频相失配下跳频保密通信性能分析与功率优化

宋长庆，赵宏志，秦俪之，邵士海

（1.电子科技大学通信抗干扰技术国家级重点实验室，四川 成都 611731；2.电磁空间认知与智能控制技术实验室，北京 100089）

0 引言

随着通信网络的不断升级，人-人通信、人-机交互、万物互联高速发展[1]，促使无线连接数量迅猛增长[2]。然而，大量的瞬时连接会造成频谱资源的拥堵与混乱，非预期的带外串扰与带内干扰极大降低了通信服务质量[3]。与此同时，通信用户对保密性能的关注度不断提升[4]，但无线信道的开放性使大量保密信息存在被非法窃听的风险[5]。人工噪声掩护的跳频保密架构中[6]，收发信机间利用跳频技术躲避电磁干扰，并采用人工噪声构造与抑制技术阻塞非法窃听，有效提升了通信系统的保密性能。

理想情况下，保密架构中人工噪声可以在合法接收机处被完美抑制。然而收发信机在宽带范围内持续、快速跳变载波频率会引起严重的收发频率、相位失配问题，导致系统的人工噪声抑制能力下降。一方面，载波频率的快速跳变[7]和多普勒效应[8]会导致收发载波频率难以精准对齐，收发信机间不可避免地存在频率偏移[9]，这会在人工噪声抑制步骤中引起频率间干扰，进而降低接收机处人工噪声的抑制效果[10]。另一方面，收发频率振荡器处热噪声会在载波信号中引入相位噪声[11]，导致信号频谱展宽并引入载波间干扰，进而降低系统的人工噪声抑制与保密性能[12]。针对频相失配问题，文献[13]提出具有频率偏移稳健性的发射功率优化方案；文献[14]提出具有相位噪声稳健性的锁相环频率振荡器优化方案；文献[15]根据相位噪声水平，从系统设计角度宏观协调收发信机参数，进而降低由相位噪声引起的性能损失。然而上述研究仅适用于定频通信系统，且仅针对单一频相失配因素进行系统优化，所得结论并不适用于载频快速跳变的跳频通信系统。即在频相失配问题严重的跳频系统中，接收机处人工噪声抑制能力与系统保密性能无法得到有效保证。

鉴于此，本文对频相失配下跳频收发信号进行数学建模，利用信噪比指标衡量接收机处人工噪声抑制能力，并利用保密容量指标衡量跳频系统的保密性能。在此基础上，给出了具有频相误差稳健性的发射功率分配方案，并根据不同的频相匹配度与传播信道质量对所提方案进行了简化与拓展，有效降低了由频相失配引起的系统性能损失。

1 通信系统模型

本文采用的跳频保密系统模型与无线通信环境如图1 所示。由于无线信道的开放性，收发信机正常通信时一方面容易遭受电磁干扰的侵袭，导致接收信号质量下降、数字基带接收信号处理性能降低；另一方面，随着窃听设备的硬件升级与信号处理能力的大幅提升，保密信号更容易遭受非法捕获，增大了保密通信信息被非法窃听的风险。面对日益恶劣的电磁通信环境，本文中收发信机间采用跳频技术躲避恶意干扰[16]，并采用人工噪声构造与抑制技术阻塞非法窃听[17]。

图1 跳频保密系统模型与无线通信环境

1.1 跳频发射机

在跳频发射机处，保密信号与人工噪声的和信号依次经过脉冲成形、数模变换、跳频调制、带通滤波后发送，其中脉冲成形步骤采用了根升余弦滚降滤波器。保密信号和人工噪声分别记为x(t) 和z(t)，两者相互独立。跳频发射信号可以表示为

其中，ψ(t) 为根升余弦滚降滤波器的冲激响应[18]；fi为第i跳发射信号的中心频率，i为非负整数；为发射机处的相位噪声[19]；T=NTs为每跳信号的周期，N为每跳包含的符号数，Ts为每个符号的有效时间；x[p]和z[p]分别为保密信号x(t) 和人工噪声z(t)的第p个符号，p为非负整数；M(t)为每跳有效时间的矩形窗函数，当t∈(0,T]时取值为1，否则为0。

