SOLO分类理论下中学生数学运算能力的培养研究

李 玉 陈思伊 陈惠汝

(黄冈师范学院,湖北 黄冈 438000)

一、问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中指出数学核心素养是数学课程目标的集中体现，数学运算是六大数学核心素养之一数学运算是指在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养学生从小学开始学习加减乘除，到初中学习方程，再到高中学习复杂的函数，因此，数学运算渗透到学生学习的每个阶段，有着无法取代的作用由此可见，数学运算是学生解决数学问题的基本手段

历届高考都有对数学运算能力的考查，而考生经常出现由于数学运算能力不好而导致数学成绩不佳的现象这些现象表明在高中数学教学中，部分教师自认为学生具备一定的数学运算能力，不会刻意地培养学生的数学运算能力，导致学生自己也不重视数学运算能力，将其搁置一旁在实际的教学环境中，大多数教师不会在课堂时间讲解具体的运算，他们通常将解题方法或解题思路讲给学生为了珍惜课堂上的每一分每一秒，他们往往选择让学生在课下自行计算但是对于自制力不好的学生来说，下课铃声一响，他们就会把课本收起来，不会再看，长此以往，他们的数学运算能力只会每况愈下

关于上述问题，许多学者提出了自己的见解刘明(2000)认为学生的运算能力是一种综合能力，与学生的记忆能力、思维能力以及空间想象能力有着密不可分的联系杜先存(2002)指出，学生思考问题的角度、数学运算的方式、观察细节的能力等多方面因素对运算能力有很大的影响杨柳青(2007)认为学生对基础知识掌握不熟练、不好的学习习惯以及错误的学习方法是造成学生运算能力不好的原因，并指出应该从四个方面来改善：打牢基础、高效把握课堂、训练良好的思维品质和训练良好的心理承受力胡立素(2015)认为高中生数学运算能力的提升是不能速成的，需要学生慢慢积累，需要教师在日常教学中逐渐渲染运算能力的重要性武绍利(2017)认为数学运算反映了学生的数学核心素养，要想提高学生的运算能力，需要注意两点：一点是让学生认识到数学运算的重要性，另一点是采取运算专题训练李琳(2019)认为教师在教学中应该规范解题步骤，重视数学运算和引导学生克服思维定式，从而培养高中生的数学运算能力

二、基于SOLO分类理论的数学运算能力划分

SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome)分类理论是由澳大利亚教育心理学家比格斯(Biggs)在1982年首创的一种学生学业水平分类方法.SOLO分类理论是基于学生对某一具体问题反应的分析方法，对学生解决问题时所达到的思维水平进行由低到高的5个基本结构层次的等级划分：前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和拓展抽象水平.

陈蓓用不同的结构图来表示SOLO的各种水平，并结合学生的回答来判断学生对函数概念的理解水平.王传兵认为SOLO分类法可以让教师了解学生对知识的掌握程度，从而进行教学反思，因材施教.艾珲琏、周莹利用SOLO分类理论对2016年全国卷(理科)数学试卷进行分析，从高考数学试题命制和高中数学教学两个方面提出了自己的建议.虽然各学者研究的出发点、视角存在差异性，但是可以看出，SOLO分类理论具有的理论基础、实践性和良好的操作性主要用于学生解决具体问题的评价，而且以知识的考查为评价重点，用知识点的组合运用水平来确定学生所处的层次，这是SOLO模型的特点.

高中课程标准修订组的专家对六大数学核心素养做了三级水平划分，这三种水平的划分分别指向学业考试水平、高考水平和自主招生考试水平，每个水平中对各核心素养提出了若干要求.这是针对高中数学学习的特征划分的，如果完全搬迁到初中数学学习中来，就会有一定的不适应性.因此，本研究在参考王光明教授2013年度教育部人文社会科学一般项目《高中生数学素养的操作定义》的基础上，以SOLO理论的视角解读数学运算能力水平的划分，对各水平中的描述分别进行了分析，如表1所示.

