朴实亦有精华处——2022年浙江卷第17题解法分析与探究

计惠方 陆权烽

(浙江省湖州市滨湖高级中学)

1 试题展示与定位

背景评价 粗看试题朴实无华,通过试题的解析和深度研究,可以更清晰地感受到试题的深远立意和丰富内涵.它既传承了重基础、重本质、贴近中学数学实际的“浙江风格”,又在关注概念和理解、问题与转化、变化与确定等方面实施了创新.细细品味、深深思考此题可以感受到题目更深刻的价值和意义.

考查知识 单位圆、正多边形、向量运算、动点问题等.

思想方法 数形结合、转化化归、向量的坐标表示等.

考点地位 平面向量是高考填空题中最后一题的常客,是考查热点.《普通高中数学课程标准(2017年版2022年修订)》中指出要“掌握平面向量加减运算及运算规则”“掌握平面向量数乘运算及运算规则”“会用坐标表示向量的加减运算与数乘运算”,这说明对向量运算的要求不止为“理解”而是“掌握”.

设计意图 本题以单位圆为基础搭配正八边形,在这个常见的几何图形上考查向量的平方和问题,综合考查学生化归与转化、数形结合等思想方法的能力.

2 题意阐述与分析

3 解法研究与呈现

3.1 坐标法

分析 由于单位圆与正八边形都是对称的几何图形,所以可以从建坐标系的角度出发解决本题.

解 以圆心为原点,A7A3所在直线为x轴,A5A1所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图1所示,则

图1

3.2 向量法

图2

4 题目推广

图3

图4

5 变式练习

图5

6 小结

对于同一道题目,从不同的视角去观察,可能会得到不同的启发,学生的思维在不同的角度下与已有的知识储备相碰撞,可能会出现多种解法.一道题目的解法可能有繁有简,但这对训练学生的思维发散能力是有帮助的.

此题在两个简单的几何图形(单位圆和正八边形)结合的基础上,搭配向量的平方和问题.学生能从多个角度出发思考本题,例如,在涉及圆的问题时,经常会借助圆心解决问题,同时单位圆以及正八边形都是对称图形,对称图形又启示我们可以从坐标的角度尝试解决问题.

学生在解题时经常感觉难以下手,有时毫无头绪,觉得不知道用什么方法,有时感觉有很多方向但是不知道哪种方法能解决问题.本题提示教师要在平时的解题教学中,注重引导学生从题干线索中找到和已有知识储备发生碰撞的“线头”,从而抽丝剥茧,解决问题.