1.2 合法接收机

假设合法收发信机间的传播信道为平坦慢衰落信道[17]，合法接收机处射频接收信号为

首先，合法接收机依次对接收信号执行跳频同步、低通滤波、模数变换、匹配滤波操作，将跳频接收信号解跳到基带实现跳频同步。所得数字基带接收信号可以表示为

其中，rx[n]、rz[n]与wr[n]分别为保密信号成分、人工噪声成分和高斯白噪声成分。

接着，合法接收机执行人工噪声重构与抑制步骤[17]。记合法接收机重构的人工噪声序列为从r[n]中减去即可完成人工噪声抑制，所得信号 Δr[n]满足

1.3 窃听机

假设发射机与窃听机间的传播信道为平坦慢衰落信道[17]，窃听机处射频接收信号为

在强窃听场景下[20]，窃听机可以完美执行跳频同步、模数变换、匹配滤波步骤。与式(3)相似，窃听机处数字基带接收信号可以表示为

由式(8)可以发现，窃听机将接收跳频信号解跳后，所得数字基带信号仍包含人工噪声成分。由于缺乏人工噪声先验信息，窃听机无法执行人工噪声重构与抑制步骤，使e[n] 的信噪比远低于解调门限，因此无法完成保密信号的有效窃取。

2 频相失配下跳频系统性能分析

理想情况下，合法接收机可以完美抑制接收信号中的人工噪声成分。然而跳频收发频率振荡器处存在频相失配问题，会引起显著的人工噪声抑制性能下降与系统保密性能损失，本节将给出具体的性能分析。

2.1 人工噪声抑制性能

在人工噪声抑制前，合法接收机先估计接收信号的传播信道信息。记归一化传播时延、归一化频率偏移、等效信道增益的估计值分别为为了分离出频相失配对人工噪声抑制性能的影响，假设合法接收机处的传播时延被完美估计，即此外表示收发频率振荡器间的归一化载波频率偏移，频偏估计值每跳更新一次，即更新周期为N个符号。

完成信道参数估计后，合法接收机对本地预存的人工噪声序列z[n] 进行时间对齐、频率偏移补偿、脉冲成形，其中脉冲成形采用冲激响应为Ψ[n]的升余弦滚降滤波器。记补偿后得到的序列为表达式为

经过人工噪声抑制后，记残余人工噪声为Δrz[n]，其频域表达式ΔRz[k]满足

接下来，计算接收信号中各成分的功率。记发射机功率预算为P=Px+Pz，其中，Px和Pz分别表示保密信号和人工噪声的发射功率。记 P {·}表示求取{·} 的功率，则ΔRz[k]的功率为

命题1在图1 所示的跳频保密系统模型中，相位噪声水平对人工噪声抑制性能的影响程度可以用衡量[21]，λ取值越大，相位噪声的负面影响越小。此外，λ与信道估计周期N和3 dB相干带宽有关，并有如下特征。

1)λ关于N的一阶偏导恒小于零，表明λ随N的减小而增大。特别地，本文有如下结论。①当N趋于1 时，λ满足此时接收机可以完美消除相位噪声的影响。

② 当N趋于无穷大时，λ满足，表明如果不及时更新信道估计值，由相位噪声引起的人工噪声抑制性能恶化将不断加剧。

2)λ关于的一阶偏导恒小于零，表明λ随的减小而增大。特别地，本文有如下结论。

记合法接收机处信噪比为SANNRr，其中噪声包括热噪声和人工噪声成分。由式(16)～式(17)可知，当存在频相失配时，合法接收机处SANNRr的表达式为

命题2在图1 所示的跳频保密系统模型中，合法接收机处人工噪声抑制效果可以用SANNRr指标来衡量[17]，其表达式如式(18)所示。可以发现，SANNRr与频率偏移、相位噪声水平、信道估计周期N、发射机与合法接收机间的主信道质量有关，并有如下特征。

