利用概念图评价学生对数学概念的理解

石浩楠，胡典顺

（湖北省武汉市第十七中学；华中师范大学数学与统计学学院）

一、引言

数学概念是数学理论体系的基石，是逻辑思维的起点. 数学问题的解决是从辨析概念出发，然后选择合适的方法. 脱离数学概念，忽视对概念的理解，很难形成数学思想和数学方法，不利于数学学习的进行. 因此，学好概念是数学学习的重中之重. 当然，数学概念的学习不是一次性的. 学习概念、理解概念、运用概念，发现概念间的联系，这是一个过程.概念从来都不是孤立的，而是有关联的. 对于所学的概念，不仅应该知道概念本身的含义，还应该了解概念之间的关系，这时，就需要利用概念图来达到目的. 概念图最早由美国康奈尔大学的诺瓦克教授等人提出. 诺瓦克在一项科学概念研究中发现，学生常常能完成相应的实验步骤，但是却无法对由此产生的现象做出相应的解释. 为了解决学习中的这一问题，诺瓦克根据奥苏贝尔的概念同化理论开发了概念图这样一种认知工具，试图将传统教学导致的机械学习转变为有意义学习.

概念图是某个主题的概念及其关系的图形化表示. 在概念图中，概念名称放在圆圈或方框之中，以连线形式将相关概念连接起来，并在连线旁标出两个概念之间的联系. 随着知识的不断积累，所学概念不断扩充，概念间的联系越发复杂，概念图随之向外延伸，逐步形成知识体系的概念网络. 运用概念图，能帮助学生梳理所学内容，掌握概念定义，把握概念间的意义关系，实现有意义的学习. 在现今的数学教学课堂中，概念图虽不陌生，却少有一席之地. 教师对概念图结构和用途的一知半解使得他们忽视对概念图的拓展与延伸，放弃将概念图渗透于日常教学的过程中. 而学生因为接触不多，无法体验到概念图对知识梳理的强大功能，丧失对概念图自主学习的兴趣. 本文通过对概念图的特点和评估方案的介绍，提出相关教学策略，以期将概念图引入数学课堂.

二、基于认知同化理论的概念图特点

奥苏贝尔的认知同化理论，即在原有认知结构基础上构建新的认知结构. 奥苏贝尔的认知同化理论起始于认知结构，也落脚于认知结构. 新知识纳入已有的理论框架，是产生新的联系的过程，甚至会改变概念间的结构. 奥苏贝尔的认知同化理论包含以下三个观点：（1）认知结构是有层次结构的. 概念之间不可能都存在联系，但是有联系的概念不可能都是平级的，除了并列关系外，必然有上下级关系的概念存在.（2）认知结构是逐渐分化的. 层次结构就意味着概念具有从属关系，一个一般的概念下面会包括很多具体的概念，较具体的概念也可能还有下位结构，这就体现了概念的逐渐分化的过程.（3）认知结构不断整合协调. 当原本没有关联的概念网络产生联系，或者当一个概念网络中的概念逐渐丰富时，概念间的联系也越发错综复杂，一味地在原有的认知结构框架下进行分化，并不能达到预期的梳理功能，概念图的有意义学习的成分也不会提高. 面对复杂的概念关系时，需要不断调整概念图的纵向及横向结构，探索更加优质的概念图. 概念图作为认知结构外显化的结果，和认知结构一样，具有层次结构、逐渐分化，以及整合协调的特点. 根据奥苏贝尔的认知同化理论，我们可以进一步理解概念图的结构.

1. 层次结构

概念图的层次结构是对概念最基本的考查. 就如同建筑的房屋结构，只有科学、合理的框架才能进行下一步细致的工作，因此概念图的层次结构必须符合概念的从属关系. 从包含性强的、宽泛的概念开始，接下来是包含性较弱的、具体的概念. 同一内容的概念图的层次结构没有正确和标准的说法，只要包含关系正确，便于后续阶段的分化与整合即可. 正是因为概念图的这一特点，锻炼了学生的逻辑思维能力，培养了学生的创新意识，促进学生主动思考，有利于有意义学习的实现.

以实数为例进行说明. 实数是学生进一步学习数学知识的基础，对实数的透彻理解有利于后期对集合、复数、导数等知识的学习. 利用概念图辅助教学，可以让学生从多角度认识实数. 如图1、图2，可以清晰地看出，实数作为上位概念，却有着不同的层次结构. 实数可以分为正数、0、负数；也可以分为有理数、无理数. 这反映了学生思维方式的不同. 两个概念图没有哪个更优的说法，重要的是从概念图中得到学生对概念知识的把握情况，并及时纠正错误的认知. 为了构建一个分层的概念图，学生必须思考，在主题之下什么是最具包含性、包容性较弱，以及最不具包容性的概念. 这包含主动的认知思维，是学生积极思考、自主学习的展现.

