基于加权子空间投影的改进空间平滑DOA 估计算法

马 腾，杜 江

（1.成都信息工程大学通信工程学院，四川成都 610225；2.气象信息与信号处理四川省高校重点实验室，四川 成都 610225）

波达方向估计（DOA 估计）在雷达及通信等领域有着广泛的应用且是阵列信号处理的重要研究分支及组成部分[1-2]。由于传播环境的复杂性以及多径效应衰落等，入射到阵列上的信号普遍存在强相关或相干的情况。传统的高分辨算法MUSIC、ESPRIT 等都是基于非相干信号提出的，而相干信号可使阵列输出协方差秩亏损为欠秩矩阵，则传统算法不能直接用来对DOA 进行估计。

针对这种情况，经典的空间平滑技术作为一种解相干预处理技术[3]，近年来被不断改进且被用于不同领域。文献[4-5]提出了不同的对阵列输出协方差进行二次平滑加权的算法，都是为了弥补传统的空间平滑技术没有对阵列输出协方差的自相关和互相关信息充分利用而进行改进。文献[6]把传统空间平滑技术引入到特征空间MUSIC，进行DOA 估计的同时还可以对信号功率进行估计。文献[7]对文献[6]的空间平滑技术进行了改进，对空间平滑子阵列输出的自相关矩阵进行了互相关处理。文献[8]将一种改进的空间平滑及其修正与PM 算法结合，形成快速解相干算法。文献[9-13]则将空间平滑技术及其修正引入到不同的新体制雷达，进行相干目标的DOA 估计。可见空间平滑解相干技术仍值得深入研究和改进。而对于子空间类算法DOA 估计的改进，近年来文献[14-18]提出了对子空间进行投影加权的改进算法，形成噪声子空间与信号子空间的空间叠加谱来进行DOA 估计，其改善了当快拍数过少及低信噪比时的DOA 估计性能。

针对上述很少提及间隔较近的临近相干信号源DOA 估计，该文提出利用一种增强的改进空间平滑技术进行解相干预处理，再通过改进的对子空间投影加权的算法进行DOA 估计，使其在低信噪比及小快拍情况下对间隔很近的相干信号源有着更好的分辨力及测量精度，文中对比了其他算法证明了该算法的性能。

1 阵列信号数学模型

假设有K个远场窄带信号入射到由M个全向天线阵元组成的均匀线阵（ULA），各阵元之间间距d为传播波长λ的一半，则阵列在t时刻对应第m个阵元的输出可表示为：

其中，sk(t)为第k个入射信号，nm(t)为第m个阵元受到的高斯白噪声干扰，θk为第k个信号的DOA。定义θk方向向量为：

则阵列流型矩阵A定义为A=[a(θ1),…,a(θk)]，所有M个阵元的输出为x(t)=[x1(t),…,xM(t)]T。当快拍数为L时，阵列输出可写成如下形式：

其中，X(t)为M×L维输出数据，S(t)=[s(t1),…,s(tL)]为K×L维入射到阵列的信号，N(t)=[n(t1),…,n(tL)]为M×L维加性高斯白噪声。则可定义阵列输出的协方差矩阵为：

其中，RS=E[S(t)SH(t)] 为信号源S(t)的信号协方差矩阵，IM为M×M维单位矩阵。通常在实际应用中，式（4）的协方差矩阵R通过估计得到。因实际传播环境空间的复杂性通常会有相干信号的出现，相干信号之间通常相差一个复常数增益。假设有i个相干信号源，则有：

其中，ai表示第i个相干信号源相对于生成相干信号的原始信源s0(t)的复增益。则结合上述信号源表达式可得相干信号的信号源为s(t)=[a1s0(t),…,ais0(t),…,sK(t)]T。

当来自不同方位的信号及相干信号入射阵列时，相干信号会导致阵列输出的信号协方差矩阵欠秩，使其秩不等于信号源数。需要进行解相干预处理才可结合基于子空间的高分辨算法（如MUSIC、ESPRIT）进行DOA 估计。

