基于MRAS-DCQGA算法的空气静压轴承伺服系统辨识及参数整定

蒋大伟，李加胜，刘品宽

（上海交通大学机械与动力工程学院，上海 200240）

1 引言

气体轴承一般分为空气静压轴承和空气动压轴承，由于气体润滑具有摩擦极小、工作精度高的特点，所以空气静压轴承具有高运动精度、高转速、无摩擦、无污染等优点，在纺织工业、搬运包装、电子及半导体、计量及超精密机床、涡轮机、食品机械及医疗机械等领域得到了广泛应用[1]。

为了保证空气静压轴承的静态、动态特性，在空气静压轴承的设计阶段，运用合理的方法分析其性能参数及压力曲线可以保证空气静压轴承的设计性能[2]。其主要的分析方法可概括为解析法、数值计算方法和实验法。

解析法主要基于Reynolds方程和Harrison方程以及后来学者提出的不同的模型，数值方法主要包括工程简化算法（ESA）、有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、计算流体动力学（CFD）以及多物理场耦合方法（MPCM）。然而，当空气静压轴承作为伺服系统的组成部分，为了提高伺服系统的控制精度，辨识空气静压轴承伺服系统的参数至关重要，即把空气静压轴承与驱动单元当作整体进行系统参数辨识。

永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）属于典型的非线性系统，具有多变量、强耦合的特点。PMSM的矢量控制策略不仅可以实现解耦控制，控制方法简单，而且提高了PMSM的运动性能。

常用的系统辨识方法包括递推最小二乘法（RLS）、卡尔曼滤波法、模型参考自适应系统（MRAS）、神经网络、遗传算法等。由于MRAS设计方法简单灵活，而且辨识精度高，广泛用于电机伺服系统的辨识。文献[3]基于MRAS辨识了无速度传感器的异步电机的转速，并采用量子遗传算法进行了矢量控制系统的PI调节器参数的优化。

文献[4]结合了MRAS 和RLS 算法的优缺点，运用改进的MRAS-RLS 算法辨识了永磁同步电机的参数，实验结果表明改进的MRAS-RLS算法提高了辨识精度。文献[5]在无速度传感器的感应电机的矢量控制系统中运用MRAS进行了转速的辨识，仿真与实验结果表明，MRAS能较好的估计出电机的磁链及转速，且表现出良好的稳态辨识特性。

文献[6]根据电机定子电压和电流设计了辨识异步电机的转速的MRAS算法，仿真结果表明，设计的MRAS速度辨识模型具有较好的精度和动态特性。文献[7]提出了结合递推最小二乘法和模型参考自适应法的转子电阻在线辨识方法，并进行了仿真与实验研究。

文献[8]针对PMSM系统辨识的欠秩问题，提出了MRAS级联辨识模型，仿真结果表明，MRAS 级联辨识模型准确的估计出PMSM的转速，且表现出良好的动静态性能。

文献[9]结合滑模变结构法和MRAS的优点，提出了一种估计PMSM转速的新方法，仿真结果表明提出的方法能够快速精确的估计电机的速度。

文献[10]基于复合式滑模变结构模型参考自适应方法辨识了异步电机的转速，仿真与实验结果表明，提出的辨识方法动态性能良好，具有工程实用价值。

文献[11]结合最小二乘法和MRAS在线辨识了PMSM 的定子电阻、电感与转子磁链，仿真结果表明，改进的辨识方法保证了辨识精度的同时提高了辨识速度，而且抑制了动态过程的振荡。

此外，还有许多学者对MRAS方法进行了研究与创新。虽然科研人员运用MRAS进行了电机系统的控制及辨识，但是辨识精度与控制性能仍需进一步提高，从而提高伺服控制系统的性能。这里基于MRAS进行了空气静压轴承伺服系统的参数辨识，运用Popov超稳定性理论设计了自适应律，并采用双链量子遗传算法对自适应律的常数项和PI调节器系数进行了优化。

2 永磁同步电机的数学模型

一般建立PMSM的数学模型假设如下[12]：不考虑电机的涡流和磁滞损耗；不考虑电机铁芯饱和工作状态；转子没有阻尼绕组；忽略磁场的空间谐波影响，永磁体磁场和三相绕组的电枢磁场沿气隙正弦分布。

dq坐标系下PMSM的数学模型表示为：

式中：id、iq—定子电流的d轴和q轴分量；ud、uq—定子电压的d轴和q轴分量；R—定子电阻；Ls—定子电感，且本实验的电机电感满足Ld=Lq=Ls；ωr—转子角速度；ψf—永磁体磁链。进一步整理为如下形式：

电磁转矩方程：

式中：pn—电机极对数，其他变量含义同上。

3 模型参考自适应系统

MRAS算法的结构框图，如图1所示。在这里MRAS框图由参考模型PMSM、可调模型和自适应律构成。

图1 MRAS算法的结构框图Fig.1 Block Diagram of MRAS

由于本试验台采用PMSM驱动空气静压轴承平台，所以将空气静压轴承与PMSM当成整体来进行系统参数辨识，即参考模型PMSM考虑了空气静压轴承的作用。

可调系统模型表示为：

自适应律的设计理论一般包括梯度法、Lyapunov 稳定性理论、Popov超稳定性理论、寻优定理等，使两个模型的误差逐渐收敛到0，即lime(t)=lim[i-]=0。这里采用Popov 超稳定理论设计了自适应律，Popov超稳定理论设计时变系统的标准非线性框图，如图2所示。

