考虑磁性颗粒不均匀分布的磁流变液修正微观力学模型及试验验证

杨 杨，徐赵东

(东南大学混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京 210096)

磁流变液是一种典型的智能可控材料，由载液、磁性颗粒和各种添加剂混合而成[1]。磁流变液最显著的特征是，在外加磁场的作用下，它可以在毫秒内从牛顿流体变成类固体，而且磁场撤销后，又可以瞬间恢复原状。这种磁致效应从微观角度可以解释为，在没有磁场干扰的情况下，磁流变液中的磁性颗粒不受约束，磁流变液处于自由流动状态；而在施加磁场后，磁性颗粒会快速沿磁场方向形成链状和柱状结构，磁流变液的流动需要剪切磁链，在宏观上就表现为剪切应力显著增大[2]。

剪切屈服应力是衡量磁流变液磁致效应高低的指标，也是磁流变液区别于普通液体的重要力学特征。为了描述剪切屈服应力随磁感应强度和剪切速率的非线性变化关系，研究人员提出了很多不同的磁流变液力学模型。早期的磁流变液力学模型都是宏观现象模型，如Bingham 模型，双黏性模型Herschel-Bulkley 模型等[3-5]。宏观力学模型形式简单，但是不能反映磁流变液微观结构参数对剪切屈服应力的影响。因此，很多学者开始致力于磁流变液微观结构的分析，提出了各种考虑磁流变液微观结构参数的力学模型。现有关于磁流变液微观结构的研究都是基于磁偶极子理论，研究磁性颗粒在磁场作用下的成链与剪切断裂等变化。SHULMAN 等[6]假设作用在磁化颗粒上的力矩等于磁矩，推导出了磁流变液剪切屈服应力的计算公式。PENG 等[7]基于磁链与磁场方向的夹角服从正态分布的假设，考虑了磁感应强度、磁性颗粒尺寸、体积分数、剪切应变速率和饱和磁化强度对磁流变液力学性能的影响，提出了磁流变液的微观-宏观交叉尺度模型。LIU 等[8]基于磁偶极子理论，分析了磁链在三种不同状态下的力学性能，提出了磁流变液在受压状态下的微结构模型。李杰如等[9]对磁性颗粒进行微观受力分析，对颗粒的链化与剪切过程进行数值模拟，建立了磁流变液微观数值模型。姬晨等[10]基于分子动力学理论研究了磁链结构在外加磁场和驱动力作用下的变化规律。XU 等[11]假设磁流变液中磁性颗粒在磁场作用下呈初始倾斜的单链分布，提出了磁流变液初始倾斜单链模型。在单链模型基础上，XU 等[12]从磁偶极子能量的角度出发，考虑相邻磁链间的相互作用，推导了磁流变液双链微观结构的力学模型。在双链模型基础上，孙春丽[13]进一步考虑到磁流变液中磁链从单链到双链的过渡和转变，系统地提出了磁流变液单-双链微观力学模型。

总结现有的微观力学模型可以发现，这些力学模型综合考虑了磁流变液的各项微观结构参数，在高磁感应强度下基本可以准确预测磁流变液的剪切屈服应力。然而，先前学者在推导磁流变液微观模型时都假设相邻铁磁颗粒的间距是完全相等的且不随磁感应强度而改变的，这与磁性颗粒分布的实际情况存在较大的偏差。从模型计算结果来看，当磁感应强度较低时，现有模型存在高估了磁流变液剪切屈服应力的缺点。因此，本文对磁性颗粒均匀分布这一假设进行修正，以提高微观力学模型对磁流变液剪切屈服应力预测的准确性。本文假设相邻磁性颗粒的间距服从卡方分布，并在现有的磁流变液双链模型中引入分布系数来定量描述磁性颗粒的间距随磁感应强度的变化关系，得到了基于磁性颗粒卡方分布的修正微观力学模型。将本文提出的修正微观力学模型带入磁流变阻尼器的准静态模型计算得到的阻尼器最大出力，和磁流变阻尼器性能试验数据进行对比，验证了本文提出的磁流变液修正微观力学模型的有效性。

