基于模糊C-回归聚类的T-S模糊粒子滤波算法

黄逸凡 粟 梅

(中南大学信息科学与工程学院 湖南 长沙 410012)(湖南民族职业学院 湖南 岳阳 414000)

0 引 言

非线性系统的状态估计是目前目标跟踪领域研究的重点课题之一，而非线性滤波算法对于非线性状态估计具有极其重要的影响[1]。在随机非线性系统和非高斯噪声的条件下，寻找更有效粒子滤波实现机动目标跟踪具有重要的研究价值和实际意义[2]。

针对动力学系统中的非线性和非高斯问题，提出的许多粒子滤波算法主要通过融合多个模型从而提高粒子滤波密度函数的权重[3-5]。这些方法在一定程度上抑制了粒子的退化，但是在跟踪目标机动时，效果并不理想，而且随着模型数量的增加，不可避免地会增加计算的复杂度。同时，太多模型的不必要竞争导致性能的降低。

上述提到的滤波方法都需要精确的运动模型，但在非线性系统中进行精确的运动建模几乎是不可能的，且实际系统中存在大量的不确定性问题[6]。为此，考虑到模糊逻辑在非线性描述方面的巨大优势，诸多学者已经在粒子滤波中引入T-S模糊理论[7]。由于这些方法均无法实现模型中参数与规则的自适应调整，从而无法适应实际非线性系统的不确定性问题，另外也无法达到实际系统粒子滤波的实时性要求。

针对上述问题，本文提出一种基于模糊C-回归聚类的自适应T-S模糊模型实时粒子滤波算法，实现了在运动方向突然改变或目标动态模型的先验信息不准确条件下，对机动目标进行实时跟踪。

1 相关理论

1.1 T-S模糊语义模型

T-S模糊模型已广泛应用于非线性系统建模[8]。研究证明，T-S模糊模型可以表示任意精度的非线性系统。对于具有空间特征信息的T-S模糊模型，每个线性模型规则定义如下：

(1)

在T-S模糊模型的建模中，一个重要的问题是后续模型参数的识别[9]。传统的T-S模糊模型在结论参数识别中采用最小二乘法或加权最小二乘法，所以建模精度不高[10]。目标模型由T-S模型中的几个线性子模型表示，可以通过最好的线性滤波算法卡尔曼滤波算法进行识别。对于每个T-S模糊规则，卡尔曼滤波算法具有以下步骤：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

此外，为了实现参数的适应性识别，通常将前提参数的模糊隶属函数设置为高斯函数：

(7)

基于式(1)和式(7)，每个规则的相应权重计算如下：

(8)

最后，基于T-S模糊语义模型的状态和协方差估计如下：

(9)

(10)

(11)

结合式(11)和权重更新来计算粒子权重，计算如下：

μk-1,jp(zk|xk,j)

(12)

1.2 基于模糊C-回归聚类算法的参数识别

(13)

(14)

FCRC算法有两个主要问题[12]：交替优化技术的迭代性质使其对噪声敏感，如果噪声数据幅值较大，则会严重影响估计模型参数；另外该算法对初始化很敏感，并且可能收敛至局部最小值。因此，不同的初始化可能很容易导致不同的结果。

基于Lyapunov稳定性理论，可得关于线性矩阵不等式的稳定性条件，从而可以确定系统稳定性并实现控制设计。另外，在内核空间中作为非线性相似性度量的熵对异常值不敏感，而且熵可以用非高斯噪声来求解。为了估计T-S模糊语义模型的输出与观测值zk,l之间的相似性，在算法中引入熵，其定义如下：

(15)

根据信息理论，最大熵原理(MEP)是选择隶属度值最公正的方法。为了在式(14)的约束下最大化式(15)中定义的熵，可以将优化问题重新表述为拉格朗日的最大值，目标函数定义如下：

(16)

(17)

(18)

(19)

因此，在时间k处第i条模糊规则的模糊隶属度计算如下：

(20)

式中：C表示均值常数矩阵。当利用式(20)计算隶属矩阵U时，可以使用T-S模糊模型的参数识别式(21)。

(21)

算法1T-S模糊模型粒子滤波(TSF-PF)

2) 迭代循环：对于k=1,2,…

(22)

(23)

(24)

(25)

(2) 状态输出：状态和状态协方差的估计结果如下：

(26)

