空间分数阶KGS方程中不同孤子的数值模拟

张利娟， 孙建强

(海南大学理学院， 海口 570228)

自从中子被发现以后，随着质子与中子模型的建立，人们认为原子核存在第三种相互作用力，即长程力.1935年，Yukawa提出了新相互作用理论的基本概念——交换粒子，这种交换粒子的质量介于电子和质子之间，因而被称为介子.1947年，Powell对宇宙射线进行多次拍摄，发现Yukawa预言的介子.随后又发现κ介子、ρ介子、ω介子等多种介子.为了刻画原子核内部核子与介子之间的相互作用，Yukawa首先提出了Klein-Gordon-Schrödinger(KGS)系统.1975年，首次由Fukuda和Tsutsumi提出了带有Yukawa作用的KGS系统模型[1]，随后一系列类似物理模型相继产生．

由于分数阶微分方程在描述一些系统时比经典的微分方程更接近真实情况.在分数阶量子力学领域也相应提出了分数阶Schrödinger、Klein-Gordon方程[2-3].2000年，Lasikin[4-5]通过Levy过程的路径积分，建立了原子核内部核子与介子之间的相互作用空间分数阶Schrödinger方程，随后该方程引起国内外学者的广泛关注[6-7].最近，在文献[8]中，利用随机游走提出了分数阶KGS模型. 2016年，Huang和Guo考虑了如下具有拉普拉斯算子(1<α<2) 的空间分数阶 KGS方程[9]，

(1)

2α1|u|2φdx=E(0).

(2)

分数阶微分方程的解析解很难得到，一般只能通过数值模拟才能了解方程中孤子的演化情况.2017和2019年，Xiao等提出分数阶KGS方程的有限差分格式和谱格式，并分析了单个和双个核子和介子相互作用情况[10-11]．

在能量守恒偏微分方程的数值求解中，能量守恒格式起着重要的作用.近年来，哈密尔顿系统和多辛结构偏微分方程的能量守恒方法受到了广泛的关注[12-14].Quispel和McLachlan等利用平均向量场方法构建了哈密尔顿系统的能量守恒格式[15-17]，该格式能够精确模拟哈密尔顿系统长时间的演化过程，且保持系统的能量守恒.平均向量场方法也已推广到能量守恒多辛结构偏微分方程的计算[18].KGS方程具有能量守恒性质.本文把分数阶KGS方程转化成多辛结构，构造出分数阶KGS方程的多辛保能量格式，分析KGS系统中多个核子与介子在不同参数作用下的碰撞情况．

1 分数阶KGS方程的多辛保能量格式

设p(x，t)是一个周期函数，x∈(a，b),定义

(3)

(4)

方程(4)等价于如下多辛结构形式

Mzt+K(Lz)=∇zS(z)，

(5)

式(5)满足多辛守恒定律

∂tω+∂xκ=0，

∂t(dp∧dq+dφ∧dw)+

(6)

在空间方向，利用傅里叶拟谱方法对分数阶KGS方程(4)进行离散.可得到方程(4)如下的半离散系统，

(7)

(9)

同时方程(4)中变量φ关于x的二阶偏导数，相应的谱微分矩阵为[21]

(10)

方程组(7)等价于

MNZt+KNDZ=∇ZS(Z) ，

(11)

在时间方向上，对空间离散后的多辛系统(11)用二阶平均向量场方法进行近似离散，有

(12)

式(12)等价于如下离散格式

(13)

式(13)理论上能精确保持分数阶KGS方程(1)的离散能量守恒特性，在时间方向上具有二阶计算精度．

2 核子与介子孤立子相互作用的数值模拟

利用新格式(13)对分数阶KGS方程(1)进行数值模拟.定义相对能量误差函数为

(14)

2.1 两核子与两介子孤立子的碰撞

设分数阶KGS方程(1)的初始条件为[10]

exp(ivx)，

(15)

