“做数学”理念下学科育人的实践探究*——以“图形的旋转”教学为例

卞焕清|江苏省南菁高级中学实验学校

数学具有高度的严谨性、抽象性和逻辑性，这使得初中阶段的学生学习起来困难重重.同时，传统数学教学往往注重演绎而轻视归纳、类比，满足于证明现成的结论，学生很少能够亲身经历数学结论的探索、发现过程，也无法体会数学知识的整体性，这进一步降低了学生学习数学的兴趣.正是基于这样的教学现状，新课程改革对数学教育不断提出更高的目标和要求.然而，不论是“四基四能”，还是数学核心素养，仅仅依靠教师单向的、讲授式的教学，显然是无法达成的.因此，在适当的数学情境下，“做数学”就成为数学课堂教学的应然选择[1，2].

一、“做数学”理念下“图形的旋转”教学分析

（一）“做数学”的基本概念

“做数学”教学理念起源于美国科学学科实施的“Hands-on”学习计划，我国于20世纪90年代在幼儿园和小学的科学教育中引入，后被引入数学教育[3].“做数学”理念下的数学教学强调知识源于生活，鼓励学生通过观察生活现象发现问题、提出问题.和传统教学相比，“做数学”理念下的教学，不再将教师作为课堂的主体，教师不直接告知问题的答案，而是引导学生自己设计操作、亲身实验，在动手操作的过程中经历新概念或者规律的形成，感悟思维和知识的发生.除了传授数学新知外，“做数学”课堂还注重帮助学生体会数学基本思想，探究解决问题的基本路径，提升数学思维品质.

（二）“图形的旋转”教材分析

“图形的运动”贯穿整个义务教育阶段的数学教学，而初中阶段强调学生能够通过探索来理解平面图形运动的内涵，这也意味着学生需要更加主动、系统地研究图形运动之间的共性和个性问题.在苏科版义务教育教科书《数学》八年级下册中，“旋转”是继“平移”和“翻折”之后学习的另一种图形的基本运动方式，也是后续学习“中心对称图形”的基础，在知识体系中起着承上启下的作用.旋转的基本概念及对其性质的探索和归纳是这节课的重点和难点.数学课堂不仅要关注数学概念、性质、定理等显性知识，更应重视显性知识背后的学科思维、研究路径和学科价值等默会知识.然而，在传统教学中，教师一般直接讲授图形旋转的概念和性质.这样，学生就很难体会图形的旋转到底是如何发生的，又应该如何去探究、发现图形旋转的性质.这也导致学生无法用运动的眼光去观察生活实际、去分析和解决数学问题.

为了解决这个“教与学”的矛盾，笔者从“做数学”理念出发，引导学生动手操作，以直观地感受旋转前后图形所对应的基本元素在形状、大小和位置关系上的不变性，体会图形旋转基本概念和性质的生成过程，进而归纳研究图形运动的一般方法.学生通过自己的亲身体验来发现问题和解决问题，更能提升数学核心素养.

（三）设计理念

1.以生活实际为源，抽象数学新知

任何知识都离不开生活，笔者从学生生活实际出发，从具体到抽象，从感性到理性，循序渐进地引导学生认识自然界和生活中的运动，并从中抽象出旋转模型，然后尝试归纳旋转的基本概念，探索其性质.

2.以学生操作为主，体会知识生成

对旋转基本概念和性质的探究是这节课的核心环节.笔者让学生操作系着砝码的细绳以归纳旋转的概念和基本要素，操作半透明的硫酸纸以探索旋转的基本性质.整个课堂紧扣学生的主体地位，以探究式教学为主，引导学生在“观察—操作—交流—归纳—应用”的实践过程中主动探索、合作交流，在“做”的过程中充分体会新知的生成过程.

3.以整体理解为引，架构知识脉络

笛卡尔指出：“要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究.这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等.”[4]图形的旋转是三种基本运动方式之一，那么在研究旋转时就需要认识到平移、翻折、旋转之间的整体联系；同时作为“中心对称图形”的章首课，整个课堂不应止于下位知识的探索，而是要帮助学生明确课堂研究的目标是什么，又是如何去研究的，即帮助学生明确图形的运动要研究的是图形的“形状、大小和位置”，要研究的是运动中的“变中不变”，从而真正提升学生发现问题、解决问题的能力.