1 基于卡方分布的磁性颗粒不均匀分布假设

目前常用的磁流变液微观力学模型主要有前文概括的单链模型、双链模型和单-双链模型。单链模型、双链模型和单-双链模型的共同点是模型的推导都基于一个假设，即同一条磁链上的磁性颗粒间距相等，均匀分布。如图1 所示，磁性颗粒的间距d是一个固定值，即模型的建立是基于磁性颗粒均匀分布，且颗粒间距不随磁感应强度的改变而变化的假设。然而，真实情况是在磁场作用下，磁性颗粒并不是均匀分布的，而且随着磁感应强度的变化，磁性颗粒的间距也会随之改变。从现有模型计算值和磁流变液性能试验数据的对比来看[13-14]，当磁感应强度较低时，基于磁性颗粒均匀分布的力学模型都高估了磁流变液的剪切屈服应力。产生误差的原因在于，当磁感应强度较低时磁性颗粒的分布不均匀性很强，而磁性颗粒均匀分布的假设就会导致计算得到的磁流变液剪切屈服应力大大超出实际值。同时，随着磁感应强度的增强，磁性颗粒的间距会逐渐减小，而现有微观模型中的磁性颗粒间距d被假定为固定值，并不会随着磁感应强度而改变，从而进一步增大了模型计算值与实际值之间的误差。

图1 磁性颗粒均匀分布假设和不均匀分布假设Fig. 1 Even and uneven distribution hypotheses of magnetic particles

因此，很有必要对现有的基于磁性颗粒均匀分布假设的磁流变液微观力学模型进行修正，将磁性颗粒的不均匀分布考虑进去。根据对磁流变塑性体微观力学模型的研究[15]，在外加磁场作用下，磁性颗粒会呈现偏峰分布。基于磁性颗粒卡方分布假设的模型可以很好地描述磁流变弹性体的剪切屈服应力。本文借鉴这一假设，用卡方分布来描述磁流变液中磁性颗粒的不均匀分布，假设相邻磁性颗粒的间距服从χ2分布，对磁流变液双链微观力学模型进行修正。

引入随机变量m来表示磁性颗粒间距的不确定性，如式(1)和图1 所示，r0为相邻磁性颗粒的中心距，d为相邻磁性颗粒净距，t为包覆层厚度，r为颗粒半径。m是一个大于等于0 的随机变量。当其等于0 时，表示两个磁性颗粒互相接触。m越大，表示两个磁性颗粒的间距越远。假设m-χ2(n)，即相邻磁性颗粒的间距服从卡方分布。卡方分布中的n是随机变量m的期望值，如式(2)所示。分布参数n能反映相邻磁性颗粒间距的平均密集程度，n越小，磁流变液中的磁性颗粒越密集。同时，n是一个与外加磁感应强度有关的参数，磁感应强度增大，n减小，磁性颗粒分布越密集。本文通过引入分布参数n，考虑了磁性颗粒分布的不均匀性以及颗粒间距随磁感应强度的变化对磁流变液剪切屈服应力的影响，弥补了现有微观力学模型中磁性颗粒均匀分布假设的不足。

单链模型忽略了相邻磁链的影响，计算结果低于实际剪切屈服应力；而单-双链模型形式过于复杂，待定参数需要大量试验数据确定。因此本文以准确性和实用性较为平衡的双链微观模型为基础，研究考虑磁性颗粒不均匀分布的磁流变液微观力学模型。基于式(1)和式(2)的磁性颗粒卡方分布假设，结合磁流变液双链微观力学模型，推导考虑磁性颗粒不均匀分布的磁流变液微观力学模型。

将磁性颗粒看成磁偶极子，磁性颗粒i在外加磁场作用下的偶极距为：

2 考虑颗粒不均匀分布的磁流变液力学模型

2.1 模型推导

根据耦合场理论[14]，单条磁链中的单个磁性颗粒产生的磁偶极距包括外加磁场强度产生的偶极距和该磁链中其余颗粒磁化后产生的磁场强度导致的偶极距，如下式：

式中：m为磁链中单个磁性颗粒的磁偶极距(假设磁链中所有颗粒磁偶极距相等)；H0为磁链中颗粒受到的外加磁场强度； θ为磁链与外加磁场方向的夹角。

将本文提出的磁性颗粒卡方分布假设引入，即将式(1)代入式(5)，可以得到考虑磁性颗粒不均匀分布的单个磁性颗粒的磁偶极距：

得到单个磁性颗粒的总磁能后，对其进行求导得到双链结构的剪切屈服应力。再对单位面积内所有双链结构的剪切屈服应力求和，即可得到磁流变液的剪切屈服应力，如式(10)。具体推导过程与双链模型一致[13]，本文不再赘述。

