以终为始：圆锥曲线问题中设线的基本原则

朱 潇

(湖北省武汉大学附属中学 430064)

笔者在文[1]中以圆锥曲线中的设线方式问题为例，分析了不同设线方式对于计算量的影响．在最近一次高三复习课“同课异构”研讨活动中，有教师提出关于设线方式的一个观点：如果直线过

x

轴上定点，选择“反设”(

x

=

ty

+

m

)；如果直线过

y

轴上定点，选择“正设”(

y

=

kx

+

b

)，这样就可以减少计算量．笔者认为这种观点不仅值得商榷，还固化了学生的思维，不利于数学运算素养的培养．在圆锥曲线解答题中如何选择合适的设线方式？如何将其背后的算理内化为学生的运算素养？笔者认为“以终为始”是圆锥曲线问题中设线的基本原则；在课堂上将“怎么做”扭转为“为什么这么做”，可在帮助学生理解算理的同时，让提升学生的运算素养成为可能．

1 一定要“正设”吗？

例1

(2017·北京)已知抛物线

C

：

y

=2

px

过点

P

(1，1)．过点作直线

l

与抛物线

C

交于不同的两点

M

，

N

，过点

M

作

x

轴的垂线分别与直线

OP

，

ON

交于点

A

，

B

，其中

O

为原点．求证：

A

为

BM

中点．

解法1

(正设) 易知抛物线方程为

y

=

x.

设直线

l

的方程为设直线与抛物线交于

M

(

x

,

y

)，

N

(

x

,

y

)

.

由得4

k

x

+(4

k

-4)

x

+1=0，令

Δ

>0，则且由韦达定理知直线

OP

的方程为

y

=

x

，则

A

(

x

,

x

)；直线

ON

的方程为则因为=0，所以故

A

为

BM

中点．

解法2

(反设) 设直线

l

的方程为由得令

Δ

>0，则

t

<0或

t

>2，且由韦达定理知由解法1易知,则得证．解法分析 本例中直线过

y

轴上一定点．通过对比发现，“反设”反而比“正设”计算量要小很多．究其本质原因，证明目标需要找三个点坐标之间的关系，通过分析易知，将变元统一用纵坐标表示，有利于构建坐标之间的关系．如设则要证

A

为

BM

中点，即证2

y

y

=

y

+

y

，由韦达定理很容易看出该式恒成立．

2 一定要“反设”吗？

例2

(2021·湖北模拟)设椭圆的离心率为且内切于圆

x

+

y

=9．(1)求椭圆

C

的方程；(2)过点

Q

(1,0)作直线

l

(不与

x

轴垂直)与该椭圆交于

M

，

N

两点，与

y

轴交于点

R

，若试判断

λ

+

μ

是否为定值，并说明理由．

解法1

(反设) (1)椭圆方程为(过程略)

.

(2)若

l

与

x

轴重合，则

M

(-3,0),

N

(3,0),

R

(0,0),

Q

(1,0)，由题意易知所以若

l

与

x

轴不重合，设

l

的方程为

x

=

ty

+1(

t

≠0)，设

M

(

x

,

y

),

N

(

x

,

y

),

R

(0,

y

)

.

由得(

t

+9)

y

+2

ty

-8=0，则

Δ

>0，且①

.

由可知所以②

.

因为

R

(0,

y

)在直线

l

上，则将①代入②，则综上，

解法2

(正设) 由题意知，直线

l

的斜率一定存在

.

设

l

的方程为

y

=

k

(

x

-1)，设

M

(

x

,

y

),

N

(

x

,

y

),

R

(0,

y

)

.

由得(1+9

k

)

x

-18

k

x

+9

k

-9=0,则

Δ

>0，且

由可知所以=

解法分析 本例中直线过

x

轴上一定点．通过对比发现，虽然“正设”的韦达定理结构较“反设”稍显复杂，但不用考虑直线与

x

轴重合的情况，同时目标式只含有关于

x

、

x

的对称结构；而“反设”需要将

y

用进行代换后再使用韦达定理求解．从本质上看，使用哪种直线设法源于对题目共线条件的翻译方向，翻译之后的式子(目标式)为设线方式提供了参考．

3 如何选择合适的设线方式

3

.

