聚焦核心素养 关注数学应用 考查关键能力——谈“函数模型视角下的概率统计”的复习备考

杨 晓

(贵州省遵义师范学院附属实验学校 563006)

中国高考评价体系提出基础性、应用性、综合性、创新性考查要求，2021年新高考Ⅱ卷21题全面落实了这4个方面的考查要求，并在应用性上进行了重点探索.该题聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能. 该题属于函数模型视角下的概率统计试题，其倡导理论联系实际，学以致用，体现数学的应用价值.

1 真题研究

例题(2021年新高考Ⅱ卷) 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来.设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代,……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列.设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X).

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实数根，求证：当E(X)≤1时，p=1；当E(X)>1时，p<1.

(3)根据你的理解，说明第(2)问结论的实际含义.

解析(1)根据题意，E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

(2)根据题意E(X)=p1+2p2+3p3.

设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，因为p3+p2+p1+p0=1，故f(0)=p0>0,f(1)=p3+p2+p1-1+p0=0.

f′(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,f″(x)=6p3x+2p2>0，所以y=f′(x)在(0,+∞)上单调递增.f′(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1.

①若E(X)≤1，可得f′(1)≤0.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上单调递减.故x=1为f(x)的最小正零点，即p=1.

②若E(X)>1，可得f′(1)>0.因为f′(0)=p1-1<0，所以在(0,1)上，f′(x)存在唯一零点，设为x0.当x∈(0,x0)时，f′(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减；当x∈(x0,1)时，f′(x)>0,f(x)在(x0,1)上单调递增.

故f(x)的最小零点在(0,x0)上，即p<1.

综上所述，当E(X)≤1时，p=1；当E(X)>1时，p<1.

(3)实际含义：当1个微生物个体繁殖下一代的个数的期望值小于或等于1时，该种微生物经过多代繁殖后必然灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的个数的期望值大于1时，该种微生物经过多代繁殖后也不会灭绝.

注该题的第(1)问是随机变量期望的直接计算.第(2)问是从函数的视角解决零点(方程的根)问题.第(3)问则是根据数据结果说明概率问题，属于开放性问题，反映出该生物多代繁殖后，期望值越小，临近灭绝的概率越大；期望越大，临近灭绝的概率越小，与我们提倡的三胎政策相吻合.

2 变式训练

函数模型视角下的概率统计试题创设真实问题情境，体现数学思想方法在解决实际问题中的价值和作用，考查利用数学工具解决实际问题的能力.再看下面三道变式题.

变式1 (2022届高三第一次八校联考)元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛.初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景(如诗词题名、诗词作者等)，要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级.团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数.为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功.参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛.

方式一:将班级团队选派的2n个人平均分成n组，每组2人.电脑随机分配给同一组两个人一道相同的试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功.

方式二:将班级团队选派的2n个人平均分成2组，每组n人.电脑随机分配给同一组n个人一道相同的试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功.

(1)甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率；

(2)在团体对决赛中，如果你班每位参赛的同学对给出的试题回答正确的概率均为常数p(0

(2)设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为P1，P2.

当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为(1-p2)，则两人中至少有一人回答正确的概率为1-(1-p)2.所以P1=[1-(1-p)2]n=pn(2-p)n.

当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为pn，则一个小组闯关不成功的概率为1-pn，所以P2=1-(1-pn)2=pn(2-pn).

所以P1-P2=pn(2-p)n-pn(2-pn)=pn[(2-p)n+pn-2].

设f(n)=(2-p)n+pn-2，则

f(n+1)-f(n)=(2-p)n+1+pn+1-(2-p)n-pn

=(2-p)n(1-p)+pn(p-1)

=(1-p)[(2-p)n-pn].

因为00,2-p>1，从而(2-p)n>1,pn<1，所以f(n+1)-f(n)>0，即f(n+1)>f(n)，所以f(n)单调递增.

因为f(2)=(2-p)2+p2-2=2p2-4p+2=2(p-1)2>0，则当n≥15时，f(n)>0，从而P1-P2>0. 即P1>P2.

所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛.

变式2(2022届广州市高三调研)某校开展“学习中国史”的主题学习活动. 为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次均答错，则答题测试不过关，得0分. 某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p.

(1)若m=0.5，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望；

(2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为f(p)，当f(p)取最大值时，求p，m.

解析(1)设每一位参与答题测试的学生所得分数为随机变量X，则X的可能取值为5，3，0.

则P(X=5)=0.5,P(X=3)=(1-0.5)×0.5=0.25,P(X=0)=(1-0.5)(1-0.5)=0.25.

故每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望为

E(X)=5×0.5+3×0.25+0×0.25=3.25.

由f′(p)=0，得p=0.75；由f′(p)>0，得0

所以p=0.75是f(p)的极大值点，也是f(p)的最大值点.

由题意得p=1-(1-m)(1-0.5)=0.5+0.5m，所以0.5+0.5m=0.75，解得m=0.5.

所以f(p)取得最大值时，p=0.75，m=0.5.

变式3 (2021年山东省广饶市)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为p(0

(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？

(2)第10轮比赛中，记张三3∶1取胜的概率为f(p).

①求出f(p)的最大值点p0；

②若以p0作为p的值，这轮比赛张三所得积分为X，求X的分布列及期望.

f′(p)=3[3p2(1-p)+p3×(-1)]

=3p2(3-4p)，

②X的可能取值为0，1，2，3.

所以X的分布列为

X0123P132562751281512189256

3 复习备考建议

函数模型视角下的概率统计试题创设真实问题情境，理论联系实际，聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能.我们从以下三点来谈谈在高三的复习备考中如何突破这一类试题.

3.1 注重对历年高考真题的研究

高考真题是高考命题专家智慧的结晶，很经典而且具有很好的代表性和预见性，是高三复习必备的素材.例如2018年全国Ⅰ卷理科第20题，2017年全国Ⅲ卷理科第18题，2016年全国Ⅰ卷理科第18题，2012年全国课标卷理科第18题等都是以生活实际问题为背景，考查函数思想在概率统计中的应用.熟悉这些高考真题，对解决新的概率问题具有很好的借鉴与指导意义.

3.2 掌握概率的相关知识与函数知识

要做好一道综合题，需要掌握很多的知识与思想方法.要解决一道与函数模型有关的概率统计题，则需要掌握古典概型、概率分布(超几何分布、二项分布和正态分布)、随机事件的概率计算与数学期望、互斥事件与对立事件的概率计算等.此外还需掌握作差法比较两个数的大小，利用导数求函数的单调性、极值与最值等.

3.3 聚焦核心素养，关注数学应用.

新高考对概率统计试题的考查更加关注数学的应用性，注重结合生活实际，创设真实问题情境，考查数学核心素养与关键能力,同时也综合考查了高中数学常见的数学思想方法.

作为一线教师，在平时的教学尤其是在高三的复习备考中，千万不能忽略对学生核心素养的培养，同时也要培养学生综合应用概率、方程、函数等知识和方法解决实际问题的能力，这样才能适应新高考.