考虑有机质和无机质差异的多因素耦合页岩渗透率计算模型

曹 成 郭 浩 张 亮

（1.陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723001；2.延长油田股份有限公司，陕西 延安 716000；3.陕西延长石油（集团）有限责任公司研究院，陕西 西安 710075）

0 引言

页岩渗透率是指导页岩气产能评价、页岩气开发的关键参数［1-2］，获取页岩渗透率的方法一般为实验法和计算方法。实验法可以取得比较准确的结果，但由于成本过高，研究较少。目前多数学者［3-15］主要集中在对页岩渗透率计算方法的深入研究：糜利栋等［7］提出的页岩基质渗透率的计算方法，将滑脱系数修正，表征了滑脱和自由气扩散共同影响的页岩渗透率计算模型；王瑞等［8-9］表征了吸附层对页岩孔径的影响，并建立了考虑吸附、滑脱和扩散影响的页岩渗透率计算模型；吴克柳等［10］提出了页岩纳米孔吸附气表面扩散机理和数学模型；J.Wang等［11-14］提出了微—纳米孔中考虑吸附、滑脱的气体表观渗透率技术模型；曹成等［15］提出了考虑吸附、滑脱和自由分子流动的页岩渗透率计算模型。

以上所提出的页岩渗透率计算模型，主要讨论了黏性流、滑脱、自由气扩散、表面扩散、吸附气层厚度、基质收缩和应力敏感对页岩渗透率的影响，这些因素对页岩渗透率的变化都起到一定的作用。另外，由于页岩中的有机质和无机质的差异过大，孔隙度、孔径、吸附性、润湿性等都存在差异，如页岩里的无机质吸附能力很小，因此表面扩散、吸附气层和基质收缩的影响就不是必须讨论的内容；有机质一般为气润湿，但无机质一般为水润湿，因此有机质孔隙表面可能存在水膜，水膜厚度对有机质渗透率有一定的影响，有机质和无机质的差异对页岩的渗透率也有很大的影响。只有将有机质和无机质的差异、以及黏性流、滑脱、自由气扩散、表面扩散、吸附气层厚度、基质收缩和应力敏感等因素综合考虑到页岩渗透率计算模型中，才可能达到比较准确的效果。但如何将上述因素全部耦合到页岩渗透率计算模型中还未见报道。

针对以上问题，本文基于页岩有机质和无机质各自特征分别建立了有机质和无机质渗透率计算模型，并将黏性流、扩散、基质收缩、应力敏感、吸附气层厚度、水膜厚度的影响全部耦合到页岩渗透率计算模型中，通过鄂尔多斯盆地中生界长7页岩岩心渗透率测试结果验证所建立的渗透率计算模型，并讨论差异性基质对页岩渗透率的影响。

1 有机质渗透率计算模型

有机质孔隙中存在吸附气和自由气，由于自由气分子自由程和有机质孔径相当，导致自由气扩散现象加剧，对有机质渗透率有一定的影响。在压差的作用下，吸附气存在表面扩散效应，表面扩散效应会增加孔道中流体的传输量，从而影响有机质渗透率；另外在微—纳米孔隙中孔径和吸附气层厚度相当，吸附气层的存在会减小有效孔径，也会影响到有机质渗透率。在页岩气藏开发过程中，基质孔隙中的流体压力逐渐降低，形成了上覆岩层压力和孔隙流体压力之间的压力差，这个压力差会产生应力敏感效应，导致孔隙减小从而影响有机质渗透率；同时在开发过程中吸附气的解吸会使基质孔隙壁面表面自由能升高，引起基质收缩，导致孔隙度变大而影响有机质渗透率。因此，有机质渗透率主要考虑表面扩散、自由气扩散、吸附层厚度、应力敏感和基质收缩效应的影响。

1.1 有机质渗透率影响因素

1.1.1 吸附气表面扩散

有机质孔隙表面吸附有气分子层，气分子层的表面扩散作用势必改变自由气传输的边界条件，从而影响自由气在孔隙中的通过能力［16］，吸附气表面扩散传输影响的有机质渗透率表达式为

式中：Kor-ad——考虑吸附气表面扩散传输的有机质渗透率，m2；ϕor——有机质孔隙度，%；Dor——有机质孔隙直径，m；Ds——表面扩散系数，m2/s；μg——气体黏度，Pa·s；por——有机质压力，Pa；pL——兰格缪尔压力，Pa。