1) 随着归一化频率偏移ΔFr的增大，SANNRr整体呈下降趋势。特别地，本文有如下结论。

①当ΔFr趋于0 时，SANNRr满足

式(19)表征了合法接收机实现完美频率同步时的人工噪声抑制性能，此时，SANNRr与主信道质量、功率分配因子、信道估计周期、3 dB 相干带宽有关。

② 随着ΔFr的不断增大，当时，SANNRr满足

此时，SANNRr仅与主信道质量、功率分配因子α、信道估计周期有关，相位噪声对人工噪声抑制性能的影响可以被忽略。

2) SANNRr随着相位噪声水平的抬升而减小。特别地，本文有如下结论。

式(21)表征了合法接收机处不存在相位噪声时的人工噪声抑制性能，此时，SANNRr与主信道质量、功率分配因子、信道估计周期、频率偏移有关。

此时，SANNRr仅与主信道质量、功率分配因子有关，频率偏移对人工噪声抑制性能的影响可以被忽略。

3) 随着信道估计周期N的增大，SANNRr整体呈下降趋势。特别地，本文有如下结论。

①当N趋于1 时，SANNRr满足

此时，SANNRr与主信道质量、功率分配因子、频率偏移有关，与相位噪声无关。

② 当N不断增大且NΔFr≫ 1时，SANNRr满足式(20)。此时，SANNRr仅与主信道质量、功率分配因子有关，频率偏移与相位噪声对抑制性能的影响可以被忽略。

此时，SANNRr与功率分配因子、频率偏移、相位噪声水平、信道估计周期有关。

2.2 保密容量性能

系统保密性能常用保密容量来评估[17]。记窃听机处信噪比为SANNRe，表达式为

接着，由式(18)与式(25)可得命题3 中的结论。

命题3在图1 所示的跳频保密系统模型中，系统保密性能可以由保密容量指标来衡量。在频相失配情形下，记跳频系统的保密容量为Cs，表达式为

其中，[ ·]+=max { 0,·} 。由式(26)可得如下结论。

此时，系统保密容量仅与主信道与窃听信道的质量、功率分配因子有关。

此时，系统保密容量仅与主信道与窃听信道的质量、功率分配因子有关。

此时，系统保密容量与主信道与窃听信道质量、功率分配因子、信道估计周期、频率偏移有关。

此时，系统保密容量与主信道与窃听信道的质量、功率分配因子、信道估计周期、收发频率振荡器处3 dB 相干带宽有关。

3 频相失配稳健的功率分配及拓展

3.1 频相失配稳健的功率分配方案

由上述分析可知，频相失配会在合法接收机处引起人工噪声抑制与保密性能损失，且损失程度与人工噪声和保密信号的功率比有关。鉴于此，本节将研究具有频相失配稳健的发射功率分配方案，在频相失配情形下最大化系统保密容量。

命题4在图1 所示的跳频保密系统模型中，具有频相失配稳健性的发射功率分配方案为

其中，α*=0 表示发射机只发送保密信号而不发送人工噪声；*α=ϕ表示发射机停止发送任何信号，因为此时系统的保密容量恒为零。α1的表达式为

④ 随着信道估计周期N的增大，a呈增大趋势。当N取值趋于 1 时，a趋于时，

⑤a与主信道质量呈正相关，随着主信道质量的改善而不断增大。

在实际应用中，不同的通信系统具有不同的频相匹配度和传播信道质量。鉴于此，接下来将针对不同场景对式(32)中的分配方案进行简化与拓展。

3.2 不同频相匹配度下的拓展方案

3.2.1 频相完美匹配

值得注意的是，当在功率优化过程中忽略频相失配时，所得方案的表达式也为式(34)。但当存在频相失配时，式(34)中的方案将不再适用，即该方案对频相失配不具有稳健性。

3.2.2 频相匹配度良好

在实际通信中，跳频系统总存在频率偏移与相位噪声，很难实现频相完美匹配。但是，部分接收机可以具有良好的频率同步能力与较低的相位噪声水平，使整体的频相匹配度良好，即满足此时频率偏移与相位噪声满足，功率分配方案可以被简化为

