电动力学四个“识”的教学实践

胡响明

(华中师范大学 物理科学与技术学院，湖北 武汉 430079)

(1)

其中，ρ和J分别是自由电荷密度和自由电流密度，E和B分别是电磁场的电场强度和磁感应强度，D=ε0E+P和H=B/μ0-M分别是电位移和磁场强度(包含场强和介质响应的辅助量)，ε0和μ0分别是真空电容率和磁导率，P和M分别是介质的极化强度和磁化强度．

一个非常突出的问题是，很多大学生初学者并不满足于简单地接受这些方程，而是会有很多关于科学文化方面的思考或者疑惑．即使接受了这些方程，这方面的思考仍然不会停止．譬如，麦克斯韦方程为什么如此重要？他的伟大思想源自哪里？最初是如何通过实验证实的？作为基本电磁理论，这些方程已经是最简约的形式吗？当初是如何达成这种形式的？

这些问题看似简单，其实不然．它们的解答，蕴含着深刻的认识．这里的“识”是人才“德识才学”的品质素养之一，“识”是指见识、见解、眼光，是一种高瞻远瞩、预见事物发展方向的能力[8]. 多年教学实践表明，在指导学生解决这些问题的过程之中，可以引导他们建立四个“识”．这样做可以取得一举两得的效果，一是获得科学知识，二是获得科学的科学观．这四个“识”分别是：善于大胆设想并小心求证，善于用实验检验科学设想，善于从矛盾中发现新事物，善于运用数学进行物理逻辑推理．四个“识”的引导以科学史实为依据，借助科学巨匠的榜样力量，有机融入麦克斯韦方程理解和应用的教学过程之中，支撑着对学生的科学观引导，可以帮助学生增强学习电动力学学习的兴趣和毅力，提升未来综合发展的信心和潜力．

四个“识”的引导正好契合当前课程思政的要求．课程思政服务于教学改革，致力于教育质量提升，它的宗旨就是为国家培养合格人才，不断提高学生思想水平、政治觉悟、道德品质、文化素养，让学生成为德才兼备、全面发展的人才[9]．曾经某些时候，课程内容只注重科学知识，对蕴含其中的科学文化重视不够．然而，正是蕴含在科学知识之中的科学文化，对大学生的价值引领有着不可替代的功能．科学知识和科学文化本就是立德树人不可分割的两个方面，基于科学文化的科学观和价值观引领的诸多方面可能就是构成课程思政的重要元素[10-14]．“电动力学”课程的基本内容是麦克斯韦方程的理解和应用．其中，理解方面的内容包括电磁场作为一种新的物质存在形式、麦克斯韦方程的微分与积分形式、不同介质交界面上的边值关系等；应用方面的内容包括静电作用、静磁作用、电磁波传播、电磁波辐射、运动电荷与电磁场的相互作用等．科学文化蕴藏在这些内容之中，特别是麦克斯韦方程建立过程中蕴含的科学方法、科学精神、科学规范和社会价值．

四个“识”的引导是笔者在2002年开始讲授电动力学过程中逐渐形成的体会，到目前已经历经20年，授课班级是华中师范大学“国家基础科学研究与教学人才培养基地”(以下简称“基地”)(物理学)．这个班每年由学校提供15个免试进入研究生阶段学习的名额，其中多数学生进入国内知名院校和科研院所攻读博士学位，譬如，北京大学、清华大学、中国科学技术大学、上海交通大学、高能物理研究所、上海光学精密机械研究所等，从一个侧面反映出基地班的学习情况和综合发展潜力得到这些著名单位的认可，当然这是基地班所有课程教学共同努力的成果．这里只介绍其中“电动力学”课程的教学实践与思考．20年间，“电动力学”课程经历过一些教学改革质量工程，如学校组织的“主干课程建设”“研究性课程建设”，湖北省教育厅组织的“精品课程建设”等．本人曾于2007—2012年期间分管基地建设，于2013—2017年期间兼任2013级基地班班主任，于2017—2021年期间兼任2017级基地班班主任．经过多年的教学实践，深刻体会到电动力学是引导学生建立四个“识”的重要课程平台．所用科学史实资料主要来源于电动力学教材[1-7]和物理学史[15]，部分更新的资料来源于近期James C. Rautio的论文“麦克斯韦方程的漫漫路”[16]．