其中，v表示波的传播速度.下面研究双孤立子的情况.初始条件如下

u0=u(x-p1，0，v1)+u(x-p2，0，v2)，

w0=w(x-p1，0，v1)+w(x-p2，0，v2)，

φ0=φ(x-p1，0，v1)+φ(x-p2，0，v2)，

选择参数p1=-10，p2=10，v1=0.8，v2=-0.8，τ=0.01，h=0.3.在区间x∈[-30，30]，对不同的α进行数值模拟．

图1～2分别表示两核子和两介子孤立子在不同α值时t∈[0，45]碰撞演化情况.图1中，在α=2时两孤立子完全融合在一块，孤立子振幅增大，当α减弱时，两孤立子都能彼此通过， 孤立子振幅变小变宽，出现涟漪，孤立子传输表现出不稳定性，可知当α减弱时两核子孤立子碰撞减弱，孤立子传输表现不稳定.在图2中两介子孤立子也出现了类似的情况.同时随着α减弱，两核子和两介子碰撞距离离初始位置更远，孤立子的传输都表现为不稳定，出现孤立子发散涟漪现象，这结论与文献[10-11]一致.图3分别给出了分数阶KGS方程中在不同α值时的孤立子数值解的相对能量误差随时间变化图，误差为10-12，达到机器精度，误差可忽略不计.这表明新的保能量格式能精确地保持分数阶KGS方程的离散能量守恒特性．

2.2 三核子与三介子孤立子碰撞

设方程(1)中变量β=1，γ=1，m=1，α1=1，方程(1)孤立子的初值解为：

u0=u(x-p1，0，v1)+u(x-p2，0，v2)+

u(x-p3，0，v3)，

w0=w(x-p1，0，v1)+w(x-p2，0，v2)+

w(x-p3，0，v3)，

φ0=φ(x-p1，0，v1)+φ(x-p2，0，v2)+

φ(x-p3，0，v3)，

选择参数p1=-10，p2=5，p3=15，τ=0.01，h=0.3.在区间x∈[-30，30]，对不同的α和v进行数值模拟.

图1 两核子孤立子|u(x，t)|在α取不同值碰撞的波形图Fig.1 Colliding waveform diagram of two nucleon solitons |u(x，t)| with different values of α

图2 介子孤立波φ(x，t)在α不同时碰撞的波形图Fig.2 Colliding waveform diagram of two meson solitons φ(x，t) with different values of α

图3 分数阶KGS方程α取不同值时在t∈[0，45]时的相对能量误差Fig.3 Relative energy error of fractional KGS equations with different values of α

图4～5分别给出了三个核子孤立子和三个介子孤立子在不同的α和不同的传播速度v下孤子的传输碰撞情况.图4(a)左边孤立子与右边两孤立子碰撞，第一次碰撞振幅显著减少，第二次碰撞振幅基本消失.图4(b)在α=1.3，v3=-0.8时孤立子演化图，在相同时间内只发生一次碰撞.图4(b)在α=1.3，v3=0.4时孤立子演化图，在相同时间内又发生两次碰撞.可见改变传播速度v，孤立子的传输形状和方向都发生了改变.图6给出了分数阶KGS方程中的孤立子数值解的相对能量误差随时间的变化，误差为10-12，达到机器精度， 误差同样可忽略不计.这表明新的保能量格式能精确地保持方程的离散能量守恒特性．

图4 核子孤立子|u(x，t)|在α和v不同时碰撞的波形图Fig.4 Colliding waveform diagram of three nucleon solitons |u(x，t)| with different values of α and v

图5 介子孤立子φ(x，t)在α和v不同时碰撞的波形图Fig.5 Colliding waveform diagram of three meson solitons φ(x，t) with different values of α and v

图6 分数阶KGS方程α和v取不同值时在t∈[0，45]时的相对能量误差Fig.6 Relative energy error of fractional KGS equations with different values of α and v

3 小结

本文把分数阶KGS方程通过适当的变换转化成多辛结构偏微分方程，利用傅里叶拟谱方法和二阶平均向量场方法得到了分数阶KGS方程的一个新的整体保能量格式，并数值求解分数阶KGS方程.进一步分析了α和传播速度v取不同值时对多个核子与介质孤立子碰撞的影响，探讨了核子和介子孤立子的演化行为规律，并得到了新格式能较好地保持能量守恒特性.下一步将研究更一般模型中的核子与介质孤立子相互作用演化情况．