弹性纵波在压电-压电半导体周期杆中的传播

李德志， 张春利,2

(1.浙江大学 工程力学系,浙江 杭州 310027； 2.浙江省软体机器人与智能器件研究重点实验室，浙江 杭州 310027)

压电半导体是一种兼具压电和半导体双重物理属性的材料，由于在外载下这2种属性的耦合作用，使其拥有了更多的功能属性以及更好的器件性能，在一定程度上超越了传统压电介质和非压电半导体材料。压电半导体结构具有变形-极化-载流子多场耦合特性，在未来新型半导体器件上应用的关键物理机制为：通过压电效应产生的压电势显著改变半导体的能带结构、载流子的输运、分离与复合等属性。王中林[1]首次把压电势调控载流子输运、产生和复合过程的现象称之为压电电子学和压电光电子学效应。利用单一的压电半导体材料，就可实现传感、驱动、电子传输及光电子激发与吸收等一体化功能，这正满足未来器件小型化、智能化、集成化及多样化的发展需求。因此，压电半导体作为新一代功能电子/光电子器件[2-3]，在高性能传感器[4]、柔性可穿戴电子器件[5]、光电探测器[6]、太阳能电池[7]等领域具有广泛的应用前景。

同传统半导体超晶格类似，压电半导体周期结构是由不同压电半导体材料周期排列组成的，其薄层厚度小于电子的平均自由程。特别是可以通过改变元胞的材料和几何参数来调制其宏观的物理属性。开展压电半导体周期结构中的弹性波动特性研究，对其半导体器件的创新研发和应用具有至关重要作用。目前，学者们对弹性波在压电半导体材料中的传播问题，已开展了有益的研究。例如，Hutson等[8]研究了弹性波在压电半导体中传播产生的声电效应；Yang等[9]研究了压电-半导体复合板内的声波放大问题；Zhang等[10]考虑了电学非线性研究了弹性波在ZnO半导体杆中传播特性；Jiao等[11-12]研究了压电半导体无限大空间中弹性波的传播问题；Tian等[13]研究了层状压电半导体结构中的SH波特性；Liang和Hu[14]研究了压电半导体杆中声波和载流子传导频率的耦合对弹性波动的影响；Li等[15]研究了太赫兹弹性波在压电半导体杆中的传播问题。然而，目前对弹性波在压电半导体周期结构中传播问题研究还很匮乏。Guo和Wei[16]针对无限大压电半导体层和压电介质层构成周期结构、考虑弱界面情况研究了弹性波在此周期结构中的波动特性及弱界面对色散曲线的影响。需要说明的是，弹性波在弹性和压电介质周期结构中的传播问题已有相当多的研究[17-18]。

本文针对由压电和n型压电半导体组成的一维无限长周期杆，研究弹性纵波在该周期结构中的传播特性。基于压电半导体三维基本方程，利用哈密尔顿(Hamilton)变分原理，首先得到Love型的压电半导体杆的基本方程；通过引入状态向量，建立压电半导体和压电杆的状态方程，给出状态向量(轴向位移、电势、轴向应力和轴向电位移)在元胞两侧处的传递关系，并利用布洛赫(Bloch)定理，导出压电-压电半导体周期结构的色散方程。在此基础上，数值研究初始载流子、元胞内压电半导体长度比和杆半径对带隙结构的影响。

1 压电半导体三维基本方程

压电半导体的控制方程包括：运动平衡方程、准静态电学高斯方程和电荷连续性方程[19]：

(1)

应力、电位移和电流密度的本构方程为：

(2)

(3)

(4)

将式(3)代入式(1)2,3,4，可得：

(5)

应变-位移与电场-电势(φ)的梯度关系为：

(6)

注意：对于压电介质材料，在上面略去与载流子有关的项即可退化到压电材料的基本方程。

2 弹性波在一维压电/压电半导体周期杆中的传播

考虑如图1所示的压电/压电半导体周期杆，其元胞由长度为d1的压电材料和长度为d2的n型均匀掺杂压电半导体构成(界面处为完美连接情况)，杆的横截面半径为R。压电半导体的初始载流子浓度为n0。压电和压电半导体极化方向均沿x3方向。当弹性纵波在图1所示的无限长周期结构中传播时，变形、极化和载流子的耦合使得其传播行为不同于由纯压电介质材料和弹性材料构成的周期结构。与经典杆理论相比，Love杆理论考虑了由泊松效应引起的横向位移的动能。Love杆理论不仅对横向位移动能影响较大问题的计算有很好的精度，而且还能处理经典弹性杆不能处理的问题。例如，Davies和Taylor[20]采用Love杆理论准确解释了弹性杆中的色散行为。因此，采用Love杆理论[21]研究弹性纵波在图1所示压电-压电半导体周期杆中的传播。

图1 压电-压电半导体周期杆Fig.1 A periodical piezoelectric-piezosemiconductor rod

首先采用哈密尔顿(Hamilton)变分原理推导Love型压电和压电半导体杆的基本方程。由于压电材料和压电半导体材料唯一的区别就是压电半导体材料多了载流子项。为了方便起见，下面仅给出针对压电半导体材料的哈密顿变分原理。设某压电半导体结构占据空间体积为V，边界为Γ，其吉布斯自由能密度函数UG的变分为：

δUG=TijδSij+Diδφ,i+Jiδn,i

(7)

