LPIC中的归一化与洛伦兹变换

李梦超，刘 巧

(1.赣南师范大学 低温等离子体技术研究所，江西 赣州 341000；2. 南昌大学 第二附属医院，江西 南昌 330000)

PIC的英文全称为Particle In Cell，是一种将物理量近似到网格格点上进行计算的一种方法.PIC在等离子体物理仿真领域获得快速发展，尤其是在激光等离子体相互作用仿真上[1-12].LPIC是Laser plasma interaction simulation via Particle In Cell code的缩写，即利用PIC进行激光等离子体相互作用仿真.等离子体仿真涉及大量粒子，举例来说，在分子直径数量级为10-10m时，则 1 cm3的空间中，分子数量约为1024个.如果给每个分子都赋予速度和位置等参量，并用双精度格式(8 bytes)存储，则该数量的分子在电脑中所占的内存约为6*8*1024bytes，约4.8*1013TB.可见，仅仅是1 cm3的空间，且仅考虑粒子的速度和位置，其数据量也是非常惊人的，远远超出现在计算机的处理能力.因此，对大数量粒子进行仿真，需要做近似处理.比如，利用一个粒子代替几千甚至几万个分子，即超级粒子；将空间用网格划分，将分布的粒子分配至每个网格上，通过计算网格格点来获得电磁场等，然后再作用于空间粒子，使粒子前进，即网格法；为节省计算内存和时效，还需对计算机处理的物理量做特殊处理，例如归一化处理.

1 归一化的定义

归一化处理是将真实的物理量除以某个数值后再输入计算机程序进行计算，计算机计算完后，再对输出的数据做反归一化处理，得到真实的物理量.举例来说，某个超级粒子具有电荷量q=1.602 189 2×10-16C，质量m=9.109×10-28kg.对其进行归一化处理：qN=q/e，mN=m/me.qN和mN为归一化量，e为电子电荷量，me为电子的静止质量.归一化处理后输入计算机中进行计算的是qN=1 000，mN=1 000.显然，归一化处理将大大节省计算机内存和计算时间．然而即使做出上述超级粒子、网格处理、归一化处理等，等离子体的PIC仿真计算依然耗费大量时间．根据以往经验，对于二维LPIC程序，采用二百核心以上的大型服务器，一般计算时间为数周甚至数月．

物理量归一化处理后，相应的物理公式也要做相应变化.这里我们讨论LPIC中的入射激光参与归一化后不同坐标系间的洛伦兹变换做出的对应改变.通过这些讨论，希望给高年级大学生、研究生及科研工作者等提供参考．

2 如何归一化

本文采用国际单位制，归一化采用单位为：xN=x/λ，tN=t/T，vN=v/c，qN=q/e，mN=m/me，pN=p/m0c，EN=eE/mewc，BN=eB/mew，ρN=ρ/enc，JN=J/encc.这里用物理量添加下标N表示其被归一化后，λ为入射激光波长，T为入射激光周期，c为光速，e为电子电荷量,me为电子的静止质量，m0为静止质量，w为入射激光角频率，nc=w2meε0/e2为粒子密度归一化单位.本文的归一化与参考文献[7]和[8]是一致的，参考文献[1]和[9]中的归一化是针对非相对论情况的，与本文不同.当然，等离子体仿真中的归一化没有标准格式，这取决于仿真人员的考量.举例来说，对坐标x进行归一化，在激光等离子体仿真中多采用激光波长λ，如参考文献[7-8,13-15]和本文；对某些等离子体仿真，归一化可采用网格长度，例如参考文献[1]和[9]；对于宇宙空间仿真，则需要视仿真尺度来定.

本文讨论的坐标系沿坐标轴Y方向运动，采用复数形式的洛伦兹变换矩阵a[5,6]：

(1)

本文采用激光在运动坐标系中正入射的情况，其在运动系中对应的四维波矢量KM为

(2)

上标M表示物理量位于运动坐标系内，上标T表示转置矩阵.之所以采用列矩阵表示四维矢量，是为了方便用矩阵运算的语言描述洛伦兹变换.激光在运动系中沿x方向正入射，相应实验室系下的四维波矢量为KL=(k0/γ,βk0,0,iw0/c)T，上标L表示物理量位于实验系内，w0为实验室系内的入射激光角频率.洛伦兹变换中的参数γ和β之间满足

(3)

k0为实验室系下入射激光波矢量.角频率wM=w0/γ，周期TM=γTL，波长λM=γλL.入射激光的λ、T、w均参与归一化.

四维空间矢量X=(x,ict)T的洛伦兹变换式为XM=aXL，其归一化与激光波长λ和周期T有关，即yN=y/λ，tN=t/T，将归一化与洛伦兹变换结合得

yM=γyL-βγctL,

(4)

上式(4)中的箭头⟹表示推导可得，同理可推导出其它3个归一量的洛伦兹变换关系：

(5)

四维动量矢量P=(γm0u,iγm0c)T=(p,iW/c)T.动量的归一化为pN=p/m0c，实验室系至运动系的洛伦兹变换为PM=aPL，带入得y方向归一化动量的洛伦兹变换为

(6)

(7)

同理x与z方向归一化动量的洛伦兹变换为

(8)

(9)

同理可获得其它3个归一化分量的洛伦兹变换为

(10)

四维电磁场张量F的归一化分别采用EN=eE/mewc和BN=eB/mew，结合洛伦兹变换公式FM=aFLaT，x方向归一化电场的变换式为

(11)

同理可获得其它几个分量的洛伦兹变换：

(12)

上述讨论了部分归一化物理量由实验室系向运动系的洛伦兹变换，可以看出，由于归一化与入射激光有关，归一化量的洛伦兹变换也与入射激光有关.由运动系至实验室系的洛伦兹变换在参考文献[7]、[8]中已有相关描述，这里我们补充四维空间矢量X、四维速度矢量U、电磁场张量F的变换形式．

由运动系至实验系，四维空间矢量X的洛伦兹变换为XL=aTXM，归一化处理后的洛伦兹变换如下式(13)所示，可以看出其与式(4)、式(5)有明显差异．

(13)

由运动系至实验室系，四维速度矢量U=(γu,iγc)的洛伦兹变换为UL=aTUM.需要注意的是，iγc这一项的归一化处理为除以光速c，其归一化后对应的洛伦兹变换为

(14)

对Ux分量进行洛伦兹变换后并带入上述式(14)可求解ux的洛伦兹变换为

(15)

最终可得速度归一化后的洛伦兹变换为

(16)

由运动系至实验室系，四维电磁场张量F的洛伦兹变换为FL=aTFMa，其归一化的求解与上述相似，这里我们直接给出，可以看出其与式(11)、式(12)有明显差异，即

(17)

(18)

3 结论

通过上述讨论可以看出，归一化量的洛伦兹变换与归一化采用的参数有关．在上述LPIC程序中，归一化量的洛伦兹变换与入射激光有关．这里需要注意的是，上述入射激光在移动坐标系中正入射，若采用其它角度入射，例如在实验室系下正入射，归一化量的洛伦兹变换将会与上述方程不同，上述方程式并不具有广泛的适用性．但上述归一化量洛伦兹变换的推导方法是具有适用性的．不仅在激光等离子体相互作用仿真程序中需进行归一化处理[13-16]，在其它仿真计算中，归一化处理也能大大节省计算内存和时效，这时便可参考上述处理方法开展洛伦兹变换或者其它方程的推导．