图1

图2

2. 逐渐分化

有意义的学习是一个持续性的过程. 对一个主题进行不断深入学习后，之前的概念框架会继续分层，原本的下位概念可能会获得更大的意义，从而拥有新的下位概念；原有的概念之间也可能产生进一步的联系. 就如同建筑的房屋结构，已经画出总体设计框架后，下一步就是对每个房间内部的设计进行细化. 概念图的分化，是在概念层面上思考问题，有助于明晰概念间的本质区别. 同样地，由于需要学生对概念进行主动地重组或结合，必然会产生自己的创造，达到培养创新能力的目的.

以实数为例进行说明. 如图3、图4，随着实数这一章节内容的深入，学生获得了实数、有理数、无理数、正数、负数等多个有联系的概念，为梳理概念，概念图需要进行进一步分化. 在分化过程中，上位概念及下位概念的确定，概念间连接词的概括，这些都需要学生进行权衡. 通过思考概念间的关系，可以让学生找到所学内容之间的联系，意识到哪些概念是掌握良好的，哪些概念是相对模糊的. 这个过程帮助学生进行自我评价，有助于学生查漏补缺. 再者，概念图的逐渐分化使得一个主题下的概念图越发复杂多样. 通过分析不同学生的概念图，可以让教师了解学生的认知误区及普遍错误，掌握学生的学习情况，及时调整课堂内容，实现以学生为中心；也可以让学生从多角度看待问题，并且通过一幅幅不同的概念图多次回忆所学知识，更加明确概念的意义，加深对概念的认识与理解.

图3

图4

3. 整合协调

逐渐分化的过程可以看作同一主题下内容的协调与重组. 对新、旧知识进行重新认识，发现它们的内在联系，使概念图不断向外延伸. 不同主题下的概念图，也可能会因为不断分化而产生新的命题联系，从而整合成一个概念图. 通过观察概念图是复杂网络还是简单的结构初步判定学生对知识运用的熟练程度.熟练的学生往往能创建出高度连接的图，而不熟练的学生往往创建出简单的线形、圆形、有轮辐的中心，或者有一些分支的树. 知识不是独立的，学生清楚知识具有联系，却难以用语言表述，而概念图作为一个具有整合协调功能的工具，能够将学生脑海中对概念关系的理解外显化，重建认知结构，提高思维能力.

如图5，是一个关于有理数乘法的概念图. 可以发现，有理数的运算、实数的运算、方程等内容通过一个概念图联系起来. 图5 显示的只是思维的一小部分，我们还可以继续拓展和整合概念. 这个概念图以小学四则运算为基础，展示了有理数的加、减、乘、除的联系，并为后续的方程及实数的学习做了铺垫，体现了知识的整合协调. 概念图作为一种可视化工具，可以清晰地反映概念在哪里产生联系，并让学生通过关键词回忆起相应的内容，检查出学生的认知错误和丢失的相关概念. 创新意识往往很难向他人展示，包含多个交叉联系的网状概念图可以作为学生创造性思维的产物. 整合协调的过程，不是对概念名词的生搬硬套，知识内化外显的过程促进了有意义的学习.

图5

三、概念图的评估方案

概念图的掌握并不复杂，益处也显而易见，那么为什么在数学教学中概念图往往被束之高阁呢？一个主要的原因就是很难采取一种办法对概念图进行评估. 无法或很难对概念图进行评分，教师就很少花费精力在概念图的使用上，学生没有动力就难以激起对概念图的兴趣. 一个简单、易于评估的方案可以使概念图走出困境. 下面以Novak和Gowin的概念图评分标准为基础，进行简化与改进.

评估方案如下：（1）对所有有效的关系打分. 有效的关系是指两个概念之间正确的联系. 每个有效的关系可以记1 分. 对于错误或者遗漏的联系，可以记0分，扣分会加大对最终评分结果认识的难度. 只记正分，不记负分，可以直接从分数上看出学生对概念的掌握程度.（2）对有效级别的层次结构打分. 每一个有效的层次结构可以记x分，通常x取每个有效关系分数的3～10 倍. 如果概念图不是对称的，有些概念分化较强，有些概念分化较弱，取最多的层次结构进行计分. 但是如果只追求层次结构，却没有正确的从属关系，这样的结构属于无效的.（3）对有效的交叉连接打分. 交叉连接是指概念图中不同部分的概念之间产生的联系. 每一个有效的交叉连接可以记y分，通常y取每个有效层次结构的2或3倍，这是因为交叉连接反映的是概念的整合协调，是难能可贵的.（4）对有效的例子打分. 每个有效的例子可以记1分. 这一步不是必须的，有效的例子是为了防止学生死记硬背，因为概念间的联系是可以通过记忆复制出来的，这样并不能达到概念图有意义学习的目的.