3.2.3 频相匹配度较差

由式(36)可知，当系统的频相匹配度和传播信道质量均较差时，发射机最好同时停止发送任何信号，以防止保密信息被窃取。当系统频相匹配度较差但传播信道质量较好时，发射机应停止发送人工噪声，只需发送保密信息，此时仅通过相对信道质量优势就可以保证保密容量恒为正。

3.3 不同传播信道质量下的拓展方案

3.3.1 主信道质量优于窃听信道质量

当发射机与合法接收机间的主信道质量优于发射机与窃听机间的窃听信道质量，即时，可以得到b≥c，此时功率分配方案可以被简化为

对于α*=0 情形，可以发现0,b＞c。这表明当相对信道质量较好时，即使没有传输人工噪声，本文方案也可以保证系统保密容量恒为正。

3.3.2 主信道质量劣于窃听信道质量

当发射机与合法接收机间的主信道质量优于发射机与窃听机间的窃听信道质量，即时，功率分配方案可以被简化为

命题 5综合考虑式(37)与式(38)，当a+bc＞ac+c且a+bc≈ac+c时，可以发现最优功率分配因子α*满足

4 数值仿真

4.1 仿真条件

本节利用MATLAB 软件进行仿真验证，实验参数设置如表1 所示。其中，主信道质量范围大于常规跳频通信系统，目的在于清晰展示传统信道范围内特性的同时，可以囊括全双工系统自干扰信道[21]、协作通信系统协作干扰信道等[22]，使所得结果具有更广泛的参考价值。此外，每跳符号数在保证清晰展示跳频系统常用范围的同时，通过设置每跳最大符号数远大于1，使仿真分析结论广泛适用于定频、跳频系统。为了更清晰地呈现仿真结果而不失一般性，下述仿真中假设合法接收机和窃听机处的频率偏移与相位噪声水平相同，即

表1 实验参数设置

4.2 人工噪声抑制性能仿真

图2通过对频相失配下接收信号的信噪比特性进行仿真，衡量了合法接收机处人工噪声抑制性能。4个子图中，发射功率分配因子均为1，即人工噪声与保密信号等功率发射。首先，图2(a)针对接收信噪比SANNRr与频率偏移 ΔF的关系进行了仿真。随着频率偏移的增大，SANNRr呈下降趋势，表明频率偏移会降低合法接收机处人工噪声抑制性能。当频率偏移取值趋于零时，SANNRr逐渐收敛至式(19)中的理论值；随着频率偏移的增大，当NΔF≫ 1时，SANNRr逐渐收敛至式(20)中的理论值，验证了理论分析的正确性。接着，通过对比曲线①②③可以发现，改善主信道质量有助于弱化频率偏移对人工噪声抑制性能的负面影响；通过对比曲线④⑤⑥可以发现，相位噪声水平的抬升会加剧频率偏移的负面影响；通过对比曲线③④可以发现，缩短信道估计周期可以显著减弱由频率偏移引起的SANNRr损失。

图2(b)展示了SANNRr随收发频率振荡器处3 dB相干带宽B3dB的变化趋势，进而衡量相位噪声水平对人工噪声抑制性能的影响程度。从图2(b)中可以发现，SANNRr随着B3dB的增大而不断减小，表明收发频率振荡器处的相位噪声会降低合法接收机处人工噪声抑制性能。当B3dB趋于零时，SANNRr逐渐收敛至式(21)中的理论值；随着相位噪声水平的不断抬升，当B3dB取值趋于1 时，SANNRr逐渐收敛至式(22)中的理论值，验证了理论分析的正确性。接着，通过对比曲线④⑤⑥可以发现，频率偏移的增大会加剧相位噪声的负面影响，验证了图2(a)中的结论；通过对比曲线①②③可以发现，改善主信道质量可以有效缓解相位噪声对SANNRr性能的负面影响；通过对比曲线③④可以发现，缩短信道估计周期可以显著减弱由相位噪声引起的SANNRr损失。