1 善于大胆设想并小心求证

麦克斯韦总结50多年的经验事实，历经十多年研究，提出位移电流概念，建立经典电磁理论． 这一史实可用于引导学生建立大胆设想并小心求证的认识．引导过程可融入麦克斯韦方程建立、电磁波传播和电磁波辐射等内容的讲授之中．

1.1 众多科学家50多年的大量积累[15,16]

1800年亚历桑德罗·伏特(Alessandro Volta)发明了电池，从此有了连续的直流电为实验所用． 1820年汉斯·克里斯蒂安·奥斯特(Hans Christian Orsted)发现罗盘指针靠近通电导线时会发生偏转，这是电与磁关联的首个证据．不久，安德鲁-玛丽·安培(André-Marie Ampère)发现，两根平行通电导线依据其中电流相对方向呈现相互吸引或排斥作用．1831年迈克尔·法拉第(Michael Faraday)又发现，磁铁穿过线圈时产生电流，这证明了磁铁也能影响电，正如电能影响磁铁那样，只是二者角色交换．蕴藏在这些现象背后的原因是什么？它们之间有没有什么关联？还没人真正了解，电流的实质是什么？通电线圈为什么会在没有直接接触时作用于磁铁？运动的磁铁为什么会产生电流？

一颗重要的火种由法拉第种下，他设想磁铁周围存在不可见的神秘“电紧张态”，即今天的“场”．他断定电紧张态的变化是导致电磁现象产生的原因．这种场的“变化”作为源，是一种非常前沿的思想．法拉第还猜测光本身也是一种电磁波．不过，将这些想法打造成完整的理论超出了他的数学能力． 麦克斯韦1831年出生，直至麦克斯韦开始登上科学舞台之时，电磁学的研究现状就是如此．

1.2 麦克斯韦历经10多年的研究，提出位移电流假设，建立电磁理论[15,16]

19世纪50年代，从英国剑桥大学毕业后，麦克斯韦着手尝试给法拉第的观察结果和研究理论赋予数学意义．经初期尝试，麦克斯韦于1855年发表论文《论法拉第力线》(On Faraday’s Lines of Force)．他设想一种类比模型，表明描述不可压缩流体的方程也可用来解决恒定电场或磁场问题．之后他的工作受到一系列干扰而中断．1856年他在苏格兰亚伯丁(Aberdeen)的马修学院(Marischal College)谋得一份职位，花费数年时间对土星环稳定性进行数学研究，1860年在一次学院合并时被辞退．之后又感染天花，差点丧命．最后他找到一份新工作，去伦敦国王学院(King’s College London)当教授．虽有干扰和中断，麦克斯韦慢慢地一点一滴充实着法拉第的场理论．完整的电磁理论一时还不能成型，但他在1861年和1862年分为几个部分发表的一篇论文《论物理力线》(On physical lines of force)，被证明是重要的里程碑．

基于先前的思想，麦克斯韦设想一种分子介质，其中磁场以旋转漩涡阵列的形式存在．每个漩涡由某种形式的微粒环绕着，从而漩涡的旋转可以传递．尽管麦克斯韦后来摒弃了这种力学设想，但还是发现它有助于描述一系列的电磁现象．或许正是这一设想为他奠定基础，从而提出“位移电流”这一种崭新的物理概念．位移电流并非真正的电流,它是一个描述方式，描述穿过特定区域内电场的变化如何产生磁场，就像电流产生磁场那样．在麦克斯韦的模型中，位移电流起源于电场变化引起漩涡介质中微粒位置的瞬时改变．这些微粒的运动产生了电流．

位移电流可以在电容器中精妙地展示．在某些电路中，存储在电容器两块平板之间的能量会出现高低值之间的振荡．在这样的系统中，很容易想象麦克斯韦的力学模型会如何发挥作用．如果电容器包含一块绝缘的电介质材料，可以认为位移电流源于原子核周围束缚电子的运动．这些电子从一侧到另一侧来回摆动，好像被拴在绷紧的橡皮筋上．不过麦克斯韦的位移电流比上述表述更基础，实质上反映的是电场的变化．它可以出现在任何介质之中，甚至包括真空，其中并没有产生电流的电子．同时，如同真实电流，位移电流产生磁场．