2 改进TSF-PF算法

考虑到每个粒子的TSF-PF算法估计都使用T-S模型，并且在粒子滤波算法中重新采样所需的时间、TSF-PF的计算负担较大。为了提高本文算法的实时性能，提出了两种改进算法。

(27)

同时，前提参数的识别方法与TSF-PF相同。最后，通过T-S模糊模型状态融合获得目标的下一次状态和协方差估计。

算法2改进的T-S模糊模型粒子滤波(ITSF-PF1)

2) 迭代循环:对于k=1,2,…

(28)

3) 模型状态融合。

(29)

改进的T-S模糊模型粒子滤波算法2(ITSF-PF2)类似于TSF-PF算法，都将T-S模型引入了粒子滤波框架。TSF-PF基于T-S模糊语义模型的估计，构造了每个粒子的重要性密度函数并在TSF-PF中进行了采样。而ITSF-PF2是基于T-S模型的输出来构造所有粒子的重要密度函数并提取粒子的。首先，在T-S模型的语义模型中对多个模型进行加权求和，导出自适应状态转移模型，然后基于该模型对粒子进行估计。通过使用T-S模糊模型输出构造重要性密度函数。

(30)

算法3改进的T-S模糊模型粒子滤波2(ITSF-PF2)

2) 迭代循环：对于k=1,2,…

(31)

(32)

3) 状态输出：得到的状态和状态协方差的估计结果如下：

(33)

3 仿真结果与分析

3.1 单变量非平稳增长模型

本文将均方根误差(RMSE)用作性能指标，其定义为：

(34)

式中:D是蒙特卡洛仿真的次数。

为了验证算法的非线性跟踪有效性，将过程模型选为具有观测模型的高度非线性非稳定离散时间系统。

(35)

(36)

式中：wk-1和vk是高斯噪声，均值为零，方差为0.1；α=0.5，β=25，γ=8，φ=0.05是已知常数。为了比较算法的性能，执行了100次蒙特卡洛仿真，在每次蒙特卡洛仿真中，假设初始状态x0=0.5 m，规则数为6[3]。

图1(a)显示了当粒子数为500时，EKF、UKF、PF、EKF-PF、UKF-PF和TSF-PF的RMS位置误差[13-18]。可以看出，在很大程度上，TSF-PF的性能优于UKF。对于此问题，UKF的性能较差是由于过程的高度非线性和观测模型的不平稳性引起的近似误差增加导致的。此外，可以看出，本文算法的效果比EKF和PF的效果稍好。原因之一是PF使用先前的PDF作为重要性密度，并且从它们中提取的粒子可能是无效的，因为它远离似然函数。EKF-PF、UKF-PF和TSF-PF的RMSE分别为3.871 8 m、3.562 8 m和3.495 6 m。

图1(b)显示了当粒子数不同时，PF、EKF-PF、UKF-PF和TSF-PF的RMS位置误差。当粒子数小于100时，TSF-PF的性能最佳。但是，随着粒子数量增加300或700，UKF-PF的性能略优于TSF-PF。一个主要的原因是，当目标运动模型已知时，无迹转换仍然成立。否则，当粒子数太大时因太稠密会出现粒子重叠的现象，这会使其有效性下降。当粒子数为500时，全部的计算时间如表1所示。一般而言，TSF-PF的RMS位置误差较小时，说明该算法在UNGM中是有效且稳定的，它可以准确地解决非线性问题。

表1 所有算法的计算时间比较 单位：s

3.2 跟踪机动目标

进一步分析了雷达机动目标跟踪问题，以此验证不确定的建模和非高斯问题。本文算法中目标的状态方程和观测方程如下：

(37)

(38)

(39)

(40)

