相对应的知识点内容的讲述.首先是排列的概念讲述，教师可以让学生自主进行预习，促使学生能够对排列的知识点具有基础性的认知.然后让学生进行深入的思考，促使学生能够由浅至深地了解排列的相关内容.之后教师就可以在概念教学的基础上进行内容的延伸与拓展，促使学生能够逐渐掌握排列知识.

在进行组合教学的时候，教师可以在教学前先给学生一些数据，使学生能够自主进行数据的结合，然后让学生表述数据组合的原理，使学生能够对自己的组合方法以及组合观念具有一定的了解与认知.然后教师可以根据学生的状态进行相关知识点内容的讲述，促使学生能够进行深层次内容的学习，同时也能够使得学生快速地掌握组合的相关知识点.最后教师再进行内容的延伸，促使学生能够在集合思想的影响下进行知识点的扩散，使得学生更为牢固地掌握教材内容.

五、结束语

集合思想不仅作为数学思想存在，也作为其他科目的研究工具存在.大道至简，教师在数学教学中应渗透“至简”的理念，引导学习者在数学知识的分析归纳中“求同存异”，以期增强学习者对数学知识的求知欲和学习热情.教师应引导学习者客观地认识数学.并将其应用于实际生活中，促进学习者的成长.相较于小学、初中的数学知识，中职数学更加复杂、抽象，故为维持学习者对数学学习的热情，教师在数学教学中应将数学知识化繁为简，使教学达到事半功倍、锦上添花的效果.