图2 合法接收机人工噪声抑制性能分析

图2(c)展示了SANNRr与信道估计周期N的关系。从图2(c)中可以发现，SANNRr随着N的减小而不断增大，表明缩短信道估计周期可以有效地提升合法接收机处的人工噪声抑制性能。当N取值趋于1 时，SANNRr逐渐收敛至式(23)中的理论值。随着信道估计周期的不断增大，当NΔF≫ 1时，SANNRr逐渐收敛至式(20)中的理论值。接着，通过对比曲线①②③可以发现，改善主信道质量可以提升由缩短N获得的SANNRr性能增益；通过对比曲线④⑤⑥可以发现，相位噪声水平的抬升会降低由缩短N获得的SANNRr性能增益，验证了图2(b)中的结论；通过对比曲线③④可以发现，提升合法接收机处频率同步性能可以显著减弱相位噪声的负面影响，验证了图2(a)与图2(b)的结论。

图2(d)展示了SANNRr与主信道质量的关系。从图2(d)中可以发现，SANNRr随着主信道质量的改善而不断增大，表明提升主信道质量有利于增强合法接收机处的人工噪声抑制性能。随着主信道质量的不断增大，当α+1时，SANNRr趋于式(24)中的理论值。通过对比曲线①②③可以发现，相位噪声水平的抬升会显著降低通过提升获得的SANNRr增益；类似地，通过对比曲线④⑤⑥可以发现，缩短信道估计周期可以有效地提升通过改善主信道质量获得的SANNRr增益；通过对比曲线③④可以发现，提升合法接收机处的频率同步能力可以显著减弱相位噪声的负面影响，验证了图2(a)～图2(c)中的结论。

4.3 最优功率分配因子特性仿真

图3 对最优功率分配因子α*的特性进行了仿真，进而分析频相失配下人工噪声与保密信号的发射功率分配方案。首先，图3(a)针对α*与频率偏移的关系进行了仿真。从图3(a)中可以发现，随着 ΔF的增加α*整体呈下降趋势，表明随着频率偏移的增大，应逐步降低人工噪声与保密信号的发射功率比，以缓解因频率偏移引起的保密性能损失。当频率偏移取值趋于零时，α*逐渐收敛至常数。随着频率偏移的增大，当且趋于0+时，α*收敛至+∞；在其他仿真条件下，α*逐渐收敛至0，验证了式(39)的结论。通过对比曲线①②③可以发现，α*应随着主信道与窃听信道间的相对信道质量的改善而不断减小，以弱化频率偏移对人工噪声抑制性能的负面影响；通过对比曲线④⑤⑥可以发现，α*应随着相位噪声的恶化而不断减小；通过对比曲线③④可以发现，α*随着信道估计周期的增大而减小，以提升系统对频率偏移的稳健性。

图3(b)展示了α*随收发频率振荡器的3 dB 相干带宽B3dB的变化趋势，进而衡量相位噪声水平对α*的影响程度。从图3(b)中可以发现，随着B3dB的增大，α*整体呈下降趋势，表明α*随着相位噪声水平的抬升而不断减小；当B3dB趋于零时，α*逐渐收敛至常数值。通过对比曲线①②③可以发现，人工噪声与保密信号的发射功率比应随着主信道质量的改善而不断降低；通过对比曲线③④可以发现，缩短信道估计周期会增大最优功率分配因子的取值；通过对比曲线④⑤⑥可以发现，α*随着频率同步性能的恶化而不断减小，验证了图3(a)中的结论。

图3(c)展示了α*与信道估计周期N的关系。从图3(c)中可以发现，随着N的增加，α*整体呈下降趋势，表明随着信道估计周期的增大，应逐步降低人工噪声与保密信号的发射功率比，以减弱由频相失配引起的系统性能下降。随着信道估计周期的增大，当且趋于0+时，曲线①中α*收敛至+∞，验证了式(39)的结论；在其他仿真条件下，α*逐渐收敛至0。接着，从曲线①②③可以发现，α*随着相对信道质量的改善而不断减小；从曲线④⑤⑥可以发现，相位噪声水平的抬升会减小α*的取值，验证了图3(a)与图3(b)中的结论；从曲线③④可以发现，对于特定的信道估计周期，α*随着频率同步性能的恶化而不断减小。