w(n)是本文引入的分布函数，表示磁性颗粒不均匀分布对磁流变液剪切屈服应力的影响。在低磁感应强度下，磁性颗粒分布十分不均匀，颗粒间距服从卡方分布。随着磁感应强度的增大，磁性颗粒的分布逐渐均匀，相邻磁性颗粒的间距不断减小并趋于稳定。式(13)即是本文提出的磁流变液的修正双链微观力学模型，考虑了磁性颗粒的不均匀分布以及颗粒间距随磁感应强度的变化对剪切屈服应力的影响。该模型综合考虑了磁性颗粒不均匀分布、邻链影响、磁感应强度、磁性颗粒体积分数、磁性颗粒尺寸和包覆层厚度等微观结构参数对磁流变液剪切屈服应力的影响。

分布函数w(n)中颗粒间距随磁感应强度的变化是通过分布参数n来体现的，n表示磁性颗粒分布的密集程度。分布参数随磁感应强度的变化关系与磁流变液具体类型相关，需要磁流变液性能试验数据来进行拟合。本文研究对象为论文[13]中制备的混合包覆磁流变液，该磁流变液基本参数如表1。选取磁性颗粒体积分数为35%和40%下的剪切屈服应力数据进行计算，可以得到不同磁感应强度下的分布参数，列在表2。需要说明的是，体积分数为35%和40%情况下，分布参数几乎一致，说明在一定的体积分数范围内，体积分数对分布参数的影响可以忽略。因此本文主要研究磁感应强度对分布参数的影响。

表1 磁流变液基本参数Table 1 Basic parameters of MR fluid

表2 不同磁感应强度下的分布参数Table 2 Distribution parameters with different magnetic induction intensities

利用Origin 软件中的数据拟合工具，对表2的数据进行参数拟合，可以得到分布参数n随磁感应强度B的变化关系，拟合曲线如图2 所示。从图2 可以看出，分布参数随磁感应强度的增大而减小，并逐渐趋于稳定。分布参数n随磁感应强度B变化的公式可表达为：

图2 分布参数随磁感应强度变化关系的拟合曲线Fig. 2 Fitting curve for variation between distribution parameter and magnetic induction intensity

2.2 模型对比

图3 显示了磁流变液双链模型、考虑磁性颗粒不均匀分布的修正双链模型的理论计算结果和不同体积分数磁性颗粒下的剪切屈服应力试验数据的比较。试验数据采用混合包覆磁流变液剪切屈服应力测试数据[13]，将表1 中数据代入到本文提出的修正双链微观力学模型和原双链微观力学模型，可以得到相应的剪切屈服应力理论计算值。试验数据选取磁性颗粒体积分数为42%和44%工况下的磁流变液剪切屈服应力测试数据。

由图3 可以看出，当磁感应强度超过0.5 T时，双链模型和修正的双链模型都与试验数据吻合较好，两个微观力学模型的计算结果略低于试验数据。产生这种现象的原因是当磁感应强度过高时，磁流变液中的磁性颗粒会进一步聚集，形成三链状甚至更为复杂的柱状微观结构，这是双链微模型无法准确描述的。当磁感应强度小于0.5 T时，修正的双链模型与试验数据十分接近，而双链模型的结果则高估了磁流变液的实际剪切屈服应力。相比于原双链模型，改进的双链模型考虑到低磁感应强度下磁性颗粒分布的不均匀性以及颗粒间距随磁感应强度的变化，即在式(13)的修正双链模型中引入分布函数w(n)来表征磁性颗粒的卡方分布，并通过式(14)引入了磁性颗粒间距随磁感应强度的变化，从而降低了低磁感应强度下力学模型计算得到的磁流变液剪切屈服应力。试验数据之间的误差逐渐减小。当磁感应强度大于0.44 T 时，双链模型和修正双链模型计算结果与试验数据非常接近，误差均小于5%。而当磁感应强度小于0.44 T 时，双链模型计算结果与试验值有较大差距，在磁感应强度为0.11 T 和0.22 T时，误差分别达到61.43%和48.13%。误差产生原因是原双链模型假设磁性颗粒均匀分布，颗粒间距为固定值。但实际情况是在低磁感应强度下，磁性颗粒的分布十分的不均匀，均匀分布假设会大大高估低磁感应强度下磁流变液的剪切屈服应力。而修正的双链模型与试验数据吻合较好，在所有磁感应强度下的误差均小于15%。因此，通过引入分布参数，磁性颗粒的不均匀分布和颗粒间距随磁感应强度的变化被考虑到了双链微观力学模型中，改进的双链微观力学模型有效地解决了原双链模型高估了低磁感应强度区剪切屈服应力的问题。