1.1.2 自由气扩散

自由气扩散是孔隙内气体分子与孔壁碰撞的宏观表现，当气体分子平均自由程与有机质孔径接近时，气体分子与孔壁的碰撞概率增大而产生扩散效应，扩散效应使气体更容易通过孔道，从而对有机质渗透率产生影响。考虑自由气扩散的有机质渗透率表达式为［16］

式中：Kor-diff——考虑自由气扩散的有机质渗透率，m2；π——圆周率；rA——气体分子半径，m；kB——Boltzmann常数，1.380 5×10-23J/K；M——气体摩尔质量，kg/mol；T——热力学温度，K；R——气体常数，取8.314 J/（K·mol）；f——拟合系数，为努森数和渗透率的函数。

将式（1）与式（2）相加得到考虑表面扩散、自由气扩散影响的有机质渗透率表达式，即

式中：Kor——考虑表面扩散、自由气扩散影响的有机质渗透率，m2；for——有机质拟合系数。

1.1.3 吸附气层厚度

对于有机质孔隙系统，孔隙壁面的吸附气层主要为甲烷气体，微—纳米级页岩有机质孔隙壁面上的吸附气层厚度与孔径属于同一数量级，吸附气层的存在导致自由气在孔隙通道中的过流面积减小，因此对有机质的渗透率造成影响，且吸附气层厚度随着孔隙压力而变化，吸附气层对有机质渗透率的影响是随着压力的变化而变化的。考虑吸附气层厚度影响的孔径和孔隙度的计算公式为：

式中：ϕor-ad——考虑吸附气层厚度的有机质孔隙度，%；ϕor-mi——初 始 有 机 质 孔 隙 度，%；Dor-ad——考虑吸附气层厚度的有机质孔径，m；Dor-mi——初始有机质孔径，m；h——吸附层厚度，m。

1.1.4 基质收缩和应力敏感

应力敏感导致孔隙度减小，基质收缩造成孔隙度增大，考虑应力敏感和基质收缩对孔隙的影响，得到应力敏感和基质收缩影响下的有机质孔隙度和孔径［16］，其表达式为：

式中：ϕor-st-shr——应力敏感和基质收缩影响的有机质孔隙度，%；Dor-st-shr——应力敏感和基质收缩影响的有机质孔径，m；pi——原始地层压力，Pa；cmi——压缩系数，Pa-1；ρs——页岩密度，kg/m3；E——弹性模量，Pa；V0——气体摩尔体积，m3/mol；VL——兰格缪尔体积，m3/kg。

1.2多因素耦合有机质渗透率模型

吸附气表面扩散、吸附气层厚度、自由气扩散、基质收缩和应力敏感效应都对有机质渗透率产生了一定的影响，前面分别讨论了这些因素的单独影响，为了推导出这几种因素的综合影响，首先设基质收缩、应力敏感和吸附气层厚度影响后的有效孔隙直径为Dor-eff，则只受到应力敏感和基质收缩影响后的孔隙直径Dor-st-sh=Dor-eff+2h（图1），将Dor-st-sh带入式（7）后，经过整理得到受基质收缩、应力敏 感和吸附气层影响后的有效孔隙直径计算公式

图1 基质收缩、应力敏感和吸附气层对有机质孔隙度和孔径的影响Fig.1 Effects of matrix shrinkage,stress sensitivity and adsorbed gas layer on porosity and pore size of organic matters

式中Dor-eff——基质收缩、应力敏感和吸附气层厚度影响后的有机质有效孔隙直径，m。

设基质收缩和应力敏感影响后的吸附孔隙度为ϕor-ad，基质收缩、应力敏感和吸附气层影响后的有效孔隙度为ϕor-eff（图1），则二者关系为

式中：ϕor-ad——基质收缩和应力敏感影响后的吸附孔隙度，%；Aor-ad——基质收缩和应力敏感影响后的吸附孔隙截面积，m2；Aor-eff——基质收缩、应力敏感和吸附气层厚度影响后的自由气孔隙截面积，m2。

基质收缩和应力敏感影响后的吸附孔隙度可表示为ϕor-ad=ϕor-st-shr-ϕor-eff，将ϕor-ad带入式（9），并考虑到式（6），经过整理得到基质收缩、应力敏感和吸附气层厚度共同影响的有效孔隙度为

