复杂蜃景的定量分析与模拟

于晓菲，周 伟，王殿生，王玉斗, 李代林

(中国石油大学(华东) 理学院，山东 青岛 266580)

复杂蜃景(也称法塔莫甘娜)是海市蜃楼当中一种较为奇特的现象，其显著特征：在竖直方向上同时呈现多个像；蜃景通常包括一些倒像和正立抬升像，以及两个影像之间的堆栈；蜃景交替地呈现压缩和伸展变换.

这种光学现象通常发生在温度随高度增加而降低的对流层.当一层明显温暖的空气滞留在较冷且密度较高的空气之上时，就会形成逆温层，形成具有透镜折射效果的大气波管，产生一系列倒置或抬升的影像[1].大气波管是形成复杂蜃景的必要条件，其显著特征是内部空气层具有一系列折射率梯度，物体发出的光线穿过大气波管会发生弯曲，从而导致像在观察者视觉上呈现出错位和扭曲.复杂蜃景是反射、折射多种光学现象共同作用的结果，深入理解其变化规律可以增加人们对复杂光学现象的认识. 另外，近些年复杂蜃景现象已经在军事、经济等领域产生了诸多应用，例如；激光沙盘、全息照相等[2].对该现象的深入研究也可以为它在相关领域的应用提供指导.

目前，国内有关海市蜃楼的研究中，对只有单像出现的上现蜃景和下现蜃景已经进行了较完善的成因分析和实验复现[3-6].部分研究也对复杂蜃景的某些特征现象进行了实验验证[7].但在这些研究中，缺乏对复杂蜃景中多像的变化过程的定量分析.本研究首先配置具有一定折射率梯度的溶液，复现多种蜃景，然后利用COMSOL软件对光线传播轨迹进行追迹，最后结合实验结果与模拟结果定量分析复杂蜃景的变化规律.

1 复杂蜃景的实验研究

1.1 实验器材

6 cm×6 cm×13 cm长方体玻璃杯、白砂糖若干、纯净水、食物油、酒精、保鲜膜、电子秤(精度0.01 g)、蜡烛若干、摄像机.

1.2 实验步骤

蜃景产生的必要条件是有具折射率梯度的介质，若要同时产生在原物上方和下方的多个像，光线需要穿过同时具有正反梯度的介质.为了复现复杂蜃景，本文配制了具有正反折射率梯度的溶液来等效大气波管环境，配置方法如下：1) 首先在6 cm×6 cm×13 cm长方体玻璃器皿中倒入部分酒精，随后用注射器在容器底部缓缓注射一层提前配置好的饱和蔗糖溶液[8]，注射时尽量不引起酒精层的波动，静置至溶液内部及表面无法肉眼看到波动；2) 在溶液上表面铺一层保鲜膜，再缓缓注入一层食用油，随后轻轻抽掉保鲜膜，尽量降低溶液表面的波动程度；3) 静置至液体表面平稳，在溶液上表面铺一层塑料薄膜，再次缓缓注入一层饱和蔗糖溶液，为防止溶液下沉，此次不抽掉薄膜；4) 静置一段时间后点燃放置在玻璃器皿后方的蜡烛，在玻璃器皿前方不同距离处捕捉不同状态的复杂蜃景.

1.3 复杂蜃景的实验结果

图1给出了燃烧的蜡烛发出的光线通过具有正负折射率梯度的介质后出现的复杂蜃景.图1中由上到下标出的分别是位于原物上方的倒立像，竖直抬升像，正立伸长像和正像倒像的交叠.

另外，复杂蜃景还有一个重要特征是能够出现扭曲的像.当溶液刚开始混合时，会出现图2展示的现象.图2上半部分出现了呈波浪线形状的水平界面，这是由于溶液内部浓度分布不均，不同位置蜃景抬升的程度不同.图2下半部分依次存在许多不同程度抬升的火焰，这是由于混合状态下溶液浓度梯度变化复杂，导致了蜃景位置的复杂变化.当自然界出现复杂蜃景现象时，大气中常常存在对流，就比较容易导致蜃景位置多变，甚至形状扭曲.