表3 双链模型和修正双链模型理论计算值与试验值误差Table 3 Errors between test data and theoretical value calculated by two-column model and modified two-column model

2.3 参数分析

从式(13)的磁流变液修正双链微观力学模型中可以看到，影响磁流变液剪切屈服应力的主要因素有磁性颗粒半径、体积分数、包覆层厚度、磁感应强度和本文引入的分布参数。除了分布参数，其余因素对磁流变液剪切屈服应力的影响均被研究讨论过[13]，因此，本文着重考察分布参数对磁流变液剪切屈服应力的影响。选取磁性颗粒体积分数为42%，磁感应强度为0.66T，根据式(13)和式(14)的力学模型来计算不同分布参数下剪切屈服应力，如图4。从图4 可以看出，当分布参数较小时 (n≤3)，磁流变液的剪切屈服应力随着分布参数的增大而迅速降低。分布参数表征了磁性颗粒的分布密集程度，图4 的变化趋势表明磁性颗粒分布越密集，磁流变液的剪切屈服应力越大，这也符合式(13)的微观力学模型，剪切屈服应力随着颗粒间距的减小呈指数级增长。而当分布参数大于7 时，剪切屈服应力逐渐下降为0 并趋于稳定，这表明当磁性颗粒间距过大时，磁链逐渐分解，磁流变液的磁致效应基本上消失。因此，为了提高磁流变液的剪切屈服应力，需要尽可能地减小分布参数，即保证磁性颗粒的分布尽量密集。

图4 剪切屈服应力与分布参数的关系曲线Fig. 4 Relationship between yield shear stress and distribution parameter

3 模型试验验证

从第2 节对比可以发现，修正的磁流变液双链微观力学模型可以较为精确地描述不同磁感应强度下的剪切屈服应力。为了进一步验证考虑磁性颗粒不均匀分布的磁流变液修正微观力学模型的有效性和准确性，可以将根据修正磁流变液微观模型计算得到的剪切屈服应力带入到阻尼器的力学模型中，求得不同电流下磁流变阻尼器的最大出力理论值，并与阻尼器力学性能试验数据进行对比。

本文将磁流变液修正微观力学模型代入到经典的伪静力模型[16-17]中(式(15))，可以求得磁流变阻尼器的最大出力。由式(15)可见，磁流变阻尼器的阻尼力分为库伦力Fτ和粘滞力Fη两部分，库伦力Fτ与磁流变液的剪切屈服应力有关，粘滞力Fη与磁流变液的零场粘度有关[18]。

将磁流变液的参数和单线圈磁流变阻尼器的参数代入式(16)，可以得到磁流变阻尼器的最大出力。为了验证基于本文提出的磁流变液修正微观力学模型求得的阻尼器最大出力计算值的准确性，本文对课题组设计制作的单线圈磁流变阻尼器进行力学性能试验[19-20]，如图5，并对其力学性能试验数据进行对比分析。阻尼器内部灌注的磁流变液采用文献[13]中配制的混合包覆磁流变液，磁流变阻尼器的基本尺寸参数如表4。阻尼器最大出力的实际值可以从磁流变阻尼器的在不同电流下的力-位移滞回曲线中得到，如图6。相应的激励频率为0.1 Hz，位移幅值为5 mm。从图6中不同电流下的磁流变阻尼器最大出力可以看出，当电流在0 A 增加到1 A 时，阻尼器的最大出力增长迅速，而当电流大于1 A 时，阻尼器的最大出力增幅减缓，呈现出磁饱和的现象。因此，磁流变阻尼器的出力可调性更多地体现在低电流工况下，0 A～1 A 是实际应用中磁流变阻尼器常用的工作范围[21]。本文提出的磁流变液修正力学模型在低电流情况下精确度更高，具有实际工程意义。