有了位移电流概念作为基本要素，麦克斯韦就可以把可衡量的电路特性与两个常量联系起来．虽然这两个常量现在已经不再使用，但是它们可表征在响应电压或电流时形成电场和磁场的难易程度．现在，我们用自由空间的电容率和磁导率来定义这些基本常量．正如弹簧常量会决定弹簧在拉伸或压缩之后复原有多快，这些常量可以结合起来确定电磁波在自由空间的传播速度．在他人利用电容器和电感器确定这些常量的数值之后，麦克斯韦就能够估算出电磁波在真空中的传播速度．通过比较，他发现二者相近，并推断光就是一种电磁波．

1864年麦克斯韦完成了电磁理论的最关键部分，发表了论文《电磁场的动力理论》(A dynamical theory of the electromagnetic field)．那时他才33岁，在后续研究过程中他只是做了一些简化．在1864年的讨论和后来的论文中，他摒弃了原来的力学模型，但保留了位移电流的概念．通过深入的数学研究，他描述了电磁之间的关联方式，描述了在适当条件下它们如何共同作用产生电磁波．这项研究成果堪称是现代电磁学理论的基础，它为物理学家和工程师提供了所需的全部工具．运用这些工具，他们可以计算出电荷、电场、电流和磁场之间的关系．

2 善于用实验检验科学设想

赫兹用实验验证了麦克斯韦预言的电磁波，麦克斯韦理论才得以真正站稳脚跟．回顾这一事实，可以引导学生建立用实验检验科学设想的认识．这一引导过程可以融入麦克斯韦位移电流概念、电磁波波动方程的讲授之中．1879年麦克斯韦48岁告别人间，当时人们仍然认为他的理论不完备．没有任何实验证据表明光由电磁波构成，尽管可见光的速度似乎与电磁辐射的速度相当．此外，麦克斯韦并没有明确说明，如果电磁辐射构成光，那么电磁辐射是否具备光具有的多种性质，如反射和折射．

2.1 洛奇和菲茨杰拉德的探索[16]

物理学家乔治·弗兰西斯·菲茨杰拉德(George Francis FitzGerald)和奥利弗·洛奇(Oliver Lodge)的工作强化了电磁波与光之间的关联．这两位物理学家都是麦克斯韦1873年《电与磁的论述》(A treatise on electricity and magnetism)的支持者．在麦克斯韦去世的前一年，他们结识于在都柏林召开的一次英国科学促进协会上．他们开始进行合作研究，主要是通过书信往来．他们之间以及他们与下面要说到的奥利弗·赫维赛德(Oliver Heaviside)的通信，推动了科学界对于麦克斯韦学说的理论认识．

正如历史学家亨特(Bruce J. Hunt)在他的著作《麦克斯韦学派》(The Maxwellians)中所概括的，洛奇和菲茨杰拉德也希望发现实验证据，支持光是一种电磁波的理论．但当时他们并没有取得太大进展．19世纪70年代末，洛奇设计了一些电路，期望这些电路能够将低频电流转化为高频光．不过这样的努力以失败告终，洛奇和菲茨杰拉德意识到辐射频率过低，肉眼无法感应到．

差不多10年之后，洛奇注意到，在进行防雷实验时导线旁边的放电电容会产生弧光．由于好奇，他改变导线长度，于是电容器中出现了夺目的闪光．他正确地推断出这就是电磁波共振所产生的现象．洛奇意识到，如果能量足够，他实际上就能够让导线周围的空气电离，这正是引人注目的驻波例证．

洛奇确信自己成功生成并探测到了电磁波，于是从阿尔卑斯度假一回来，他就计划在英国科学促进协会的一次会议上汇报这令人震惊的研究成果．但是，在驶出利物浦的火车上，一篇杂志文章让他发现自己被人抢了先．在这本1888年7月份的《物理学年刊》(Annalen der Physik)上，他读到了一篇题为《论空气中的电动力波动及其反射》(On electrodynamic waves in air and their reflection)的文章，论文作者是一位名不见经传的德国研究者海因里希·赫兹(Heinrich Hertz)．

2.2 赫兹的电磁波系列探索[15,16]