该文中右上标“*”表示复共轭，“T”表示转置，“H”表示共轭转置。

2 改进的空间平滑加权子空间投影算法（ESS-WPMUSIC）

2.1 传统的空间平滑技术

传统的空间平滑技术是将等距线阵进行平滑并将其分为多个彼此交错重叠的子阵列，把各子阵列输出的协方差矩阵相加并平均后取得空间平滑协方差矩阵，恢复该矩阵的秩从而可以有效解相干。若每个子阵的阵元数为m，将阵列平滑分成p个子阵列，则满足M=p+m-1，如图1 所示。

图1 空间平滑示意图

传统的空间平滑技术有前向、后向及双向平滑，双向平滑是前向和后向平滑的结合。前、后向空间平滑至多可解相干信源数为，而双向空间平滑为，适当减小了阵列孔径的损失。若定义左边第一个平滑子阵列为参考阵列，两个选择矩阵为Zl、Ql[8]，其中，Zl=[Om×(l-1)|Im×m|Om×(p-l)]，而Ql则是把中间的m×m维单位阵Im×m换成了反对角线为1 的置换矩阵。则第l个前向平滑子阵列的输出为，结合式（4）得到前向平滑的协方差矩阵为：

由于前向平滑子阵列输出与后向平滑子阵列输出互相满足共轭倒序不变性，则可得出后向平滑的协方差矩阵及前、后向平滑协方差矩阵之间的关系为：

结合式（6）-（8）可推得双向平滑的协方差矩阵为：

前向平滑的协方差矩阵相当于由阵列协方差矩阵R的主对角线左上角沿主对角线依次平滑选取p个相互交错重叠的自相关子矩阵进行相加再平均取得。如图2 所示，图中的m×m维分块子矩阵Rij（及下文的Rij）由矩阵R的第i行至m+i-1 行和第j列至m+j-1 列构成。协方差矩阵R沿主对角线的第l个分块子矩阵Rll为前向平滑第l个子阵列输出的协方差矩阵。由于共轭倒序不变性，对Rll进行式（8）处理即可得到后向平滑子阵列输出的协方差矩阵。

图2 协方差矩阵R 的分块示意图

2.2 改进的增强空间平滑技术（ESS）

经过上节分析，传统的空间平滑技术只是利用了协方差矩阵R主对角线的自相关子矩阵信息，并没有充分利用阵列输出来加强空间平滑矩阵中的信号成分以提高分辨能力，当相干源的波达角间隔很小时，其分辨性能会显著下降。针对这种情况，一种改进的空间平滑技术（ISS）[7]是将前向及后向平滑子阵列输出的自相关矩阵依次分别进行互相关处理并求和平均，得到改进的空间平滑协方差矩阵。分析易知，其是利用2p2个平滑子阵列输出的自相关矩阵作为权值进行互相关加权，通过二次平滑使阵列输出协方差矩阵R的主对角线上自相关信息对等效空间平滑矩阵的信号成分影响增强，较充分地利用了阵列输出来提高分辨能力。ISS 的双向平滑协方差矩阵的表达式如下：

可以看出，ISS 也只是对阵列协方差R的自相关子矩阵进行加权利用，并没有利用互相关子矩阵。而文献[5]提到了对协方差矩阵R关于主对角线对称位置的互相关子矩阵Rij进行互相关处理，构造空间平滑矩阵的另一种改进空间平滑技术(ISSO)。类比于ISS，ISSO 的双向空间平滑协方差矩阵如下：

ISS 及ISSO 都是进行二次空间平滑处理来提高测向分辨性能，但都只利用了自相关子矩阵或互相关子矩阵，并没有利用全部子矩阵的信息。该文结合两者优点，利用所有自相关及互相关子矩阵得到一种改进的增强空间平滑技术（ESS），使得原阵列协方差矩阵R的主对角线上的元素及关于主对角线对称元素对等效空间平滑矩阵的影响得到加强，ESS空间平滑矩阵表达式如下：

