携手数学文化，走进初中数学

文／郭源源

著名的数学家华罗庚曾说：“数学是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的。”这种多姿多彩包含数学本身具有的逻辑魅力，还包含数学发展过程中产生的数学文化。在初中数学的学习中，了解数学文化不仅能够增加我们学习数学的兴趣，还可以帮助我们明晰知识的来龙去脉，从而有助于我们更好地去理解学习的内容。

一、数系的扩充

小学阶段，我们已经学过整数、小数、分数的概念。初中数学不仅对我们学习的数的范围进行了扩充，而且还研究了其内在关系，形成了数域结构图（如图1）。对于初中“数”的学习，不能拘泥于单个概念，而是要厘清它们的关系，建构一种结构路线。

图1

比如七（上）我们要学习“有理数”，我们就需要了解有理数和无理数的产生与演变过程。

有理数的字面意思是“有道理的数的集合”，无理数是“没有道理的数的集合”。实际上，这是一个翻译上的失误。有理数这一数学名词源于西方，用英语表述为rational number。rational的意思是“理性的”，我们便将rational number按字面意思译成“有理数”。实际上，rational number这个词来源于古希腊，rational的词根为ratio，意思是“比率”。正确的翻译应该是：可以表示为两个整数之比的数。而与其相对应的“无理数”指不能表示为两个整数之比的数。由于整数和分数都可以写成两个整数的比，所以将它们统称为有理数；像π这样的无限不循环小数，由于不能写成两个整数的比，所以被称为无理数。所以，这里的“理”只是个翻译失误。抓住“整数比”，我们可以更好地理解概念。

二、方程的出现

初中数学注重对事物“关系”的把握。特别在引入了字母之后，由“数”跨越到“代数”，使得“关系”的表示变得更加灵活和便捷。而方程的出现，又进一步优化了我们的思维方式。

人们对方程的研究可以追溯到大约3600 年前，古埃及人写在纸草书上的数学问题就涉及了含有未知数的等式。我国古代数学家刘徽注释“方程”的含义时，曾指出“方”字与数字方阵有密切的关系，而“程”字则指列出含未知数的等式，所以汉语中“方程”一词最早指列一组含未知数的等式解决实际问题的方法。

《孙子算经》记录了很多浅显且有趣的问题，如“鸡兔同笼”等，还流传到了很多国家。在小学，我们解决“鸡兔同笼”问题，用了一些计算技巧，如假设笼子里的全是鸡（或全是兔），再逆向推理分步列算式，而在初中，我们可以将其化归成方程问题。同学们在后续内容中就会学到。

三、几何与证明

初中数学重操作、重探究、重推理。在几何的学习中，同学们不仅要重视图形直观，还要明晰背后的道理，这也是几何证明的要点。

比如，后面我们会学到勾股定理。勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠。我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家将直角三角形称为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，而斜边则称为弦。公元前1000 年，西周时期的数学家商高发现了直角三角形的一个特例：勾三、股四、弦五。我国三国时期的数学家赵爽构造了弦图，并利用面积相等，简单又巧妙地证明了勾股定理。

初中的几何学习对思维的全面性和严谨性提出了更高的要求，经严谨证明的结论才具有说服力。比如，三角形的内角和。在小学，我们通过度量和剪拼的方法已经知道三角形的内角和为180°，可是，到了初中，我们为什么还要学呢？其关键点不是让同学们知道这个结论，而是要同学们经历和体会规范的定理体系，即猜想、证明、应用。所以，我们在初中学习数学时，会做题仅仅是表象，明理才是根本。我们的每一步推理都要有理可循、有法可依，这样才能学好几何，练就好的思维品质。

总之，初中数学的学习不仅仅是数学知识的习得，更要结合相关的数学文化，厘清知识的来龙去脉，注重内容的结构体系，从生长的视角去看待数学知识，这样，初中数学会越学越清晰，越学越通透。