二、“做数学”理念下“图形的旋转”教学设计

环节一：情境引入，梳理脉络

问题1：法国著名哲学家伏尔泰有过这样一句名言“生命在于运动”，正是因为各种运动，我们的生活才充满生机，你能发现下列生活场景中的运动方式吗？

【设计意图】社会、数学知识和学生对数学课程发展的影响不是孤立的[5]，“做数学”理念下的教学从生活经验出发，鼓励学生从生活实际中发现问题.该问题通过生活场景唤醒学生对图形运动的认识，引导其梳理几种运动方式的特征。此外，格言引入式开场白还能够活跃课堂氛围，激发学生的学习兴趣.

问题2：请说说我们之前是如何研究图形的平移和翻折的？

【设计意图】平移、翻折和旋转是义务教育阶段研究的三种基本运动方式，三种运动方式的研究路径也具有一致性.该问题从整体建构理念出发，引导学生回忆平移和翻折的相关知识，梳理其研究路径.在已有学习经验的铺垫下，学生探索图形的旋转就“有路可循”.同时，这也能让学生初步感悟图形运动研究的目标是图形的“形状、大小和位置”的“变中不变”，进而培养学生合理联想、类比推理等能力.

环节二：探索新知，形成概念

问题3：同学们，生活中有不少旋转现象，你能准确说出旋转的基本概念吗？

问题4：让我们动手操作来探索旋转的概念（用细绳和砝码），同时请思考，旋转需要研究哪些基本要素？

【设计意图】“做数学”理念下，教师要引导学生应用材料和工具，设计实验操作、实验、实践等活动，让学生能够通过具身体验来获得数学概念和性质[6].旋转的基本概念和三要素是这节课要研究的重点，也是研究旋转的起点.学生已经初步知晓了什么样的生活现象是旋转，却不能给出旋转的数学定义，不论是课件上的图片还是精美的动画都无法让学生直观、准确地感受到旋转过程的动态变化，因此也无法帮助学生抽象出旋转的数学模型.该环节紧扣学生的具身体验，通过细绳和砝码设计了实验操作，让学生上台演示旋转过程.在操作的过程中，教师再引导学生观察并思考：“拿住细绳一端的手是否能够改变位置？旋转过程中细绳的长度是否发生改变？砝码向哪个方向旋转？砝码旋转的角度是什么？”在观察运动的过程中，学生归纳出旋转的基本概念，同时明确旋转需要研究的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.值得注意的是，细绳也代表了旋转中心与对应点的连线，其长度不变也代表了旋转中心与对应点的连线长度不发生改变，这也为旋转性质的探究埋下伏笔.

环节三：实践操作，探索性质

问题5：我们已经知道了旋转的概念，下面我们要研究什么？我们又该如何研究呢？

【设计意图】“做数学”理念强调学生学习的主体性和教学过程的交互性.旋转性质的探究是这节课的核心内容，这个环节不是直接告知学生旋转的性质，而是引导学生知晓研究目的、明确研究方法.研究目的是非常明确的，即旋转的性质.对于研究方法，问题4中砝码的旋转恰好给出了一个范例.我们可以将砝码抽象成一个点，从点的旋转开始研究，再研究线段和三角形的旋转，从特殊到一般，从局部到整体，进而归纳出图形旋转的一般性质.图形旋转性质的研究路径详见图1.

图1 图形旋转性质的研究路径

问题6：请同学们动手操作（旋转硫酸纸），在操作的过程中探索点的旋转有什么性质？

【设计意图】数学问题的研究应当是有序的，须由浅入深，沿着研究路径逐步探索复杂问题的解决方法.该环节从点的旋转入手，拾阶而上再研究复杂图形的旋转.通过旋转硫酸纸，学生能够观察到点是如何旋转的，这就解决了“为什么要连接旋转中心与对应点”这个朴素又关键的问题.据此，学生能直观地发现点的旋转的基本性质，即对应点到旋转中心的距离相等.对点的旋转进行探索能够帮助学生明确探究的目标，即在旋转这个动态变化的过程中有哪些元素是不变的，继而对下阶段探究线段和三角形的旋转产生类比、联想和深化，明确研究旋转性质的一般方法.

问题7：你会探究线段旋转的性质吗？请按照点的旋转的研究方法继续探究.