图5 单线圈磁流变阻尼器力学性能试验Fig. 5 Performance tests of single-coil MR damper

表4 磁流变阻尼器基本尺寸参数Table 4 Basic dimension parameters of MR damper

图6 磁流变阻尼器力-位移滞回曲线Fig. 6 Force-displacement hysteretic curves of MR damper

图7 显示了由修正的双链微观力学模型计算得到的最大阻尼力理论值与由图6 得到的磁流变阻尼器性能测试结果的比较。如图7 所示，基于磁性颗粒卡方分布的修正双链微观力学模型计算得到的最大阻尼力与性能试验结果吻合良好。当激励电流为0 A、0.5 A、1.0 A、1.5 A、2.0 A 时，阻尼器力学性能试验测得的最大阻尼力分别为1.96 kN、3.90 kN、7.17 kN、8.62 kN、9.21 kN。修正的双链微观力学模型计算结果分别为2.05 kN、4.04 kN、7.05 kN、8.52 kN、8.93 kN，误差分别为4.59%、3.59%、3.35%、4.76%、3.04%，误差均控制在5%以内。而基于磁性颗粒均匀分布假设的双链微观力学模型计算得到的理论值分别为2.57 kN、4.28 kN、7.25 kN、8.82 kN、8.95 kN，误差分别为31.12%、9.74%、1.12%、0.58%、2.82%。从原双链模型计算结果的误差可以发现，在低电流情况下模型误差较大，随着电流的增大，误差逐渐恢复到可接受的范围内，这也与第2 节磁流变液剪切屈服应力的对比结果一致。比较修正双链模型和原模型的计算误差可以发现，相比于原双链模型，根据磁流变液的修正双链模型计算得到的阻尼器最大出力在低电流下(<1.0 A)更加符合试验数据，即可以更加准确地描述剪切屈服应力与磁感应强度之间的关系。将本文提出的磁流变液修正双链微观力学模型与磁流变阻尼器准静态模型相结合，可以准确估算磁流变阻尼器的最大出力，适合用于磁流变阻尼器的尺寸设计。

图7 磁流变阻尼器最大出力理论计算值和试验值对比Fig. 7 Comparison between theoretical and experimental results of maximum output of MR damper

另外，从图6 可以发现磁流变阻尼器存在明显的磁饱和特性，该单线圈磁流变阻尼器饱和电流约为1.5 A。而从图3 可以看出，磁流变阻尼器的磁饱和特性可归因于磁流变液的剪切屈服应力与磁感应强度之间的非线性关系。随着激励电流的增大，磁流变液的剪切屈服应力先增大后趋于稳定，最终导致磁流变阻尼器的出力呈现出明显的磁饱和现象。因此，利用本文提出的修正磁流变液微观力学模型来推导磁流变阻尼器的力学模型，可以将阻尼器的磁饱和特性考虑进去。

4 结论

本文用卡方分布来描述磁性颗粒在磁场作用下的不均匀分布，提出了修正的磁流变液双链微观力学模型，并通过磁流变阻尼器的力学性能试验验证了该模型的准确性，得到如下结论：

(1)在磁流变液双链微观力学模型中引入分布参数来表征磁性颗粒的分布密集程度及颗粒间距随磁感应强度的变化，弥补现有微观力学模型中磁性颗粒均匀分布假设的不足，提出了考虑磁性颗粒卡方分布的磁流变液微观力学模型。模型形式简单，可以反映磁性颗粒不均匀分布、邻链影响、磁饱和特性以及磁流变液多个微观结构参数对剪切屈服应力的影响。

(2)对比磁流变液性能试验数据可以发现，修正后的力学模型可以准确预测磁流变液在不同磁感应强度下的剪切屈服应力，特别是在低磁感应强度情况下可以改善现有微观力学模型放大了磁流变液剪切屈服应力的缺点。

(3)磁流变液的剪切屈服应力会随着分布参数的增大而减小。当分布参数较小时，剪切屈服应力随着分布参数的增大而迅速降低。而当分布参数大于7 时，磁流变液的剪切屈服应力逐渐下降为0 并趋于稳定，表明此时磁性颗粒间距过大，磁链逐渐分解，磁致效应基本上消失。

(4)将本文提出的磁流变液修正微观力学模型代入阻尼器准静态模型中，可以计算阻尼器的最大出力。对比不同电流下的最大出力理论计算值和单线圈磁流变阻尼器性能试验数据，进一步验证了该磁流变液修正模型的有效性和准确性。该方法可以准确估算磁流变阻尼器的最大出力，适合用于磁流变阻尼器的尺寸设计。