将式（10）、式（8）代入式（3），得到考虑吸附层表面扩散、自由气扩散、基质收缩、应力敏感、吸附气层厚度影响的有机质渗透率，即

式中：Kor-eff——考虑吸附层表面扩散、自由气扩散、基质收缩、应力敏感、吸附气层厚度影响的有机质渗透率，m2；for-eff——有机质有效拟合系数；其中，for-eff表达式为

式中：Knor-eff——有效努森数；λm、m、n——拟合参数，分别取7、4、16。

2 无机质渗透率计算模型

无机质渗透率同样会受到应力敏感和扩散的影响，对照式（8）、式（9）可以得到应力敏感影响的无机质孔径和孔隙度。

计算公式为：

式中：Din-mi——初始无机质孔隙直径，m；Din-st——应力敏感影响的无机质孔隙直径，m；ϕin-st——应力敏感影响的无机质孔隙度，%；ϕin-mi——初始无机质孔隙度，%；pin——无机质压力，Pa。

无机质孔隙在原始状态下可能存在水，如果含水饱和度较小，水以水膜的形式存在；如果含水饱和度较大，则水以水膜和可动水的形式共同存在。吸附在孔隙表面的水膜厚度影响孔隙直径，从而影响自由气在孔隙通道中的传输。如果忽略无机质孔隙中的吸附气，定义应力敏感和水膜厚度影响的无机质有效孔隙直径为Din-eff，则所对应的含水饱和度计算公式为

经过简化，并对照有机质渗透率推导方法得到考虑自由气扩散、应力敏感和水膜厚度影响的无机质渗透率模型，计算公式为

式中：Kin-eff——考虑自由气扩散、应力敏感和水膜厚度影响的无机质渗透率，m2；ϕin-eff——应力敏感和水膜厚度影响的无机质有效孔隙度，%；Din-eff——应力敏感和水膜厚度影响的无机质有效孔隙直径，m；fin-eff——无机质有效拟合系数。

3 页岩渗透率计算模型的建立

页岩孔隙中总质量流量由有机质质量流量和无机质质量流量构成，通过有机质质量分数将有机质和无机质质量二者耦合，得到总质量流量，即

式中：J——页岩孔隙中总质量流量，kg/（m2·s）；Δp——压力差，Pa；w有——有机质质量分数，%。

得到的页岩渗透率计算模型为

式中Keff——多因素耦合页岩渗透率，m2。

4 模型验证和讨论

选取鄂尔多斯盆地中生界长7页岩层系中3个不同井点的页岩岩心，平均孔径分别为3、5、8 nm，在不同压力下采用脉冲衰减渗透率测试仪器测试其渗透率，测试压力分别为16.0、13.0、11.0、9.0、7.0、5.0、3.0、1.0 MPa，围压为17.0 MPa，测试气体为氮气。测试结果均与所建立考虑应力敏感、基质收缩、吸附气层厚度和表面扩散影响页岩气渗透率模型计算结果吻合度较好（偏差均小于9%），图2为平均孔径5 nm岩心渗透率测试结果和计算结果对比，模型计算参数见表1。

表1 渗透率模型计算参数Table 1 Calculation parameters of permeability model

图2 孔径5 nm页岩岩心渗透率测试结果和计算结果对比Fig.2 Comparison between tested and calculated results of shale core permeability with pore diameter of 5 nm

图2中实验数据是采用脉冲衰减渗透率仪器，保持围压不变的情况下降低测试压力所得到的结果，这描述了页岩气降压开采的过程。可以看出，在几种模型中同时考虑基质收缩、应力敏感、吸附气层厚度、表面扩散的渗透率计算模型与实验数据最相近。Javadpour模型计算值远高于实验结果，主要原因在于，Javadpour模型以克努森扩散表征页岩气扩散，但对于孔径为5 nm的页岩岩心，只有在压力小于0.2 MPa时，克努森扩散才发挥作用，因此Javadpour模型所计算渗透率偏大；另外Javadpour模型未区分有机质和无机质，也导致计算结果偏大。而只考虑基质收缩、应力敏感和吸附气层厚度影响的模型计算结果低于实验数据，但在此基础上进一步考虑表面扩散的影响后计算渗透率与实测数据吻合度较好，可以达到比较准确的计算效果。