表1 SOLO分类理论下的数学运算能力划分

1观察下列算式：

71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,79=40353607,

……

根据上述算式的规律，请你猜想7的末位数字是________

学生空白回答，或者随意填写一个不相关的数字

学生通过观察上列等式，发现7和7的末位数字一样，7和7的末位数字一样的规律……学生发现循环的周期为4

学生明白7的末位数字取决于190除以4的结果，经计算，190÷4=47……2因此，7的末位数字与7的末位数字一样，即得到7的末位数字是9的结论

图1

2如图1所示，已知△，△是等边三角形，连接，交于点，求证：∠=60°

学生空白回答，或者只把题目的条件复述一遍，并没有证明的思路

学生根据题目中的相关条件，知道等边三角形的三边相等，三个角都是60°等基本信息，但是无法想到下一步的推理

学生通过等量代换，得到∠=∠，联想到全等三角形的知识，并采用SAS来证明△≌△学生得到全等之后，得到∠=∠(对应角相等)的结论

学生通过观察所求的角和已知的角之间是否存在联系，意识到△与△的内角和都是180°(设，交于点)，而且有对顶角相等，加上通过全等得到的∠=∠，再次通过等量代换，可知∠和∠是等价的由此得证

关联结构水平的学生作答如下：

∵△，△是等边三角形，

∴∠=∠=60°

又∵∠=∠+∠,

∠=∠+∠∴∠=∠

在△和△中，

∴△≌△(SAS)

设与交于点，

在△和△中,

∵∠=∠(对顶角相等)

∠=∠(对应角相等)

∴∠=∠=60°(三角形的内角和是180°)

图2

3如图2所示，在△中，∠=45°，⊥，⊥，垂足分别为和,为中点，与，分别交于点，，∠=∠

求证:-=

进入新世纪以来，人民群众的精神文化需求不断升级。新闻出版业在满足人民群众基本阅读需求的基础上，还不断致力于提升服务层次和服务水平，以满足人民群众个性化需求、高水平的体验消费需求和公共文化需求。

学生空白回答，或者只把题目的条件复述一遍，并没有证明的思路

学生根据题目中的∠=∠，⊥，知道△是等腰三角形，垂直平分，但是无法想到下一步的推理

学生再次读题，结合∠=45°，⊥和为中点这些条件，可以推理得到△是等腰直角三角形，垂直平分学生意识到需要做辅助线将已知条件联系起来

学生通过对求证的等式进行变形，得到=+通过观察等式，学生发现需要证明的等式与勾股定理结构相似，遂连接

学生通过连接辅助线，可以在直角三角形中得到=+，通过垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可以进行等量代换，即=，=，从而可证-=

拓展抽象水平的学生作答如下：

∵∠=∠，⊥，

∴=，是的垂直平分线

∵为中点，∠=45°，△是等腰直角三角形，

∴为的垂直平分线

连接，在⊿中，

+=

再通过等量代换，=，=，

∴-=

由以上案例可知，我们在将SOLO分类理论与具体学习内容相结合来分析学生的数学运算能力水平时，对学生数学运算能力的分析是细化的，这种细化可以帮助学生清晰地认识到自身的数学运算能力水平并找出学习侧重方向，进而科学安排在数学学习中对各部分学习内容的时间分配，提高数学学习效率，同时能帮助教师认识到学生的薄弱之处，进而有助于教师调整教学策略

三、影响中学生运算能力的因素

要想提升学生的数学运算能力，教师需要了解影响学生运算能力的因素笔者在实习期间通过批改作业和访谈将影响学生运算能力的因素分为以下三类

(一)概念、公式记忆模糊

部分学生在学习时对知识点的记忆模糊，记不住知识点，就会在运算时出现错误部分学生在学习的时候直接记住概念的名称和符号，而没有弄清楚概念的细节及其适用范围由此可见，学生只有真正地理解概念，弄清楚概念之间的关联，再加以练习，才能熟练掌握概念有些学生只是记住了公式中字母与字母之间的关系，而不注重公式的推导过程，因此不能理解公式的各种变形

