高中阶段的排列组合问题

梁佳殷

(黑龙江省哈尔滨师范大学教师教育学院 150025)

1 特殊元素和特殊位置

这类问题的主要特征是具有特殊元素或者特殊位置.这时我们应优先安排它们的位置.

例1由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？

2 元素之间相邻

这类问题的主要特征是有某几个元素必须相邻.这时我们先将它们捆绑在一起，视为一个元素，先求捆绑外部的排列，再求捆绑内部的排列，称为捆绑法.

例2A，B，C，D，E，F，G七个人站在一排拍照，其中A，B，E三人想站在一起，D，G二人想站在一起，求一共有多少种不同的站法？

3 元素之间不相邻

这类问题的主要特征是有某几个元素必须不相邻.这时我们可以先将没有特殊要求的元素进行排列，再将必须不相邻的元素进行插空，称为插空法.

例3 (改自2021年理科甲卷10)将4个1和2个0随机排成一行，若2个0不相邻，共有多少种不同的排法？

4 元素之间顺序固定

这类问题的主要特征是有某几个元素的前后顺序固定，这时我们共有三种做法.其一，先将其他元素安排进空位中，再考虑顺序固定的几个元素；其二，先将顺序固定的几个元素列出，用其他元素进行插空；其三，对所有元素进行全排列，再除去顺序固定元素的排列数.

例4学校迎新晚会共有A，B，C，D，E，F，G七个节目，考虑到节目效果，节目G必须在节目A之前，节目A必须在节目D之前，求一共能安排多少种不同的节目顺序？

解法2 先将顺序固定的几个元素列出，由于其顺序固定，只有1种排法，即GAD，再将剩余的4个元素进行插空，放入第一个元素时有4个空位，放入第二个元素时有5个空位，放入第三个元素时有6个空位，放入第四个元素时有7个空位，由分步乘法计数原理可得，共有1×4×5×6×7=840种不同的节目顺序.

5 分配问题

这类问题的主要特征是将元素分配到不同的位置中，且每个位置要求至少有几个元素.这时我们先按照要求进行选择，再进行分配.

例5将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ).

A.60种 B.120种 C.240种 D.480种

6 分组问题

例6将A，B，C，D，E，F，G七个人分为3组，一组3个人，另外两组2个人，求共有多少种分法？

7 元素相同问题

这类问题的主要特征是元素之间没有任何区别，再将它们进行分组，且每组至少一个元素.这时我们先将全部元素列出，以插板的方式将其分组，即用(m-1)个隔板将全部n个相同元素分为m段，称为隔板法.

例7把10个相同的小球放入7个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，共有几种不同的放法？

8 复杂问题

之所以称为复杂问题，是因为这类问题一般都不太容易理解，给的条件很复杂，学生在遇到这种题后第一反应一般是分类，就很容易出现多算、漏算的现象.这时我们可以将问题转化为上述7类问题中的一种便于解答.

例8现有排成一排的十把椅子，若A，B，C，D四人都要入座，且每个人的左右两边都想留有一个空位，则一共有多少种不同的坐法？

9 分情况讨论问题

这应该是学生最喜欢的一类问题，没有什么特殊的技巧和解法，仅是讨论各种可能的情况就能够得出答案.

例9现要求在4名男生和3名女生中选择4人作为班会的主持人，且要求必须有男生也有女生，求有多少种不同的选法？

注：有时运用穷举法或者画树状图的方式，可能会得到意想不到的效果.

10 染色问题

染色问题是一种复杂的分情况讨论问题，做法一般是先选择其中一个位置，再跳格进行讨论.

图1

例10如图1，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，现在要求在花坛的每一块都要种且只能种1种花，且相邻的2块所种的花颜色不能相同，则不同的种法总数为____.

这类问题也存在着通解，若一个圆被分为n个扇形，想用m种不同的颜色进行染色，每个小扇形只能染一种颜色且相邻的两个扇形颜色不能相同，则其共有(m-1)n+(-1)n(m-1)种不同的染色方法.

排列组合这一节对学生的数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养要求较高，但只要多加练习，能够认准题型并熟练运用对应的方法，注意细节，就可以轻松解决.