1 设线方式的本质分析

从以上两例可以看出，简单根据直线上定点所在坐标轴位置就确定直线的设线方式是不妥的．部分教师的类似论断仅仅只是站在联立消元后一元二次方程的简洁性上，认为二次三项式含参的部分越少、次数越低，计算量越小．对设线方式的考虑除了简化韦达定理的形式以外，还应结合解题目标作进一步分析．由解题目标分析出待解式子需要关于

x

的韦达定理还是关于

y

的韦达定理，进而决定选择何种设线方式．比如例1中分析出只需证明2

y

y

=

y

+

y

即可，例2中分析出只需求即可．所以设线方式的本质不在于设线方式的选择，而在于解题目标分析及目标式的结构．

3

.

2 设线方式的原则

书写解题过程通常是按照设线(设点)——联立——韦达定理——翻译目标条件(结论)——利用韦达定理等步骤呈现的,而解题思维则通常需要从目标条件(结论)出发，找到其等价条件或者结论，进而寻找关于

x

,

x

或者

y

,

y

的待证式子，进而选择设线方式．这种书面呈现与思维过程的互逆性导致学生在课堂上只是被动承认过程的可行性而忽视了思维的生成性．所以设线方式选择的原则应该是“以终为始”，以题目中关键条件或者待证结论为“终”，分析解题思路之“始”，即选择合适的设线方式，并将这一思维过程在课堂中着重生成出来．下面以2021年一道高考试题加以说明

.

例3

(2021·北京)如图1，已知椭圆过点

A

(0，-2)，以四个顶点围成的四边形面积为求椭圆

E

的标准方程；(2)直线

l

过

P

(0，-3)且斜率为

k

，交椭圆

E

于不同的两点

B

，

C

，直线

AB

，

AC

分别交

y

=-3于点

M

，

N

，若|

PM

|+|

PN

|≤15，求

k

的取值范围．分析 本题第(2)问解答中可以将直线

l

的方程设为

y

=

kx

-3的原因除了直线过

y

轴上定点以外，更多是因为核心条件|

PM

|+|

PN

|≤15可以翻译成目标式子(终)转为关于

x

的韦达定理较为简洁，从而选择“正设”(始)．

有些问题核心条件或结论的转化较为复杂，需要进行二次转化，形成新的目标式子，进而再选择设线方式．但无论是哪种类型，培养学生的目标意识，遵循“以终为始”的设线原则，进而发展用程序化的思想理解、表达问题的能力，才是数学运算素养的最终诉求．

3

.

3 设线方式教学的价值旨归

高三复习课的专题分类经常是题型导向，而“设线方式问题”是方法导向．《普通高中数学课程标准(实验)》中要求利用8课时左右时间专门讲《推理与证明》，内容要求结合学习过的实例讲解综合法、分析法等，体现证明数学命题的方法性．《普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)》中删除了《推理与证明》，提倡将证明数学问题的方法以渗透的方式融合在平时教学内容中．“设线方式问题”的教学就是一个很好的载体．本专题中，在学生习得“以终为始”的设线原则的同时，教师通过带领学生分析题目关键条件(结论)，以分析法的思路得到解题的起点，然后以综合法的步骤书写解题过程，将书写过程、思维过程与综合法、分析法对应，真正从“教题型”中解脱出来，进而走向“教方法”

.

这一过程也为发展数学运算素养提供了可行场域．

4 结语

在解题过程中目标意识是最为重要的．圆锥曲线中目标意识是“终”，设线方式是“始”．“以终为始”是解决这类目标导向很明确的问题的基本原则．长期以来，我们习惯于呈现解题方法，忽视了思维的过程．表现为教师在课堂里直接告诉学生诸如“抛物线开口向右选择反设、面积问题中水平宽为定值时选择反设”等总结好的套路，固化了学生的思维．在解题教学中遵循“以终为始”的基本原则，生成火热的思考，有助于帮助学生“知其然，知其所以然”，进而“知何由以知其所以然”．