(二)运算习惯不好

运算习惯不好包括以下两个方面：一方面是审题马虎看错题目中的数字或符号是中学生在运算中经常出现的错误有近一半的学生在数学考试中会因为粗心大意而丢分另一方面是草稿纸的使用方式不恰当部分学生没有固定的草稿纸，经常在书上、桌子上或试卷上进行运算，这样就存在一些客观因素，如桌子上的划痕、书上原本的字体，学生在运算的过程中容易看错数字，从而导致运算错误有些学生虽然有草稿纸，但是在草稿纸上字迹潦草，在验算的时候会存在困难

(三)运算方法不熟悉

运算方法是指在面对复杂的习题时，学生会根据题目中给出的条件，选择合适的方法进行计算，如换元法、整体迭代法、设而不求法等部分学生表示不能灵活运用特定的运算方法，自己独自做题的时候不能想到合适的方法，需要别人提醒才能想到这表明学生对这些特定的运算方法只是了解，却不够深入，所以要别人提醒才会用教师总结运算方法，或者帮助学生掌握运算的技巧会使学生在解决数学问题时化繁为简，反之，则会将简单的问题复杂化

四、培养数学运算能力的策略

随着我国教育工作者的努力和创新，新课程改革已经启动，高中数学课程标准不断发展，而数学运算能力的地位仍然重要因此，教师更应该紧跟新课标的指示，把数学运算能力的培养放到教学目标中去，并在教学过程中有效落实

(一)教师角度

首先，教师要重视对基本概念的教学学生进行数学运算的基础就是数学概念，如果没有掌握好这些基础概念，学生在进行数学运算的时候就会不知所措因此，第一次引入新概念的课堂十分重要，教师可以要提前做好充分的准备在教学的过程中，教师要时刻关注学生的行为举止，要让学生耳目一新，给学生留下深刻的印象，再逐步深入，让学生记住并理解新的知识其次，教师在教学的过程中要注意培养学生养成良好的运算习惯教师只有开始重视运算习惯，在课堂上多强调运算习惯的重要性并且板书规范的运算过程，才能让学生潜移默化地意识到运算习惯对数学运算的重要性最后，教师要引导学生学会归纳运算规律，总结特定的运算方法例如，在教学数列的基本知识之后，教师可以抽取一节习题课来归纳常见的运算方法，将求解数列的通项公式和数列的前项和常用方法归纳起来对于每种方法，教师可以给出两个例题，让学生先自己求解，再在黑板上板书具体的步骤，给出习题，请学生上来板书，或者当作课后作业有了教师归纳的运算方法，学生再碰到不会的数列问题，翻开笔记温习一下就好了

(二)学生角度

首先，学生要熟记各种基础概念学生应该对基本的运算规则、公式定义熟记于心，避免在做题或考试的时候把公式记错或记混淆而导致运算错误这里的熟记规则并不是要呆板地记住，而是在理解的基础上加强记忆，在遇到不同的问题条件下可以灵活运用对于那些难记、易混淆的规则，学生可以采取重点记忆、搭配记忆、联想记忆等方法其次，学生要养成好的运算习惯学生在审题时一定要仔细，可以将题目多读两遍，不要急着动手做题，要先读懂题意在草稿纸上运算时，学生的字迹要工整一些，便于检查和验算最后，学生要归纳与总结运算方法许多学生的运算能力欠佳，这是因为缺乏总结与反思，对于错题，看一眼答案，就觉得明白了，下次遇见一样的题还是不会做因此，学生应该学会归纳与总结，因为只有彻底搞清楚自己在哪里出错，才会在下次做题的时候避免这种错误学生可以准备一个错题本，将自己做过的错题按不同类型、不同错误原因或错误的频次整理在一起，在复习的时候可以再拿出来写一遍虽然很多学生明白归纳与总结的重要性，但是不能拿出一点点时间将其落到实处学生只有将归纳与总结落到实处，才能有效地提高自身的数学运算能力

五、结 语

数学运算能力作为学生学习数学的重要技能之一，并不是一朝一夕可以提升的教师在日常教学的过程中要重视数学运算，具体表现在重视对基本概念的教学，重视培养学生的运算习惯，重视引导学生总结运算规律和方法学生在学习的过程中要熟记并理解基础概念和基本的运算规则，养成良好的运算习惯，归纳好错题集总而言之，数学运算能力的提升需要教师和学生的共同努力