从1886年开始，身处德国卡尔斯鲁厄工业大学(即现在的卡尔斯鲁尔理工学院)的赫兹就围绕着论文课题展开了研究工作．他注意到，当通过一组线圈对电容放电时，会产生奇特的现象，即距离不远处的另一组完全相同的线圈会在与其没有相互连接的末端出现弧光．赫兹意识到，未相连线圈中所出现的闪光是由于接收电磁波所导致的，而电磁波则是由带有放电电容的线圈所激发的．

倍受鼓舞的赫兹开始利用这类线圈中的闪光来探测不可见的射频波动．他不断进行试验，进而证实了电磁波也会呈现出反射、折射、衍射和偏振等类光行为．他在真空和导线周围都做了大量的实验．赫兹还用沥青做了一块电磁波可穿透的棱镜，他用这块一米多高的棱镜来观察相对较为显著的反射和折射现象．他朝着由平行导线组成的栅格发射电磁波，进而证实了电磁波会反射或穿过栅格，具体效果取决于后者的方向．这一结果表明电磁波是横向的：和光一样，它们的振动方向垂直于传播方向． 赫兹也利用大块的锌板对无线电波进行了反射，并测量了所产生的驻波中相消零点之间的距离，进而确定了这种波动的波长．

赫兹通过测量其类似回路中发射天线上的电容量和电感量，计算出了电磁辐射的频率，再加上上面的波长数据，他就可以计算这种不可见波动的传播速度，该数值与已知的可见光传播速度十分接近．

麦克斯韦假设光是一种电磁波．赫兹证实了很可能整个宇宙中的不可见电磁波都拥有类似可见光的行为，它们在宇宙中的传播速度也与可见光相同．从推理的角度而言，这些被揭示出来的事物已经足以让人接受光本身是一种电磁波的论断．

赫兹研究工作的美妙和完备充分补偿了洛奇对于被抢了先的失望之情．于是，洛奇和菲茨杰拉德开始致力于推广赫兹的发现，他们将这一成果提交给了英国科学促进协会．很快，赫兹的工作又启发了无线电报的发明．在早期雏形阶段，这项技术所采用的发射装置与赫兹使用的宽波段火花间隙装置非常相似．

科学家最终接受了电磁波能够在真空中传播的观点．当初因缺少可靠力学机制而不受待见的场论，在现代物理绝大多数层面占据着核心地位．当然从此故事变得精彩纷呈．多亏了这些敬业的科学家的不懈努力，麦克斯韦理论才得以在19世纪结束之前就真正站稳脚跟．另外，下面介绍的迈克耳孙-莫雷(Albert Abraham Michelson，Edward Morley)实验也是这个观点的重要支撑．

3 善于从矛盾中发现新事物

麦克斯韦的电磁波模型“缺失”传统介质，然而正是这一“缺失”之中孕育着新事物．事实证明，电磁波确实可以在真空之中传播，并不存在传统的介质或者设想的介质“以太”．这个事实可以用来引导学生建立从矛盾之中发现新事物的认识．这一引导过程可在讲授电磁波传播、光传播速度测定和狭义相对论时予以融入．

3.1 科学理论必须经历质疑[15,16]

不过麦克斯韦这一颠覆性的成果当时却遭到严重质疑，甚至有些质疑来自于麦克斯韦最亲密的同事．最直言不讳的反对意见来自威廉·汤姆森爵士(Sir William Thomson)，即后来的开尔文勋爵(Lord Kelvin)．当时这位英国科学界的泰斗根本不相信会存在位移电流这样的东西．汤姆森的反对理由顺理成章，在充满原子的电介质中存在位移电流是一回事，但要想象它形成于虚无的真空中又是一回事．既然缺少力学模型来描述这种环境，且不存在实际运动的电荷，我们根本不知道何谓位移电流，也不知道它如何产生．对于维多利亚时期的众多物理学家而言，这种物理机制的缺失堪称灾难．现在我们当然愿意接受这样的物理理论，譬如量子力学，虽然有悖日常直觉，但只要它们在数学方面严格成立且在预测方面足够强大，就行了．