该增强空间平滑技术充分利用了所有自、互相关矩阵。利用了4p2个加权相关矩阵得到空间平滑矩阵，加强信号成分，且对同一自相关子矩阵进行三次加权累积，同时也考虑了互协方差矩阵的加权效果，可更好地提高分辨性能。

2.3 加权子空间投影WPMUSIC算法

在得到式（12）的空间平滑协方差矩阵后，对其进行特征分解，其中，US是信号子空间，其由与信号源数目相同的K个较大特征值所对应的特征向量构成，而UN为其余的m-K个特征向量组成的噪声子空间。信号子空间与阵列流型A张成的空间属同一空间且与噪声子空间在理想情况下是彼此正交的。若考虑实际噪声干扰，则||a(θ)UN||2会接近于零。由传统的MUSIC算法得知，DOA 估计可通过构建式（13）MUSIC 空间谱进行谱峰搜索得到：

由式（13）可知，空间各方位的方向向量到噪声子空间正交基的投影值的大小决定了谱峰的尖锐程度。当信噪比较低或快拍数目过小时，对阵列协方差R的估计会有较大的偏差，使特征分解后的噪声子空间产生畸变，可能会使信源方向向量在噪声子空间的投影大于信源之间某些非信源方位的方向向量在噪声子空间的投影，则无法对相距较近的两信源进行有效精确分辨，通常在空间谱上表现为一个模糊融合谱峰。而该文所提的加权投影WPMUSIC算法在此情况下有效改善了分辨性能，不同于文献[15-17]对子空间的加权方式，该文利用方向矢量在大致信源范围内求得一个域积分Rθ=∫θa(θ)dθ，以此作为权值分别对信号子空间和噪声子空间进行加权，构造加权矩阵为可以看出其权重的大小与子空间与Rθ的相关程度有关，相关程度越大则对应的权重越大。然后得到修正后的信号子空间及噪声子空间的投影矢量矩阵为。处于信源方位的方向向量由于与信号源信号子空间有很强的相关性，则经过修正后的信号子空间投影矩阵的投影增大。而对于噪声子空间加权，则保留了信源真实方位的方向向量与临近的非源方位方向向量的相关性，有利于压低相距较近的两信号源之间非源方位的谱线高度，同时又增强了信号源方位对应的方向向量与噪声子空间的正交性。结合经过空间投影加权的信号子空间与噪声子空间，构成一种叠加谱，进行DOA 估计，如式（14）所示：

经过这样的加权投影进行DOA 估计可以减少非源方位的方向向量与信号子空间的相关性以及对噪声子空间的正交性，利用对信号子空间投影加权提升算法的抗噪性以及对噪声子空间投影加权提升精度的特点[14-15]，提高了估计时的灵敏度，从而提高了相距较近信号时的分辨力。

2.4 该文算法实现步骤

通过上文所述，归纳该文ESS-WPMUSIC 算法实现的主要步骤如下：

1）对原阵列接收数据进行增强的改进空间平滑处理，得到式（12）的矩阵RESS。

2）特征分解RESS后得到信号子空间US与噪声子空间UN。

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3）对DOA 进行粗估得到方位角大致范围，然后可得Rθ=∫θa(θ)dθ。

5）通过式（14）得到DOA 的精细化估计。

3 仿真实验及分析

对所提算法ESS-WPMUSIC 与SS-OPM[8]、ISSMUSIC[7]、SS-ESMUSIC[6]、ESS-MUSIC[5]以及传统的双向平滑SS-MUSIC 进行对比分析。