图1 复杂蜃景的多像再现

图2 复杂蜃景的扭曲与多变

1.4 单折射率梯度溶液中蜃景的变化情况

上述实验展示出复杂蜃景主要包括3种现象：一是原物上方和下方的蜃景同时呈现，二是倒立和正立的蜃景堆叠呈现，三是伸长和压缩的蜃景交替出现.其中，蜃景的位置特征(在原物上方或下方)是由折射率梯度的正负决定，需要具有正负两种浓度梯度的溶液.而其余现象利用单浓度梯度溶液也能实现.正负两种浓度梯度的溶液本质上是一种对称的介质环境，为了更加清晰地研究蜃景的变化规律，本文选取了单浓度梯度溶液来展示不同距离的蜃景变化.图3为通过负折射率梯度溶液时，在距离容器不同位置观察得到的点燃蜡烛的蜃景.

从图3(a)可以看出：观测点距离容器2 cm时，蜃景为单一正像.图3(b)可见观测点距离容器10 cm时，倒立蜃景开始出现在图中,并伴随有正像的抬升现象，但此时的倒立蜃景并不完整，只包含蜡烛的下半部分.图3(c)—图3(f)显示随着观测点距容器的距离逐渐变远，正立蜃景被抬升的程度几乎保持不变，而倒立蜃景始终呈压缩状态，倒立的部分逐渐从蜡烛底部上移，17 cm处蜡烛底部从倒立蜃景中消失，24 cm处开始出现顶部灯芯.同时，此过程中正立的抬升蜃景与倒立的压缩蜃景出现了堆叠，这种堆叠现象在后3幅图中更为明显.图3(f)中观测点距离容器90 cm时，只剩正立抬升蜃景，倒立蜃景完全消失.

图3 负折射率梯度溶液中复杂蜃景随摄像机位置的变化

2 复杂蜃景的理论分析

能发生海市蜃楼相关现象的根本原因是光线在梯度介质中会发生弯曲，弯曲光线的轨迹方程可做如下推导，该推导过程部分借鉴了王忠纯的线性变折射率模型推导[9].首先，在光线弯曲轨迹上取一微元ds，结合图4可知，ds满足

(ds)2=(dx)2+(dy)2

(1)

等式两边同除(dx)2变换可得

(2)

其中，x、y分别为弯曲光线的横、纵位移分量，s为光线传播的位移.光线传播轨迹如图4所示.

图4 弯曲光线传播轨迹简图

根据折射定律可以得出

n0cosα0=n1cosα1=n2cosα2=…=nncosαn,

(3)

其中n0,n1,…,nn为梯度介质不同层的折射率，α0,α1,…,αn为相应折射率介质层的光线与水平面夹角.

根据轨迹图示和折射定律不难得出

(4)

将式(4)代入式(2)可得连续变折射率的光线折射微分方程：

(5)

张志伟曾根据洛伦兹电子论、朗伯定律和比尔定律，提出了一种用来描述溶液的浓度与其折射率线性关系的理论模型[10].该模型表明，当作用于溶液的光场频率为一常量时，溶液的浓度与它的折射率近似成线性关系.分析本研究中梯度溶液的制备方法，假设溶液的浓度随高度呈线性变化，因此溶液的折射率随高度的变化关系可用线性模型表示，即

n(y)=n0+k(y-y0)

(6)

将式(6)代入式(5)可以得到

(7)

(8)

(9)

对式(9)进行变量分离，得

(10)

等式两边积分求得

(11)

为便于绘制轨迹，将反双曲余弦函数进一步改写为对数形式，得

对以上轨迹方程进行绘图，得到图5给出的线型.可以看出，在折射率梯度介质中光线是近似呈抛物线型弯曲，而光线弯曲的方向取决于折射率梯度的正负.当折射率梯度从下往上为正时，光线轨迹向上弯曲；反之，光线轨迹向下弯曲.

图5 折射率呈梯度变化的介质中光线轨迹

以上推导给出了一条光线在折射率呈梯度变化的介质中的轨迹.而复杂蜃景是物体发出的多组光线弯曲后产生的复杂结果.结合光线的轨迹变化，下面分别说明复杂蜃景的3个主要特征现象出现的条件.图6为蜃景在原物上下方同时出现的示意图.对观察者来说，蜃景的上下位置取决于物体发出光线的弯曲方向，也就是取决于所经空气层的折射率梯度，当正反折射率梯度介质同时存在时，竖直方向即可同时呈现出在原物上方和下方的像.图7为正立倒立蜃景的示意图，该图展示的结果与Vollmer Michael的研究一致[11].蜃景是倒立或正立取决于物体底部发出的光线与顶部发出的光线进入人眼时的斜率大小，当光线向下弯曲时，若底部发出的光线进入人眼时斜率大于顶部光线，像便是倒立的(箭头③)，反之是正立的(箭头②)[12].图8为拉伸(箭头③)与压缩(箭头②)蜃景的示意图.当折射率梯度不变时，观察者位置的移动会造成像的竖直形状的变化，若观察者位置固定，则竖直形状的变化是由折射率梯度变化造成的.