同时代的研究者也察觉到麦克斯韦理论具有其他重大缺陷．例如，麦克斯韦假定振荡的电场和磁场共同形成了波，但并没有说明这些波如何通过空间传播．当时所有已知波动都需要借助介质才能传播，譬如，声波可以在空气和水中传播．当时的物理学家推断，如果存在电磁波，就必定有相应的传播介质，即使它是无色、无味或无形的介质．麦克斯韦也相信存在这样的介质，并称之为“以太”．他认为，以太充满整个空间，电磁行为正是由于这种以太的压缩、拉伸和运动所致．1865年，麦克斯韦在《电与磁的论述》中描述的这些神秘电磁波可能如何传播以及为什么会这样传播，但是没有使用任何力学模型．对同时代很多科学家而言，模型的缺失让麦克斯韦的理论看起来非常不完整．

3.2 迈克耳孙-莫雷实验[1-7]

这个速度是相对于什么参考系呢？如果是相对于以太，是否可以测出相对于以太的绝对速度？以太的假说需要接受检验. 迈克耳孙-莫雷实验表明，从不同方向观测，光速都是相同的，即光在任何的参考系内速度不变.

按照旧时空概念，如果物质运动速度相对于某一参考系为光速c，则变换到另一参考系时，其速度就不可能沿各个方向都为c．或者说电磁波只能在某一个特定参考系中传播速度为c，因而麦克斯韦方程组也就只能对该特殊参考系成立．如果是这样，那么经典力学中一切惯性参考系等价的相对性原理在电磁现象中就不再成立．按这个推理，由电磁现象可以确定一个特殊参考系，可以把相对于该特殊参考系的运动称为“绝对运动”．19世纪末物理学的一个重要课题就是寻找这个特殊参考系和确定地球相对于这个参考系的运动．解决这一问题是电磁学发展的必然要求，当时的科学发展水平已使得精确测量光速成为实际可能．如果能够精确测定各个方向光速的差异，就可以确定地球相对于这特殊参考系的运动，或者说地球相对于“以太”的运动. 1887年的迈克耳孙-莫雷实验是测量光速沿不同方向差异的主要实验．首先我们对地球运动所引起的效应作一数量级估计. 地球绕太阳运动的速度约为30 km/s，因而地球相对于“以太”参考系的运动速度v最小应有同一数量级．根据理论推算，当整个实验在地球上进行时，由于地球 “绝对运动”所引起的可观测效应只有(v/c)2的数量级，即10-8数量级．因此，如果要设计一个实验观察地球绝对运动的效应，该实验应达到10-8的精确度．19世纪末的科学发展水平已使得这种精密测定成为可能．利用多次反射可以使有效臂长达到10 m左右. 设波长λ≈5×10-7m，(v/c)2≈10-8. 理论上干涉条纹应该移动0.4个左右，而实验观察到的上限仅仅只有0.01个.

自从第一次实验之后，不同的实验工作者还进行过多次迈克耳孙-莫雷实验,以不断提高的精确度否定了地球相对于以太的运动．许多其他光学实验也否定了地球相对于以太的运动．J.P. Cedarholm和C.H. Townes用微波激射所做的实验[17]，定出地球相对于“以太”运动速度的上限为0.6 m/s．这些实验结果实际上否定了“以太”介质的存在，因而也就否定了“特殊参考系”的存在，表明光速不依赖于观察者所处的参考系．后来用星光作光源，以及用高速运动粒子(例如π0子)作为光源的实验，还证实了光速也与光源相对于观察者的运动无关．迄今为止的所有实验，都指出光速与观察者所处的参考系无关，也与光源的运动速度无关．人们认识到光速不变是电磁现象的一条基本规律，真空中的光速c是最基本的物理常量之一，它是在所有惯性参考系测出的电磁波在真空中的传播速度．多次实验结果都没有发现任何绝对运动的效应，从而迫使人们接受在真空中光速相对于任何惯性系都等于c这样一个事实．这个事实与旧时空概念发生矛盾，这个矛盾是人们第一次研究高速现象时被揭露出来的．电磁波的传播就是人们首先接触到的高速现象．在此之前接触到的力学现象都属于低速范围，比光速低很多．旧时空概念就是从这些低速现象抽象出来的,旧时空观与新实验事实之间出现了矛盾，反映了旧时空观的局限性，这就要求人们根据新的实践结果,发展和深化对时空的认识.