图2 标准非线性时变反馈系统框图Fig.2 Diagram of Standard Nonlinear Time Variable Feedback System

当系统输入r=0，则u=-w，广义误差方程为：

在系统状态空间表达式能控能观的前提下，系统保持稳定的前提为系统传递函数严格正实，根据Popov超稳理论，该反馈系统保持稳定等效于满足条件[13]。

代入广义误差方程，则Popov不等式可以整理为：

一般自适应律设计为PI控制器的形式[14]，自适应律可以表示如下：

当lime(t)=lim[i-]=0，则可调模型趋近于参考模型，观察自适应律的表达式易得，常数项值直接影响到参数辨识的精度，而三组PI调节器的参数Ki（i=1,2）会影响到参数辨识的动态特性。

下面将通过DCQGA算法进行自适应律的常数项及PI调节器的参数优化，在保证辨识精度的前提下减轻人工调节参数的工作量。

4 双链量子遗传算法

对比于传统的遗传算法，量子遗传算法虽然没有交叉、变异操作，但是由于量子染色体中的量子态的叠加天生具有个体多样性，量子遗传算法比普通的遗传算法具有更好的种群多样性和收敛性。

目前，量子遗传算法多采用基于量子位测量的二进制编码方式，通过改变量子比特相位实现进化。

而双链量子遗传算法（DCQGA）是一种连续空间优化的基于实数编码的进化算法，且引入了目标函数的梯度信息，避免了普通的量子遗传算法进化过程中的随机性和盲目性。算法的流程，如图3所示。

图3 DCQGA算法流程图Fig.3 Flow Chart of DCQGA

算法的具体过程描述[15-17]：

（1）初始化量子种群，设置转角步长初值θ0，变异概率pm

在DCQGA中，采用双链量子位概率幅编码：

式中：tij=2π×rand，rand—随机数函数。i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；m—种群规模；n—量子位数。

可以将每个量子位的概率幅看成并列的基因链，每条染色体中包含两条基因链，而每条基因链代表一个优化解，即：

式中：i=1，2，…，m；pic—余弦解；pis—正弦解。按式（11）进行量子种群的初始化。

（2）解空间变换

（3）计算线性变换后的各量子染色体的适应度

这里选择参考模型与可调模型的误差的绝对积分作为适应度函数，即：

通过等间隔记录T时间内的绝对误差积分作为不同的量子染色体的适应度值，绝对误差积分值越小说明该组量子染色体的适应性越强。

（4）运用量子旋转门更新量子位

量子旋转门定义为：

转角方向的确定：

令α0和β0是当前搜索到的全局最优解中某量子位的概率幅，α1和β1是当前解中相应量子位的概率幅，记A=则当A≠0时，转角θ的方向为-sgn(A)；当A=0时，转角θ的方向取正负均可。

转角大小的确定：考虑可微目标函数的变化率，利用梯度定义转角的步长函数为：

式中：xp、xc—父代和子代的量子染色体。

（5）量子非门变异处理

采用量子非门实现量子染色体的变异，随机选择一条染色体，然后随机选择若干个量子位施加量子非门变换，使该量子位的两个概率幅互换。

设某一量子位幅角为t，变异后的幅角为π/2-t，即幅角正向旋转了π/2-2t。

（6）判断是否满足收敛准则，或者达到最大迭代限制，否则返回（2）。

5 仿真

为了验证MRAS-DCQGA 算法的性能，这里基于MATLAB SIMULINK平台进行了算法的仿真。仿真中的PMSM参数，如表1所示。

表1 永磁同步电机参数Tab.1 Parameters of PMSM

根据PMSM 的数学模型及MRAS-DCQGA 算法的描述过程建立了Simulink仿真框图，如图4所示。

图4 MRAS-DCQGA算法的Simulink仿真框图Fig.4 Simulink Diagram of MRAS-DCQGA

采用id=0的控制方法实现了PMSM的解耦控制。

由自适应律的式（8）～式（10）辨识R、Ls、ψf时需要整定3组PI调节器的参数及常数项，仿真实验中每组参数运行时间为0.5s，即适应度的采样周期为0.5s。

DCQGA算法与传统的遗传算法整定参数进行了对比实验，两种算法的种群规模均为10，寻优迭代100次。

适应度曲线，如图5（a）所示，明显的看出传统的遗传算法存在早熟缺点，易于陷入局部最优，而DCQGA算法具有较好的全局搜索能力。

算法整定的参数结果与辨识，如表2所示。

表2 参数整定结果与辨识值Tab.2 Tuning Results and Identification Value

可以得出DCQGA 算法的参数辨识值优于GA 算法的辨识值。参数辨识曲线，如图5（b）～图5（d）所示。

图5 （a）为适应度曲线，（b）、（c）、（d）为参数辨识曲线Fig.5 （a）Fitness Curve，（b）、（c）、（d）the Identification Results

6 结论

这里设计了用于空气静压轴承伺服系统辨识的MRAS-DCQGA算法，针对自适应律参数多、整定难的问题，应用双链量子遗传算法进行了参数自整定优化。

通过传统的遗传算法和DCQGA算法的对比仿真实验，DCQGA算法表现出良好的全局搜索能力，由于该算法中引入了目标函数的梯度信息，所以DCQGA算法收敛速度快且动态特性稳定。从辨识结果中得出，在合理的误差范围内MRAS-DCQGA算法性能满足要求。