图6 在原物上下方蜃景示意图(箭头①代表原物，②代表位于原物下方的蜃景，③代表位于物体上方的蜃景)

图7 正立与倒立蜃景的示意图

图8 拉伸与压缩蜃景的示意图

3 复杂蜃景的模拟研究

结合复杂蜃景的实验及理论研究，本文利用COMSOL软件对其成因进行定量分析，进一步探究复杂蜃景的产生原因及变化规律.首先仿照实验条件建立具有折射率梯度的介质环境，图9给出了建立的透射介质的折射率分布图.介质高度H=4 cm,宽度L=6 cm(与实验尺寸保持一致)；介质上表面假设为纯净水，折射率n1=1.333；梯度数值采用张志伟等研究中拟合的数值k=-0.001 77[10].

图9 透射介质的折射率分布

图10 蜡烛光线在梯度溶液中的传播轨迹图

利用COMSOL的光线追迹模块，可以模拟得到物体发出的任意光线的轨迹.图10给出了蜡烛不同位置发出的光线的轨迹图.其中，点线型和划线型曲线表示蜡烛顶部和底部发出的若干透射过梯度溶液的弯曲光线；点划线型和粗实线型曲线表示蜡烛顶部和底部发出的若干被梯度溶液顶部边界反射的弯曲光线；细实线代表光线穿过梯度溶液后在某点的切线，且同一点发出的不同角度的透射光线或反射光线的反向延长线分别相交于同一点，这在韩润泽[13]的研究中也得到了印证.由图可知，不同位置处观测到的光线的种类和特征是不一样的.在约100 mm范围内接收不到物体底部被反射的光线(粗实线)，说明此区间看不到物体底部的倒像；物体底部和顶部被反射的光线(粗实线和点划线)的反向延长线的交点间距明显小于原物体的长度，说明像发生了压缩；而物体某点发出的被反射的光线和透射的光线所交叠的区域可以同时看到物体该点倒立和正立的像.

3.1 蜃景随距离变化

图11给出了在同一水平面不同观察点，所看到的虚像变化情况.由于在介质后同一位置处接收的物体顶部发出的透射光线的斜率始终大于底部，故透射光线所成的像都是正像，如灰色箭头①所示.而透射光线传播到的区域为介质后的整个区域，因此正立抬升的像可以一直被观测到.又由前文分析可知，同一点发出的透射光线的反向延长线交于同一点，故正立抬升蜃景的长度和位置保持不变.

图11 蜃景随距离变化模拟示意图(黑色箭头代表原物，①②代表所成的蜃景)

倒像的产生是由于底部光线的斜率大于顶部光线的斜率，但凡经反射的光线都满足此条件，产生的都是倒像，如灰色像②所示.图11(a)粗实线轨迹表明了物体底部发出的光线经反射后所到达的最近位置是9 cm处，则此位置为出现物体底部的倒立蜃景的初始位置，此前位置所呈现的只有单一的正立抬升的蜃景，此后开始同时存在正立和倒立的像；图11(b)粗实线表明d=18 cm附近是物体底部发出的光线经反射所到达的最远距离，此后位置将不再看到物体底部的倒像，倒像所包含的部分由物体下部逐渐上移；图11(c)中粗实线表明物体顶部光线经反射后所能到达的最近距离为d=25 cm处，此后倒立蜃景中开始出现物体顶部，直至倒立蜃景逐渐减少至只剩顶部边缘而后全部消失，对顶部发出的光线进行追迹得到这个消失的距离约为1 m.

表1给出了单梯度溶液下的蜃景情况随距离的变化，不难看出，模拟结果与实验结果较为吻合，从而验证了此模拟的正确性.