除了电磁现象之外，19世纪末期人类的实践活动已开始深入到物质的微观领域，电子、X射线和放射性的发现推进了微观物理学的发展．在微观领域，人们遇到了许多新的现象和新的规律，使经典物理学的许多基本概念都发生动摇，需要予以重新考虑．这个时期物理学面临着大变革，反映新时空概念的相对论也是在这种情况下提出来的．相对论和任何其他科学理论一样，是生产水平和科学技术发展到一定阶段的必然产物．在相对论的建立过程中，人们对电磁场的认识也发生了飞跃．19世纪人们对一切自然现象的认识都带有机械论的局限性,对电磁现象也是这样．人们认为既然声波、水波等都是在某种介质中的机械振动的传播现象，电磁波也应该是某种充满空间的弹性介质“以太”内的波动现象.该弹性介质就构成电磁波传播的特殊参考系．特殊参考系被实验否定的事实以及电磁现象中相对性原理的建立，最终破除了电磁波的机械观，使人们认识到电磁波就是电磁场作为物质本身的运动形式，而不是“以太”介质内的机械运动现象．

3.3 与传统矛盾之中可能孕育着新事物[1-7,15,16]

以太“缺失”，在当时看似与传统相矛盾．然而，谁知其中孕育着新事物．除了科学家接受的电磁波能够在真空中传播的事实外，以太缺失和真空中光速不变本身都是新鲜事物，这些新鲜事物的发现奠定了“狭义相对论”时空观．狭义相对论就是在光速不变性实验的基础上建立起来的，它否认了绝对参考系的存在，并由此发展了经典力学中的相对性原理．狭义相对论认为，包括电磁现象在内的一切物理现象，所有惯性参考系都是等价的．到目前为止，由这一理论所推断的各种相对论效应，已经被大量实验所证实.

当时，洛伦兹(Hendrik Antoon Lorentz)深受以太观点的影响，他确信以太存在，不过当观测者相对于以太运动的时候，以太长度在运动方向会发生改变.于是根据光和物体相对于以太的运动(速度为v)，洛伦兹得出了著名的尺度收缩公式和时间延缓公式[1-7]：

(2)

其中β=v/c(c为真空中的光速)．这个公式表明了同一事物在不同参考系中的关系.之后，他利用这两个公式对时空的伽利略变换进行了修正，得到了著名的洛伦兹变换公式[1-7]：x′=γ(x-βct)，

ct′=γ(ct-βx)

(3)

就这样，洛伦兹已经一只脚跨进相对论的门槛，但就是拖着另一只脚迟迟不肯跟进. 由于对牛顿经典力学的执着，使得他与一项伟大成就擦肩而过．他早于爱因斯坦(Albert Einstein)10年提出了这个变换公式．如果他能挣脱经典力学的束缚，兴许我们现在的物理学发展还能提前10年也未可知？历史上另一位著名的数学家庞加莱(Jules Henri Poincaré)也已经认识到了不存在绝对参考系，但是他也是不想放弃以太概念，因此错过了狭义相对论这一伟大成就．当时牛顿力学至高无上，深深烙在人们心中，并不只是洛伦兹一个人曾经在狭义相对论的门口徘徊. 由于洛伦兹最先发现了这个变换关系，为了纪念他，相对论时空变换还是以他的名字命名．

在位移电流概念提出后，从电磁波介质的缺失到以太介质的假定，再从以太介质的否定到最终建立狭义相对论，这个发展历程可谓好事多磨. 一个完善的物理理论，注定要经历时间的检验以及许多物理学家的共同完善．我们可以看到，在这之前，尽管许多科学家受到经典力学的束缚，但他们前赴后继，不懈奋斗，在证据充分的情况下终于挣脱束缚．就像伽利略诠释自由落体一样，爱因斯坦突破经典力学的权威瓶颈，直接假定真空中光速不变和任意惯性参考系等价，创立狭义相对论[1-7]．

4 善于运用数学进行物理逻辑推理

经过赫维赛德的数学完善，麦克斯韦方程才呈现场的对称性和电磁作用规律的协变性．这样的历史故事可以在讲授麦克斯韦方程建立、电磁波波动方程和相对论电动力学时融入进去，引导学生建立运用数学进行物理逻辑推理的认识．