3.1 DOA估计的空间谱对比

仿真中采用阵元数M=14 的均匀线阵，空间平滑子阵列阵元数m=7，接收快拍数为L=500。ESSWPMUSIC积分区间以及SNR分别选取[-20°,20°]0 dB，[0°,10°] 5 dB。分别对来自-15°、-5°、5°、15°的大间隔相干信号以及1°、3°的小间隔相干信号进行仿真，如图3-4 所示。可以看出，所提算法无论在信源间隔较大或较小时，相较于其他算法，其空间谱谱峰更加明显且无模糊融合，能较好地解相干且估计出DOA。尤其是当信源间隔较近时，所提算法的谱峰明显且尖锐，虽估计DOA稍有不超过1°的偏差，但仍展现了良好的解相干性能及分辨力，而其余算法的谱峰已模糊融合为一个而不是两个单独的谱峰，无法有效分辨信号的DOA。

图3 大间隔信源时DOA估计性能空间谱对比

图4 小间隔信源时DOA估计性能空间谱对比

3.2 算法性能比较

式中，K为信号源总数，Q为蒙特卡洛仿真实验总次数，为第q次蒙特卡洛实验θk的DOA 估计值，θk为第k个信号源的DOA 真实值。

假设阵列阵元数以及空间平滑子阵列阵元数依然与上一节一致，快拍数为500，SNR 从-10 dB 以2 dB 为步长增加至20 dB，对每一SNR 进行500 次蒙特卡洛实验，分别在大、小间隔信号下进行仿真并统计所得RMSE 曲线图，如图5-6 所示。可以看出，除了SS-OPM 算法在大间隔信源且较高信噪比进行DOA 估计时其RMSE 急剧下降外，其余算法随着SNR 的增高，无论在大、小间隔信号情况下，其RMSE都会降低。而该文算法在低SNR 时的RMSE 最低，在大间隔信源DOA 估计中，SNR 在6 dB 以后的RMSE 与ESS-MUSIC 基本一致，在小间隔信源DOA估计中则为12 dB 以后，说明该文算法在低SNR 时，具有更好的估计精度及稳健性。

图5 大间隔信源下SNR-RMSE对比

下面研究快拍数对RMSE 的影响，SNR 选取10 dB，空间平滑子阵列阵元数及阵列阵元数不变，快拍数从100 至1 000 递增。分别对大、小间隔信号进行仿真并统计所得RMSE 曲线图，如图7-8 所示。在此假设条件下，SS-OPM 算法已失去了估计性能，在大间隔信源下，该文算法随着快拍数的增加，与ESS-MUSIC 有着最低的RMSE，而在小间隔信源下，该文算法在快拍数为500 以下时明显优于其他算法，说明该文算法尤其是在小间隔信源及快拍数目少时有着更好的分辨力及鲁棒性。

图6 小间隔信源下SNR-RMSE对比

图7 大间隔信源下快拍数-RMSE对比

3.3 角度差值对算法性能影响对比

图8 小间隔信源下快拍数-RMSE对比

假设阵列阵元数以及空间平滑子阵列阵元数和上节一致，快拍数为500，两全相干信号源的一个来向为1°，另一个从2°开始以1°为间隔递增至6°，该文算法积分区间选取[0°,10°]，在SNR 选取15 dB 及5 dB 时，分别进行500 次蒙特卡洛仿真，得到RMSE 随着信源角度差值递增的曲线图，如图9-10 所示。从图中可以看出，所有算法随着信源角度差值的增大其RMSE 普遍降低，但该文算法无论在较高或较低信噪比中相较于其他算法，在信源间距较小时，分辨力更强。

图9 SNR=15 dB时信源角度差值-RMSE对比

图10 SNR=5 dB时信源角度差值-RMSE对比

4 结束语

该文提出了一种增强的空间平滑与改进子空间投影加权结合进行DOA估计的算法。首先，对相干信号进行增强空间平滑解相干处理，充分利用阵列输出的协方差数据增强了解相干性能及分辨力，然后通过改进的投影加权WPMUSIC 算法进行DOA 估计，通过对子空间进行加权增强了信号源间隔较近时的分辨力。仿真结果表明，所提算法在快拍数目少及低信噪比情况下对相干信号有着更好的分辨力，尤其是对相干且间隔较近的临近信号有着很好的DOA估计性能。