图3为分别考虑黏性流、自由气扩散、基质收缩、应力敏感、吸附气层厚度和表面扩散对有机质渗透率的影响结果。可以看出当只考虑黏性流时，渗透率计算结果随着压力的变化为一定值，黏性流渗透率只与孔隙度和孔径有关。当考虑黏性流和自由气扩散时，随着压力的降低，自由气扩散使渗透率增大。考虑基质收缩和应力敏感后，可见基质收缩的影响很小，而随着压力的降低，应力敏感对渗透率的减少逐渐增大。考虑吸附气层厚度的影响时，在初始压力较高阶段渗透率的减少量最大，随着压力降低，吸附气层变薄，吸附气层厚度的影响逐渐减少。进一步考虑表面扩散的影响时，可以看出表面扩散对渗透率的影响远大于其他因素的影响。表面扩散主要通过表面扩散系数和兰格缪尔压力影响有机质渗透率。

图3 不同因素对有机质渗透率的影响Fig.3 Effects of different factors on organic matter permeability

从图4可以看出，表面扩散系数、兰格缪尔压力越大，有机质渗透率也越大。

图4 表面扩散系数和兰格缪尔压力对有机质渗透率的影响Fig.4 Effects of surface diffusion coefficient and Langmuir pressure on organic matter permeability

综合而言，随着压力的降低渗透率整体有上升的趋势；在开发初期压力较高阶段，吸附气的大量存在会降低初始渗透率，可通过体积压裂大量释放吸附气来获得更高的渗透率，从而提高产量。在开发中后期压力较低阶段，虽然渗透率有一定的提升，但驱替压力变小，渗透率提升有利于产量的提高，驱替压力的降低不利于产量的提高，为了解决这一矛盾，可通过配产使气藏保持合理的压力水平，得到渗透率和驱替压差的最优值，从而提高产量。

5 基质差异对渗透率计算结果的影响

有机质和无机质的孔隙度、孔径、吸附性和润湿性都存在差异，为了表明基质差异性对页岩渗透率计算产生的误差，设计2种方案：

方案1：用建立的页气岩渗透率模型（式（18））计算；

方案2：采用赵谦平等［16］渗透率计算模型计算页岩气渗透率，将有机质和无机质的孔隙度、孔径、兰格缪尔体积进行加权平均得到计算参数。

2种计算方案见表2。为了比较2种方案的差异性，定义Kn为不考虑有机质和无机质差异时的渗透率（方案2），Kc为考虑有机质和无机质差异时的渗透率（方案1），（Kn-Kc）/Kc为Kn相对于Kc的偏差系数。分别计算有机质质量分数为5%、10%和20%时的偏差系数，有机质质量分数为5%的具体方案见表2，其他方案同理得出。

表2 有机质质量分数为5%时的计算方案Table 2 Calculation schemes when organic matter mass fraction is 5%

图5（a）、（b）、（c）分别是w(有机质)为5%、10%、20%时的偏差系数。可以看出，随着有机质含量的降低，基质差异对渗透率计算结果的影响逐渐增大，当w(有机质)为5%、初始有机质孔隙度和初始无机质孔隙度比值为0.5、初始有机质孔径和初始无机质孔径比值为0.5时，偏差最高达到近40倍（图5（a））；当w(有机质)为10%、初始有机质孔隙度和初始无机质孔隙度比值为0.5、初始有机质孔径和初始无机质孔径比值为0.5时，偏差最高达到20倍（图5（b））;当w(有机质)为20%、初始有机质孔隙度和初始无机质孔隙度比值为0.5、初始有机质孔径和初始无机质孔径比值为0.5时，偏差最高达到近10倍（图5（c））。对于页岩，其w(有机质)为3%～11%，有机质中发育有机质生烃孔，其初始孔隙度和初始孔径很低，通常低于初始无机质孔隙度和孔径。在这种情况下，如果不考虑基质差异，所计算的页岩渗透率会产生一定的误差，尤其当初始有机质孔隙度和初始无机质孔隙度比值较小、初始有机质孔径和初始无机质孔径比值较小时，产生的误差更大。

图5 基质差异性对渗透率测试结果的影响Fig.5 Effects of matrix difference on tested results of permeability

6 结论

（1）综合考虑黏性流、自由气扩散、应力敏感、吸附气层厚度和表面扩散的页岩渗透率计算模型的准确度较高，偏差小于9%。

（2）表面扩散对渗透率的影响远大于其他因素的影响。表面扩散主要通过表面扩散系数和兰格缪尔压力影响有机质渗透率，表面扩散系数、兰格缪尔压力和有机质渗透率呈正相关。

（3）基质差异对页岩渗透率计算会产生较大偏差；如果不考虑基质差异，随着有机质含量越低，有机质和无机质孔隙度比值变小、孔径比值变小时，产生的偏差持续增大。