现在的麦克斯韦理论可以被归纳为四则方程(1)，它们已经是简洁形式，其中运用了三维矢量微分．要知道，在麦克斯韦当初开展研究工作之时，这些数学知识还没有完全成型．麦克斯韦用带有20个变量的20个联立方程才表述了自己的设想，其方程的维度参数(即x、y和z轴方向)必须分开表述．此外，他还运用了一些反直觉的参数．当时的理论描述太过于复杂，甚至令人震惊．大学生可能会抱着敬畏之心来接纳四则麦克斯韦方程，但要理解这位物理学家当初的实际设想实在太棘手了．

我们现在已经习惯电磁场的思考方式并来解决问题．但麦克斯韦主要运用的是另外一类场，他称之为电磁动量．从电磁动量出发，他可以计算法拉第最初设想的电场和磁场．麦克斯韦或许已经为这种场(即现在称之为磁矢势)选好了名字，因为其对时间的导数即为电磁力．但涉及计算边界处的很多简单电磁行为就无能为力，譬如电磁波如何被导电表面反射．这种复杂性的后果就是麦克斯韦理论首次亮相时并不受待见，几乎无人问津．

4.1 场与荷的因果关联和场的对称性[16]

幸运的是，还是有一些人注意到了麦克斯韦的研究，并且发挥了重要的作用．赫维赛德就是其中之一．他出身于极度贫穷的家庭，听力部分失聪，从未上过大学，曾有朋友形容他为“头等稀奇怪人”．他完全靠自学掌握了高等科学和数学．在接触到麦克斯韦于1873年出版的《电与磁的论述》一书时，赫维赛德刚20岁出头，还在英格兰东北部的纽卡斯尔干着一份电报员的工作．“我觉得它了不起，越来越了不起，甚至最了不起．”他后来写道，“于是我下定决心掌握这本书，并马上开展研究工作．” 他第二年辞掉工作，隐居父母家中，开始潜心工作，研究麦克斯韦理论．正是赫维赛德将麦克斯韦方程改写为当前的形式．1884年夏天赫维赛德对电路中能量如何输送的问题进行了调查．他想解决的问题是，究竟电流携带的能量存在于电路中还是电路周围的电磁场中？

赫维赛德最终得出了一个已经由另外一位英国物理学家约翰·亨利·坡因廷(John Henry Poynting)公开发表过的结论．不过显然赫维赛德走得更远，针对复杂的矢量微积分问题，赫维赛德幸运地找到了一种方式，可以改写麦克斯韦的20则方程，使之简化成现在使用的4则方程(1)．改写的关键在于摒弃麦克斯韦奇怪的磁矢势．“直到抛开所有的磁矢势，我的工作才获得进展．”赫维赛德后来说道．新的表述形式将电磁场置于前端中心地位．

这一成果的优势在于，一方面呈现了电荷电流与场强之间的因果关联，另一方面凸显了电场与磁场之间的美妙对称性：变化的磁场产生电场(著名的法拉第电磁感应定律)，变化的电场产生磁场(著名的麦克斯韦位移电流假设)．然而，这一成果也暴露了一个谜团．像电子和离子这类电荷的周围存在着源自电荷本身的电场线；但是，磁场线却没有源头，在我们的已知世界中，磁场线总是连续封闭的，既无起点，也无终点．这样的不对称性难倒了赫维赛德，于是他补充了一个表征 “磁荷”的物理量，并假定目前还没发现．从那时起，物理学家们就一直在努力寻找这种被称为磁单极子的磁荷．然而直至现在还没有发现磁荷．不过，磁流这种实用技巧仍然可以用来解决带有某些几何性质的电磁问题，譬如解释穿过导电层狭缝的辐射行为．

既然赫维赛德已经将麦克斯韦方程完善到了这种程度，为什么不把它们叫做赫维赛德方程呢？1893年在三卷本《电磁理论》(Electromagnetic Theory)一书第一卷的序言中，赫维赛德亲自做了解答．他写道，除非我们有充足的理由“相信，在指给他(麦克斯韦)看时，他会认可改写的必要性，不然我觉得这个后来被改写的理论还是被叫做麦克斯韦理论为好．”

4.2 麦克斯韦方程的相对论协变性[1-7]