转动速度由T-S模糊模型确定，表2显示了每个T-S模糊模型的相应曲线和过程噪声标准偏差。

表2 不同的和Δνk的角速率ωi和过程噪声标准偏差σi,e

为了验证本文算法的有效性，执行了本文所提三种T-S模糊模型的粒子滤波算法，并将其与IMM、IMMUKF、IMMPF和IMMRBPF算法进行了比较[19-21]。从图2(a)可以看出，本文提出的所有算法都是相对稳定的，特别是在目标机动的情况下，这三种算法的性能均优于其他算法，这表现出它们具有良好的鲁棒性，并证明该算法可以有效地处理非线性系统中的不确定信息。图2(b)和图2(c)分别显示了x坐标和y坐标的RMS误差。可以看出，本文算法跟踪结果相对都是最优的。但IMM和IMMRBPF算法在转回时将失去目标，主要原因是IMM算法使用的模糊集可能不够大，当目标机动时，所选的模糊集不能有效地匹配目标的运动状态。TSF-PF、ITSF-PF1和ITSF-PF2可以根据目标的空间特征信息自适应地调整每个规则的权重，该特征具有多个语义模糊集。同时，通过T-S模糊模型中前提参数的隶属度函数可以调整各规则的权重，得到目标机动的状态估计。本文方法不需要像IMM算法那样知道先验概率和马尔可夫转移概率，同时还可以减少计算复杂度。

选择最佳数量的粒子是提高粒子过滤波性能的关键因素。不同粒子情况下五个粒子滤波方法的运行时间如图2(d)所示。在每种情况下，该程序都是在Inter (R) Core (TM) i5-6500、CPU为3.6 GHz和8 GB内存的计算机上的MATLAB R2017a上运行的。可以看出，粒子滤波算法的运行时间与粒子数量成正比。本文提出的TSF-PF算法耗时相对较长。但是经过改进后，与TSF-PF相比，ITSF-PF1和ITSF-PF2的运行时间分别缩短了6.59%和56.38%。因此，在很大程度上，ITSF-PF2可以满足非线性系统的实时性要求，成为所有算法中所需运行时间最短的。表3为7个算法在不同粒子数下的RMS位置误差。可以看出，在粒子数为200时，本文算法的RMS位置误差约为0.107 4 km，与其他四种算法相比，它的跟踪效果分别提高了33.54%、5.95%、3.59%和16.94%。

表3 不同粒子数下RMS位置误差的统计单位:km

结合表3中的数据与图2(d)中算法的运行时间分布，将本文中的粒子数设置为200。注意，如表4所示，IMM和IMMUKF是最快的，但它们具有较大的RMSE。ITSF-PF2的计算时间为72.310 5 s，可以满足实时性要求。它还引入并行计算，已选的良好的重要度密度函数可以有效地减少粒子降解和省去重采样步骤。比较所有算法的性能和计算时间，ITSF-PF2算法取得了很好的折中。

表4 所有算法的跟踪计算时间比较 单位：s

表5给出了在不同过程噪声方差下，每个规则的所提算法的RMS位置误差。结果表明，表2中给定的过程噪声方差值最适合，因为它是根据T-S模糊规则设计的。其中一些方差值相对较大，但它们可以改善采样过程中粒子的多样性并减少粒子的降解。

表5 不同过程噪声下RMS位置误差

单位：km

表6给出了在不同观测噪声方差条件下，IMM、IMMPF、IMMRBPF和本文提出的三种算法的RMS位置误差的变化。当噪声为高斯分布时，这些方法的RMS位置误差会随着观测误差的增加而增加，其中IMMPF的变化最为明显。因此，高斯观测噪声方差被设定为0.15。同时，非高斯噪声是两个遵循相同高斯分布的噪声的叠加。通过改变高斯分布的方差可以获得不同的非高斯噪声。可以看出，本文所提的三种算法最适合非高斯噪声处理，这是因为本文构造了T-S模糊模型，它可以将目标的空间特征信息纳入粒子滤波，自适应地调整目标的运动模型。总的来说，所有仿真结果均表明本文算法可以有效地解决系统中的非线性非高斯问题。

表6 不同观察噪声下的RMS位置误差统计单位：km

4 结 语

针对非线性非高斯系统中不确定性估计问题，提出两种改进的基于模糊C-回归聚类新型的T-S模糊模型粒子滤波算法。通过仿真可知：

(1) 通过模糊C-回归聚类算法和卡尔曼滤波分别确定了T-S模糊模型的前提参数和结论参数。同时，通过前提参数的模糊隶属度可以自适应地调整模型的选择。验证了该方法可以有效处理非高斯非线性目标动态模型不确定性粒子滤波问题。

(2) 算法采用T-S模糊模型的输出来构造重要性密度函数，有效地增强粒子的鲁棒性和多样性，在目标机动或目标运动模型不准确的情况下，所提算法相对于其他传统滤波算法的效果更好

(3) 两种改进的TSF-PF都能够减小计算量，加快计算时间，相对来说，引入并行滤波和省略重采样对计算速度的提升效果更明显。