评估方案中每一条的分配分值是可以根据实际情况变动的，只要遵循合理的规则，能达到评估的目的即可. 图6 是一个简单的概念图. 我们尝试根据评估方案对这个概念图进行评分. 由概念图知，概念间的关系一共有6 个：①到⑥，每一个关系都是正确有效的，共计6 分. 从层次结构来看，共有两个层次：水平1、水平2，且都是合理有效的，取每个层次分数为每个有效关系的4 倍，即4 分，共计8 分.图中⑦⑧为概念间的交叉连接，取每个有效的交叉连接分数为每个层次结构的2倍，即8分，共计16分.图中⑨是对概念解释的一个例子，计1 分. 根据评估方案，图6 的概念图所得分数为31 分. 得分的高低可以让教师了解学生对知识的理解、掌握情况，学生也会对自己有更清晰的认识，这为概念图进入数学课堂提供了可能.

图6

图7、图8分别是甲、乙两人在五分钟内画出的关于反比例函数这个主题的概念图. 尝试对两幅概念图进行评分. 如图7，有效的关系有5 个，计5 分. 有两个层次，且都是合理有效的，取每个层次分数为每个有效关系的4倍，即4分，共计8分. 没有交叉联系和例子，所以甲的得分为13 分. 如图8，有效的关系有3 个，计3分. 只有一个层次，计4分，没有交叉联系和例子，所以乙的得分为7 分. 从得分情况可以看出，甲同学概念图描述的正确信息更多，概念掌握情况更优. 统观概念图，发现甲的概念图更发散，知识点更全面. 乙对反比例的性质的回忆是零散的. 虽然用文字描述出了相关的图象特征，但是没有甲给出的图象直观. 当然，仅凭图象也不能判断甲能正确地表述反比例函数的性质. 学生可以对比概念图发现差异，取长补短，良性竞争. 教师则能了解学生对这一阶段学习内容的掌握情况，调整教学内容.

图7

图8

四、总结和反思

概念图有助于加深学生对概念的理解，构建概念网络. 针对上文对概念图的认识，提出以下几条教学建议.

1. 引入概念图，激发兴趣

概念图促进有意义学习不是一蹴而就的. 教师需要在教学中引入概念图，让学生意识到概念图对呈现知识的过程和内容联系的强大功能，从而激发学生创造概念图的兴趣，推动学生自主学习和探索性学习的进行. 同时，教师应注意概念图教学并不适合所有的课时内容. 在合适的课堂内容上使用概念图才能达到事半功倍的效果，一味地没有选择地向学生推荐概念图则会适得其反. 引入初期，教师可以选择一些内容简单、结构单一的概念图，重点在于对概念图组成成分和基本结构的普及. 后期，可以在复习课上通过概念图将已学的琐碎的知识点整合在一起，让学生直观感受概念图的优势，加深学生对知识的联系，提高课堂质量.

2. 理解概念图，实践运用

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行. 在学生了解概念图的功能后，教师可以选择合适的内容，鼓励学生创作概念图. 例如，在课前预习或课后复习阶段，可以以小组或个人为单位绘制概念图. 不仅可以促进学生团队合作意识，还能够将脑海中的知识网络表现出来，建构知识体系. 这也是一个循序渐进的过程.教师可以先给出一些概念名词，让学生根据自己的理解将这些概念整合到一张概念图中，也可以给出一个上位概念，让学生尽可能联想与之相关的概念或联系，绘制一张概念图. 在这个过程中，学生会主动思考概念的含义，并厘清它们之间的联系.

3. 反思概念图，夯实提高

概念图作为学生认知结构的表现、创新意识和实践能力的产物，需要教师及时给予评价，反过来促进学生的创作欲望，成为良性循环. 并且，教师评估学生绘制的概念图，可以掌握学生阶段性的学习成果.教师根据概念图的反馈可以及时调整教学计划和教学进度，也能够针对性地对每位学生提出学习建议，因材施教，深化课堂有意义的学习成分. 概念图中错误和遗漏的联系，是学生薄弱、不足之处，学生可以针对自己的问题复习巩固，夯实基础.

总之，概念图作为将内在知识外显的可视化工具，对教师的教和学生的学都起着积极的作用，有利于课堂教学双主体的实现. 教师应该学会将概念图引入数学课堂，充分挖掘学生潜在的能力，实现数学教学目标.