粗糙核分数次积分及其交换子在局部“互补”广义变指数Morrey空间中的有界性

万晓英，陶双平，杨东升

(1.西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070; 2.国防科技大学信息通信学院公共基础训练教研室，陕西 西安 710000)

0 引言

设0≤α1)为n上的零阶齐次函数, 其中n-1表示n中的单位球面. 粗糙核分数次积分定义为:

(1)

(2)

近年来，变指标函数空间上算子的有界性受到人们的广泛关注[1-4]. 2015年, Tan-Liu 得到了TΩ,α在变指标Lebesgue, Hardy和Herz型Hardy空间上的有界性[5]. 随后,TΩ,α及其交换子[b,TΩ,α]在变指标Morrey空间上的有界性由文献[6]得到. 2021年, Shao-Tao 得到了变量核分数次积分及其交换子在广义消失变指标Morrey空间上的加权估计[7]. 更多的结果可参见文献[8-10]. 2020 年, Aykol-Badalov-Hasanov 证明了无界集上的位势算子及其交换子在局部“互补”广义变指标Morrey空间上的有界性[11]. 受上面研究启发, 本文中将研究无界集上粗糙核分数次积分TΩ,α及其交换子[b,TΩ,α]在局部“互补”广义变指标Morrey空间上的有界性.

设D⊂n,用(D)表示满足下面条件的可测函数p(·)构成的集合:

变指标Lebesgue空间定义为:

其上的Luxemburg-Nakano范数为:

定义2[11]变指标BMOp(·)(D)空间定义为:

定义3[12]设D⊂n,p(·)∈(D).如果存在常数C>0, 成立

(3)

(4)

1 主要结果

定理1设D⊂n是一个无界开集，且n-1)(1

(5)

那么对任意的f∈Lp(·)(D),存在与f,x0和t无关的常数C>0, 使得

(6)

定理2设D⊂n是一个无界开集，如果非负可测函数ω1(r)和ω2(r)满足条件

(7)

定理3设D⊂n是一个无界开集，且n-1)(1

(8)

那么对任意的f∈Lp(·)(D),存在与f,x0和t无关的常数C>0, 使得

(9)

定理4在定理3的条件下,如果非负可测函数ω1(r)和ω2(r)满足

(10)

2 定理的证明

为了证明定理, 我们需要以下引理.

引理1[6]设D⊂n是一个无界开集，且则算子TΩ,α是从Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界的.

引理2[13]设D⊂n是一个无界开集，p(x)满足式(3), 且<∞.那么存在与x和r无关的常数C>0, 有

引理3[11]设D⊂n是一个无界开集，则范数‖·‖BMOp(·)(D)与‖·‖*是相互等价的, 其中‖·‖*为经典有界平均振荡空间BMO(D)的范数, 即

则Mb是Lp(·)(n)上有界算子的充分必要条件是b∈BMO(n).

引理5[6]设b∈BMO(n),D⊂n是一个无界开集，且则[b,TΩ,α]是从Lp(·)(D)到Lq(·)(D)上有界算子, 即

[b,TΩ,α]f‖Lq(·)(D)≤C‖b‖*‖f‖Lp(·)(D).

引理6[15]设b∈BMO(D), 则

其中,C>0为与b,x,r和t无关的常数.

则有

由引理1,

因此,

当z∈B(x0,h)时，有

因此, 由引理 2 得

综合上面的估计, 即完成了定理 1 的证明.

利用(7)式, 得到

即定理 2 得证.

有

由引理 5 可知

≤C‖b‖*‖f1‖Lp(·)(D)

因此，

=I1+I2.

先估计I1.由于

=H1+H2.

由引理2得

≤Chθm(x0,h)‖b‖*.

由定理 1 的证明, 有

因此，

结合H1,H2的估计, 有

最后估计I2.由广义Hölder不等式得

结合I1,I2的估计，并利用引理 2 和引理 4, 得

综合上面的估计, 得

定理3证毕.

因此，利用条件(10)得

因此, 定理4得证.