追问：和点的旋转不同，线段的旋转要注意什么呢？

【设计意图】基于点的旋转的研究经验，线段的旋转性质的探究路线也逐渐明晰.和点的旋转有所区别的是，在线段的旋转中，旋转中心位置具有不确定性，即在线段上和在线段外，这也是在探究过程中需要处理好的问题生成与问题深化之间的关系.在实际操作中，学生从点的旋转角度延伸能够自然联想到的是图2-1中旋转中心在线段端点处的情况.这种情况下能够得到如下发现：AB=AB′，且∠BAB′即为旋转角.这也是大部分学生得到的结果.此时应进行追问：旋转中心的位置是否具有不确定性？在图2-2中不难有如下发现：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在图2-3中可以有如下发现：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.

图2 线段的旋转示意

问题8：相信同学们已经知道如何研究三角形的旋转了，请大家尝试动手操作.

追问：对于更复杂的图形的旋转，你要如何探究？

【设计意图】系统地研究了点与线段的旋转后，三角形旋转的探究路线也跃然纸上，这是从局部到整体的迁移.有了线段旋转的研究基础，学生在旋转硫酸纸的过程中就会很自然地对旋转中心位置进行分类，分别是在三角形边上（如图3-1）、三角形内部（如图3-2）和三角形外部（如图3-3）.学生在认识到旋转是刚体变换的同时也知道如何去探究旋转的性质，即需要连接旋转中心和对应点，将目光集中于旋转角的相等、对应点到旋转中心连线的长度相等，去探究“变中不变”.对于更复杂图形的旋转，探究目标和研究路径也已然明确.由此，学生不仅习得了性质，更获得了数学研究的方法，提升了解决问题的能力.

图3 三角形的旋转示意

问题9：请同学们归纳图形旋转的性质.

【设计意图】“做数学”理念强调学生获得认知的主体性，在性质的归纳环节，教师要引导学生从实验操作的结果中归纳、总结出旋转的性质.在学生探究了点、线段和三角形的旋转之后，教师需引导学生归纳总结三者的共性，即旋转前后图形全等、对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.值得注意的是，在归纳过程中教师需要帮助学生明确旋转的整体性，即图形上的每一个点均随图形的旋转而旋转.

环节四：巧用性质，旋转作图

问题10：你能画出点A绕点O顺时针旋转90°后获得的图形吗？线段AB绕点O顺时针旋转90°后的图形呢？三角形ABC绕点O顺时针旋转90°得到的图形呢？更多复杂的图形呢？

问题11：如图4（见下页），在正方形ABCD中，点E、G分别在BC、AB上，△ABE经过旋转后得到△ADF.

图4 三角形在正方形上的旋转示意

（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角为多少度？（3）你能找到点G的对应点G′吗？（4）若点M是△ABE内任意一点，你能找到点M的对应点M′吗？

【设计意图】性质的应用与性质的探索类似，还是按照从简单到复杂、从特殊到一般的研究路径.问题10的设置，是为了引导学生思考如何画出复杂图形旋转后得到的图形，即可将复杂图形进行分解，如将三角形的旋转分解成点的旋转，从而确定旋转后得到的图形，这可让学生感受到局部（点、线）与整体（三角形、复杂图形）之间的联系.问题11的设置，是为了检验学生是否能够识别旋转中心、旋转角，是否能够找到旋转后的对应点，以及是否能够认识到旋转是整体的.

环节五：课堂小结，梳理框架

问题12：你能说出这节课我们经历了怎样的学习过程，是如何来研究图形的旋转的吗？

【设计意图】课堂小结时，教师要引导学生梳理课堂学习流程，帮助学生梳理研究数学新知的一般路径，即概念、性质与应用，进一步体现类比思想在探究三种运动方式中的应用.对研究路径进行梳理还能帮助学生认识到运动知识的整体性，以及数学知识之间的内在逻辑联系.图形的运动研究路径详见图5.