事实上，麦克斯韦方程可以进一步写成协变形式，满足后来建立的狭义相对论要求．在磁场散度的麦克斯韦方程▽·B=0中引入旋度表达式B=▽×A，可以定义矢势A描述磁场．将这个旋度表达式代入电场旋度的麦克斯韦方程▽×E=-∂B/∂t时可引入梯度E+∂A/∂t=-▽φ定义标势φ，此时电场E同时需要标势φ和矢势A来描述．因为上述标势φ和矢势A都是根据矢量微分定义的，在数值上具有一定的不确定性，可以选用洛伦兹(Dane L. Lorenz)规范[1-7]∂φ/∂t+c2▽·A=0(实质上这是相对论协变性原理的要求)予以限制，其中c2=1/μ0ε0为真空中的光速．当然这也意味着标势φ和矢势A并不相互独立，跟时空坐标一样服从洛伦兹变换．将上述两个定义代入关于电场散度和磁场旋度的麦克斯韦方程，得到电磁势服从的达朗贝尔方程[1-7]:

(4)

(5)

可获得四维电磁势的协变形式达朗贝尔方程：

□Aβ=μ0Jβ

(6)

其中□=∂α∂α是四维时空微分算子∂α=∂/∂xα=(∂0,∂1,∂2,∂3)和∂α=∂/∂xα=(∂0,-∂1,-∂2,-∂3)构成的标量算子．方程(6)实质上就是麦克斯韦方程按电磁势在洛伦茨规范下表述的等价表述形式．事实上，麦克斯韦方程也可直接用电磁势矢量构建的二阶电磁场张量写成协变形式[7]．电磁场张量定义为Fαβ=∂αAβ-∂βAα，即

(7)

其中电场强度和磁感应强度的分量(E1,2,3,B1,2,3)构成电磁场张量Fαβ的分量．根据电磁场张量可以引入它的对偶张量Gαβ=εαβλτFλτ/2，其中εαβγδ是四阶完全反对称逆变张量，当指标αβλτ经偶次相邻置换变为0123时εαβλτ=1，当αβλτ经奇次相邻置换变为0123时εαβλτ=-1，当αβλτ中任意两个指标相同时εαβλτ=0．按二阶电磁场张量Fαβ和它的对偶张量Gαβ可将麦克斯韦方程写为[7]

∂αFαβ=μ0Jβ,∂αGαβ=0

(8)

显然它们是协变形式，其中第一个方程正是电荷、电流与电磁场之间在洛伦兹规范[7](∂αAα=0)下的因果关联，第二个方程正是引入电磁势的方程．

以上两个方面清楚地表明，矢量及其微分代数对描述电磁相互作用是多么的重要．麦克斯韦方程的位移电流假设，犹如神来之笔，它的加入筑起经典电磁理论．经过赫维赛德改写之后，麦克斯韦方程可以清楚地展现场与荷的因果关联和场的对称性；按照相对论四维时空并引入电磁势或者电磁场张量改写后，清楚地展现协变性．不难看出，上述两个方面正是需要引导大学生初学者充分重视矢量及其微分代数在“电动力学”中基础地位的本质原因[18]．

5 结论

本文介绍了电动力学课程中四个“识”的教学引导．一是善于大胆设想并小心求证．最具代表性的事实是麦克斯韦总结50多年的经验事实，历经10多年研究，提出位移电流概念，建立经典电磁理论．二是善于用实验检验科学设想．典型的事实是，赫兹用实验验证了麦克斯韦预言的电磁波，麦克斯韦理论才得以真正站稳脚跟．三是善于从矛盾中发现新事物．麦克斯韦电磁波模型“缺失”传统介质的质疑经实验检验后，证实电磁波就是可以在没有介质的真空之中传播．传统介质“以太”的否定使人们不得不接受真空中光速不变的事实，以此为基础诞生狭义相对论．模型缺失和以太被否定都表明与传统的矛盾之中可能蕴含着新事物．四是善于运用数学进行物理逻辑推理．令人鼓舞的事实是，经过赫维赛德的数学完善，麦克斯韦方程清楚地呈现出场的对称性．按相对论时空表达的电磁作用规律呈现出协变性．经过四个“识”的引导，学生可以获得更强的兴趣和毅力学习电动力学，获得更强的信心和潜力迎接未来综合发展．