利用-展开法求分数阶Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程精确解

王振家，丁文琼

（红河学院数学与统计学院，云南蒙自 661199）

近年来，利用适当的方法寻求非线性偏微分方程精确解的研究越来越多，这样的趋势有助于人们对复杂的物理现象、自然科学和工程模型原理的理解和研究.使得非线性偏微分方程的求解问题成为非线性邻域的热门课题.经过众多学者多年来的研究形成不少行之有效的方法，如齐次平衡法[1]、双曲线函数法[2]、展开法[3]、首次积分法[4].

分数阶时空方程Drinfel'd-Sokolov-Wilson(DSW)是一个数学物理方程，该类方程的精确解对于其所描述的自然现象的理解和认识起着推动作用.分数阶时空方程组DSW：

目前还没有一种积分方法可以解决所有类型的非线性偏微分方程，即使一些方法可以求出方程的解，也不是全部的解.这种现状表明了对于分数阶非线性偏微分方程精确解的研究仍是重中之重.

1.定义与性质

黎曼刘维尔导数算子的定义[5]：

Jumarie修正黎曼刘维尔导数具有一些显著性质，例如：

以上性质有助于找到精确的解析，要注意的是上述性质适用于具有黎曼-刘维尔导数分数阶时空偏微分方程，但它可以推广到具有其他分数阶导数的分数阶时空偏微分方程.

步骤1：通过引进了一个新的行波变量：

将（6）式简化成常微分方程：

多项式表示：

步骤3：利用（8）式中的最高阶导数与非线性项平衡来确定（9）式中的整数

步骤4：将（9）代入（8）式中，并利用二阶常微分方程（10），合并同类项将所有具有相同的幂项集合在一起，使得得到的多项式的每一个系数都等于零.得到一个关于的代数方程组

3.时空分数阶方程组 DSW的精确解

这样就可以将（11）式转换成整数阶常微分方程：

由（13）式中第一个方程可以得到：

通过（9）和（10）两式可以推出

利用Maple软件求解上述方程组可以得到一组有用解：

对应方程组的双曲函数通解为:

4.结论

分数阶非线性偏微分方程在近年来的研究中取得了丰硕的研究成果，虽然分数阶非线性偏微分方程精确解的研究难度较高，依然有许多对应的方法被提出并证明有用，文章中主要以-展开法进行介绍和研究.

在文章中运用-展开法，这种方法是求分数阶非线性偏微分方程的精确解有效的方法.对于时空分数阶方程组 DSW利用分数阶的变换，使得方程变换成相应的常微分方程，然后利用-展开法得到了关于时空分数阶方程组 DSW的精确行波解.得到了包括了双曲函数解、三角函数解和有理函数解，为解时空分数阶方程组 DSW提供了新的方法.

这种方法应用在时空分数阶方程组 DSW，计算量都会大一些，但优点在于丰富了已有方程的解.-展开法对于求解分数阶非线性偏微分方程具有巨大的潜力和普遍性.