该压电半导体结构的动能密度为：

(8)

压电半导体中的拉格朗日函数为：

(9)

外力做的虚功为：

(10)

式中ti、QΓ和JΓ分别表示在边界上作用的机械力、表面电荷和电流密度。根据哈密顿原理，有：

(11)

将式(7)～(10)代入式(11)，经过数学处理即可得到压电半导体结构的控制方程。对于压电结构来说，只需在上述推导过程中删去载流子项即可得到相应的控制方程。

2.1 Love杆理论的基本方程

设杆的轴向位移表示为u3，由泊松效应带来的横向位移为ut=-vu3，v为泊松比。杆中非零的应力T3和电位移D3为：

(12)

(13)

n型压电半导体杆中的电流密度为：

(14)

对于没有表面外力、表面电荷和表面电流的压电半导体杆，把应力、电位移和电流密度代入式(11)，可得到压电半导体杆的运动平衡方程、准静态高斯方程和电荷连续性方程，它们是：

(15)

对于压电材料来说，其控制方程仅包括运动平衡方程(与式(15)1一样)和准静态高斯方程，

D3,3=0

(16)

2.2 色散方程

采用状态空间法推导压电半导体周期杆的色散方程。如图1所示，以一个元胞为研究对象，选取局部坐标系ox′3，压电材料左侧界面为局部坐标的原点。

对于弹性纵波，可设压电半导体杆内的位移、电势和增量载流子浓度为：

(17)

(18)

W1·V,3=W2·V

(19)

式(19)为压电半导体的状态方程，其中：

(20)

式(19)有：

V(x′3)=TM(x′3-d1)V(d1)

(21)

式中TM为传递矩阵，表示在x′3和x′3=d1处状态向量的传递关系，即：

(22)

对于压电材料，选取状态向量为V′=[u′3φT′3D′3]T。采用与压电半导体杆的相同的处理方法，由式(12)、式(16)和式(18)1,可得到压电杆的传递矩阵TPE:

(23)

其中：

(24)

式中右上标“′”表示压电材料的材料常数。

(25)

(26)

对于弹性波在轴向周期性压电半导体杆中的传播，利用Bloch理论可得到：

(27)

式中K为Bloch波矢。联立式(23)、(27)得：

|T0-exp[iK(d1+d2)]I|=0

(28)

式中I为4×4的单位矩阵。式(28)是弹性纵波在如图1所示的周期结构中传播的色散方程。

3 数值算例

首先，计算初始电子浓度n0为n01=1017m-3，n02=1019m-3和n03=1021m-33种情况下的色散关系，计算结果如图2所示。由图2可知，随着初始电子浓度的增大，带隙结构逐渐下移，这是由于载流子对压电极化电荷的屏蔽降低了压电刚化效应造成的。

其次，研究在初始载流子浓度(n0=1019m-3)、杆半径(r=10 nm)和元胞长度(d1+d2=1 000 nm)固定的情况下，压电半导体杆长度比γ=d2/(d1+d2)分别为0.45，0.5和0.55这3种情况下的带隙情况，如图3所示。从图3可以看到，对于固定长度的元胞，改变压电半导体相长度比可有效调控带隙结构。随着γ的增加，其带隙结构会下移。这是由于随着压电半导体长度变大，元胞内载流子数量增多，其屏蔽效应也相应增强，使得压电刚化效应降低；因而元胞的等效刚度逐渐减小，最终导致带隙的下移。

图2 初始电子浓度对带隙结构的影响Fig.2 Effect of the initial electron concentration on band structure

最后，考察杆半径的改变对带隙结构的影响。设元胞每相材料的长度(d1=d2=500 nm)和半导体相内的初始载流子浓度(n0=1019m-3)保持不变，分别取杆半径为r1=10 nm，r2=50 nm和r3=90 nm 3种情况，计算得到其带隙结构如图4所示。

图4 杆半径对带隙结构的影响Fig.4 Effect of rod′s radius on band structure

从图4可以看到，随着杆半径的增加，当不考虑Love杆理论时，带隙不会发生变化。反之，当考虑Love杆理论时，固定激励频率，随着杆半径的增加，横向变形所吸收的动能将随之增加，会导致在该激励频率下的波速下降，使得带隙会随之下移。特别是在高频带隙区域，其下移量较大。

4 结论

1)在三维基本方程基础上，导出了Love型压电半导体杆的基本方程。针对由压电和n型压电半导体构成的周期杆，分别建立了压电和压电半导体杆的状态方程。利用元胞界面连续性条件得到状态向量(轴向位移、电势、轴向应力和轴向电位移)在元胞两侧界面的传递关系；进一步，基于Bloch定理，得到了压电半导体周期杆色散方程的解析公式。

2)压电半导体相的初始载流子浓度和长度比的增加都导致带隙结构的下移，这主要是由于载流子的屏蔽作用降低了压电刚化效应、使结构的等效刚度减小的缘故。

3)周期结构杆半径的增大也会导致带隙下移。这是因为考虑了Love杆理论，随着杆半径的增加，横向变形所吸收的动能将随之增加，会导致在该激励频率下的波速下降，使得带隙随之下移。

以上结果可为基于压电半导体周期结构的器件设计提供一定的理论指导。在对压电半导体周期结构进行后续的研究时，需将压电半导体界面间所产生的不同特殊边界条件加以考虑。