表1 COMSOL模拟的蜃景随观测者距离的变化情况

3.2 倒立蜃景随折射率梯度的变化

蜃景的不同呈现形式取决于光线的弯曲传播，而导致光线弯曲的一个主要参量就是传播过程中所经介质的折射率的变化.不同折射率梯度的介质中光线弯曲程度必然不同，所成像的尺寸及位置也将出现差异.

图12(a)给出了折射率梯度为-0.003 54时，物体底部和顶部发出的光线的轨迹示意图.图中，光线1与y=0的交点位置(82,0)是倒立蜃景的底部刚开始出现的位置，光线3与y=0交点位置(240,0)为底部倒立蜃景消失的位置，那么[82,240]即物体底部的倒立蜃景存在的位置区间.同理，光线2与y=0交点位置(194,0)为物体顶部倒立蜃景开始出现的位置，由于顶部发出的与光线3在同一点反射的光线的斜率恒小于光线3，故顶部的倒立蜃景消失位置处横坐标恒大于240 mm，于是物体顶部的倒立蜃景存在的区间为[194,a] (a>240).因此，物体的倒立蜃景完整存在的区间为两部分区间的交集[194,240]，该区间内倒立蜃景的尺寸位置不再变化，为倒立蜃景存在的稳定区间.改变介质的折射率梯度，用同样的方法分别进行模拟追迹，如图12(b)、(c)、(d)所示.最终得到不同折射率梯度下，倒立蜃景的出现临界位置、存在稳定区间和稳定像压缩程度.其中压缩程度的定义为：(原物高度-压缩后的蜃景高度)/原物高度.

图12 蜃景随折射率梯度变化模拟示意图

表2给出了不同梯度下倒立蜃景临界位置和压缩程度.通过表中数据可以发现：倒立蜃景开始出现的临界距离随折射率梯度呈线性递减关系，梯度越大，临界位置越近，倒立蜃景稳定存在的区间范围越大；同时，梯度越大，物体的压缩程度越大，倒立蜃景存在的位置越低.

表2 不同梯度下倒立蜃景临界位置和压缩程度表

另外该模拟还揭示了无论是蜃景出现的临界位置还是蜃景的大小，都是由具有一定厚度的介质的上下边缘反射光线决定的，故介质的厚度也是影响蜃景的一个决定性因素，接下来对介质厚度的影响做进一步探究.

3.3 蜃景随介质厚度的变化

图13(a) 给出了介质厚度为9 cm时，物体底部发出的光线在介质中及介质上边界传播的轨迹示意图.将两组光线反向延长则分别可以找到正立抬升像的最高点以及倒立像的最低点，通过这两个点即可以得到正立蜃景的抬升距离和正倒立蜃景的间距.改变介质的厚度，用相同的方式分别进行模拟追迹，如图13(b)—(f) 所示，最终得到不同厚度下正立蜃景的抬升距离和正倒立蜃景的间距.表3给出了模拟计算结果，可以看出随着梯度介质厚度的增加，正立抬升蜃景抬升的距离增大，正倒立蜃景的间距减小，正倒立蜃景逐渐靠近。当介质厚度为21 cm时，两种蜃景交汇，继续增大介质厚度，两种蜃景将堆叠在一起.

图13 蜃景随介质厚度变化模拟示意图

表3 不同厚度介质正立蜃景抬升距离和正倒立蜃景间距

4 结果与讨论

本文首先利用配置的梯度溶液再现了复杂蜃景的多个重要现象，然后分析了单折射率梯度溶液形成的蜃景的变化.利用COMSOL光线追迹模块模拟了光线在单一折射率梯度介质中的传播，定量地探究了不同距离处成像的规律.模拟结果与实验结果基本一致，说明了模拟方法的正确性.进一步利用模拟研究了折射率梯度和介质厚度两个重要参量对复杂蜃景的影响，结果表明：1) 倒立蜃景开始出现的临界水平位置随梯度倍数呈严格的线性递减关系，折射率梯度越大，临界位置越近，倒立蜃景稳定存在的区间范围越大；2) 折射率梯度越大，物体的压缩程度越大，倒立蜃景存在的位置越低，正立蜃景抬升的位置越高；3) 介质越厚，蜃景抬升的竖直位置越高，正、倒立蜃景的间距减小，正、倒立蜃景逐渐靠近，最终会堆叠在一起.