图5 图形的运动研究路径

三、对“做数学”理念下的教学设计的反思

（一）聚焦生活情境，让数学种子在动手操作过程中生根

义务教育阶段数学知识的来源、学习素材的选取都和现实生活紧密联系，因此，课堂教学应该从学生熟悉的生活实际出发.教师要引导学生学会观察并用数学的眼光观察生活现象，引发共鸣，产生探索新知的内在需求及主动学习的动机，进而乐于学习.“做数学”理念下旋转的概念和性质的探究，主张从学生的生活实际出发，强调自主动手探究，这也是其和传统课堂最大的区别.一方面，教师要强调学生在课堂中应围绕某个问题，自己动手开展一系列的操作、实验、归纳等实践活动，通过自主操作感悟数学知识.另一方面，教师也要鼓励学生选取生活中常见的材料并设计实验.

例如，在这节课的教学中，笔者从常见的生活场景出发，引导学生观察生活情境，抽象出运动方式，引发学生思考：“生活中常见的运动之间有何关联？旋转到底具有怎样的性质？”由此将课堂需要研究的“大问题”抛出，拉开课堂探究的序幕.在这节课安排的“环节二”中，笔者让学生操作生活中常见的细绳和砝码，以此探索旋转的基本概念及三要素，进而抽象出点的旋转的模型.实际上，细绳连接的砝码正是点的旋转的雏形，细绳这一桥梁解决了“为什么要连线”这个最朴素的问题，旋转过程中细绳长度不发生改变也恰恰折射出对应点到旋转中心距离相等这个性质，为后续探究旋转的性质打下基础.经过系列探究，图形旋转概念的生成过程不再是机械的记忆，学生用自己的头脑、情感和肢体去思考、体验，“做”出默会知识，发展了发现问题、解决问题的能力.

（二）紧扣学生主体，让学科知识在思维碰撞中生成

知识、技能和能力的获得最终都需要学生自我进行内化，因此，整个课堂教学应该紧密围绕学生的主体实践展开.不论是旋转的概念、旋转三要素还是旋转性质的探究，都需要学生亲自动手操作，教师则要进一步引导学生去发现、归纳.整个课堂中教师应起到主导作用，让学生以小组为学习形态，并充分关注学生个体学习与协同发展，引导学生在“做”的过程中不断完善研究路线和实验方案，培养学生思维的有序性和多样性.

例如，旋转概念及性质的探究是这节课的核心环节，在“环节三”中，笔者为学生提供了协同学习的材料硫酸纸.在探究过程中，不论是由点的旋转出发，经历线段的旋转和三角形的旋转的探究路径，还是由旋转中心位置的不确定性引发的不同旋转类型，都需要小组分享、全员沟通，需要教师进行适当引导，从而不断完善实验方案.在这样的协同学习中，学生才能体会知识的生成过程，感受到自身能力的提升.

（三）着眼学科育人，让核心素养在整体探究中生长

“做数学”的课堂预设是多元的：不仅关注知识的获取与应用，也关注知识之间的联系和区别；不仅关注问题的解决和分享，也关注问题的生成与深化.学生之间思维的碰撞往往能够激发学生个体的思考、发展创新思维，学生在交流的过程中也更易发现数学的本质.

这节课有一明一暗两条研究线路.一是明线，即旋转概念和性质知识的生成过程.整个过程以学生为主体，教师引导学生动手操作，并在生生、师生对话中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，从而发现图形旋转的本质，即旋转前后两个图形对应元素的不变性.在此基础上，笔者进一步深化问题，提出“对应点与旋转中心连线有何性质，又要如何研究”.二是暗线，即将图形旋转与平移、翻折之间的联系与区别贯穿于整个探究过程.首先明确的是旋转、平移和翻折研究路径的一致性，都是从概念出发，继而研究其基本性质和应用.在旋转概念的探究过程中，笔者引导学生观察旋转运动的特征，对比平移和翻折的概念，生成旋转的基本概念，明确研究要素，即绕着一个定点、沿着顺时针或者逆时针方向、转动一定角度.在旋转性质的探究过程中，笔者引导学生发现旋转性质和平移、翻折之间的区别，要研究的是对应点与旋转中心连线具有的性质，而不是对应点之间连线的性质.

在这节课中，笔者不仅关注旋转相关知识的探究，还通过“做数学”驱动学生进一步认识三种全等变换之间的逻辑关系，形成解决该类运动问题的一般思维模式，体会数学研究的一般方法，这也是学科育人价值的体现.整个课堂教学紧紧围绕学生自主设计实验方案并动手实践，达成知识体系的建构，发展学生的数学思维，真正实现了课堂角色的“翻转”，让学生的核心素养在整体、深度的探究中不断生长.