图3(d)展示了α*与主信道质量的关系。从图3(d)中可以发现，α*随着的改善而不断减小。通过对比曲线①②③可以发现，α*的取值随着窃听信道质量的提升而增大，表明强窃听场景中应增大人工噪声功率以阻塞非法窃听；通过对比曲线④⑤可以发现，缩短信道估计周期会增大α*的取值，进而增加人工噪声的发射功率消耗；通过对比曲线⑤⑥可以发现，α*随着频率偏移的增大而减小；通过对比曲线⑥⑦⑧可以发现，α*随着相噪水平的抬升而不断减小，验证了图3(a)～图3(c)中的结论。

4.4 所提方案保密性能仿真

图4 频相失配下系统保密容量性能

5 结束语

本文对人工噪声掩护的跳频保密系统中频相失配问题进行了数学建模，采用信噪比指标衡量了频相失配下系统的人工噪声抑制性能，并采用保密容量指标衡量了系统的保密性能。在此基础上，提出了具有频相失配稳健性的发射功率分配方案，并根据不同的频相匹配度与传播信道质量对其进行了简化与拓展。研究发现，频相失配问题会显著降低接收机处人工噪声抑制能力与系统保密性能。随着频相失配问题的恶化，应逐步降低人工噪声与保密信号的发射功率比例以缓解由频相失配引入的系统性能损失。此外，通过缩短信道估计周期或者抬升合法收发信机间的主信道质量，可以有效扩大通过功率优化带来的保密容量增益。本文研究可以为复杂电磁环境下的保密通信、跳频系统设计与部署提供理论支撑。后续研究中，一方面可以综合考虑其他非理想因素的影响，另一方面可以通过优化人工噪声抑制流程进一步提升系统性能。

附录1 命题4 中功率分配方案证明

本节将给出式(32)中的最优功率分配方案的证明。式(26)中Cs关于α的一阶导数为

情形3 最后考虑A＜ 0情形，此时a+bc＞ac+c。当b＜c时，式(31)的可行域为α∈[α0,+∞)；当b≥c时，可行域为α∈ [0,+∞)。

当Aα2+Bα+C=0关于变量α有解时，将解记为α1和α2，且α1与α2可以分别表示为式(33)和式(43)。

整合上述 3 种情形，可得α*=ϕ的条件为a+bc≤ac+c且b＜c；并且，α*在2 种情形下取值为零，第一种是a+bc≤ac+c且b≥c，第二种 是a+bc＞ac+c,b≥c且c(a+bc)≤b(ac+c)，这2 种情形可以整合为a+bc≤ab+b且b≥c；此外，α*在2 种情形下取值为α1，第一种是a+bc＞ac+c且b＜c，第二种是a+bc＞ac+c,b≥c且c(a+bc) ＞b(ac+c)，这2 种情形可以整合为ac+c＜a+bc且ab+b＜a+bc。经过上述整合，即可得到式(32)中的结论。

证毕。

附录2 命题5 推导证明

式 (39) 的成立 条件为a+bc＞ac+c，且a+bc≈ac+c。首先分析α*的取值特征如下。

①若b＞c，此时主信道质量优于窃听信道质量，且a+bc≈ac+c＜ab+b。由式(37)可知，此时α*=0。

②若b=c，此时主信道质量与窃听信道质量相当，且a+bc＞ac+c=ab+b。由式(37)可知，此时α*=α1。

③若b＜c，此时主信道质量劣于窃听信道质量。由式(38)可知，a+bc＞ac+c时α*=α1。至此，可得

接着，对α1的特征展开分析。令a+bc=ac+c+Δ，其中Δ＞ 0且Δ≈ 0，可以得到

综合式(44)与式(48)，可得式(39)中的结论。

证毕。