引入失效信息的无失效数据可靠性评估

李燕华，林文鹏，范富波，黎珍

（1.空调设备及系统运行节能国家重点实验室，珠海 519000；2.广东省制冷设备节能环保技术企业重点实验室，珠海 519000；3.沈阳中科奥维科技股份有限公司，沈阳 710025；4.北方庆华机电有限公司，西安 710025）

引言

由于产品的可靠性越来越高且越来越受人关注，加上时间和成本的制约，在进行定时截尾的可靠性试验过程中更易出现无失效数据情形。在无失效数据情况下如何进行可靠性参数估计，是一个迫切需要解决的问题[1-3]。国内外许多学者对无失效数据可靠性评估问题进行了相关研究。最早提出了无失效数据这一问题的是Martz和Waller[4]，他们针对寿命服从指数分布的产品提出了一种基于的Bayes无失效可靠性控制检验方法。现在处理无失效数据的方法主要分为两大类：经典法和Bayes类方法。经典方法有：Martz等人使用的“可靠性抽样检验方法”[4]、陈家鼎等人提出的“最优置信限法”[5]、茆诗松等人提出的“配分布曲线法”[6]、Chow等人提出的“退化失效模型的统计分析法”[7,8]、王玲玲等人提出的“修正似然函数法”[9]、张忠占等人提出的“极小χ2-法”和“等效失效法”[10,11]、殷弘等人提出的“改造CLASS-K法”[12]和王学仁等人提出的“广义线性模型”[13]等。除了以上经典方法另一类是贝叶斯方法，两者区别在于是否利用先验信息，近年来，Bayes理论因其能充分利用产品现所有信息提高估计的准确度，在无失效数据处理上得到越来越多的认可。对于软件可靠性评估，Miller[14]建立了一种黑盒子模型，使用黑盒随机测试和Bayes方法估计失效概率，解决了在观测故障数据为零的时候当前版本软件的可靠性评估问题。Bailey[15]在爆炸物测试领域进行二项分布的概率分布估计，估计值与Bayes后验分布的中值一致。Fan等[16]对高质量的电起爆装置进行贝叶斯零故障可靠性演示测试，以设计正常的样本大小、测试长度和指定的可靠性标准。韩明[17-19]提出了E-Bayes法和M-Bayes法，在不同先验分布下，分别给出了无失效数据情形失效概率的估计，然后在引进失效信息后给出了失效概率的估计，并对无失效数据情形失效概率的估计和引进失效信息后失效概率的估计进行综合处理基础上给出了分布的参数和可靠度的加权综合估计。Xu等[20]在无失效数据情况下，使用双边修正贝叶斯（M-Bayesian）置信限法研究了指数分布的故障率和可靠性的区间估计。Bremerman等[21]求解了Clopper-Pearson单侧置信限方程，并推导出无失效数据下的失效概率的点估计值。Lei等[22]提出了一种在小样本、零失效数据情况下，按威布尔分布进行产品可靠性评估的新方法，尝试Bayes方法将目标产品和相似产品的可靠性数据进行融合，以提高评价结果的准确性。李海洋等[23]对无失效数据情况的滚动轴承采用E-Bayes法和参数Bootstrap法同时得到产品可靠度的点估计和区间估计。傅惠民等[24]建立一种综合当前试验数据、仿真数据和以往历史无失效数据的方法对服从两参数威布尔分布和对数正态分布的机电产品进行寿命预测和可靠性评估。何婺晖等[25]基于Weibull分布采用配分布曲线法和E-Bayes法，得到分布参数的估计值并给出区间估计和可靠度置信下限。

本文的研究主要基于指数分布采用配分布曲线法分析，构造出多层先验分布，进行失效概率的综合E-Bayes估计，使用加权最小二乘法拟合得到指数分布参数和可靠度的点估计，为避免评估过于“冒进”，引入失效数据，得到分布参数和可靠度的综合估计。在进行分布参数和可靠度的综合估计时，定时截尾试验时间tm+1和截尾试验样本量nm+1对估计结果有很大影响。提出一种新的确定tm+1的方法，使其结果更加合理。本文在文献[26]和文献[18]的基础上对寿命服从指数分布的某型导弹液压电机进行实例验证。

1 模型假定

若产品寿命服从指数分布，则其分布函数为：

式中：

λ—失效率。

设产品寿命T服从的分布函数为F(t;λ)，λ∈Θ，Θ为参数空间，截尾时间分别为t1,t2,…,tk(0

1）产品寿命服从分布函数F(t;λ)；

2）产 品 在 时 刻 的 失 效 率 记 为pi=P(T≤ti)，0

3）t=0时，产品的失效概率为p0=P(T≤0 )=0；

4）记s i=ni+ni+1+… +nk表示在时刻ti有个si样本还未失效，即有si个样品的寿命大于ti。

本文通过定时截尾试验中的无失效数据信息(t i,ni)对产品的分布参数和可靠度进行评估。

2 失效概率的E-Bayes估计

2.1 先验分布类型确定

假设失效概率ip的先验分布为共轭Beta分布，其概率密度表达式:

2.2 失效概率的E-Bayes估计的定义

假设失效概率先验分布中的超参数均服从均匀分布，给出的E-Bayes估计的定义。

2.3 无失效数据失效概率的E-Bayes估计

对寿命服从指数分布函数产品进行m次定时截尾试验，无失效数据为根据先验密度函数（3），得到如下结论：

1）失效概率ip的Bayes估计为：

失效概率ip的E-Bayes估计为：

推导过程如下：在试验过程中无失效数据，则失效概率pi的似然函数为L(0|pi)=(1−pi)si。

1）确定pi后验分布。根据pi先验密度分布和pi的似然函数可推出后验密度分布如下：

2）ip的Bayes估计。在平方损伤下，ip的Bayes估计为：

3）pi的E-Bayes估计。超参数a和b分布服从（0，1）和（1，c）上的均匀分布，则pi的E-Bayes估计为：

2.4 引入失效情形下失效概率的E-Bayes估计

对寿命服从指数分布的产品进行m+1次定时截尾试验，前m次试验均为无失效数据，记为(ni,t i)(i= 1,2,… ,m)。在第m+1次试验中，定时截尾时间为tm+1，定时截尾样本为nm+1，根据先验密度函数（3），得到如下结论：

1）失效概率pm+1的Bayes估计为：

推导过程如下：在第m+1试验过程中有r个失效数据，则失效概率pm+1的似然函数为

1）确定pm+1后验分布。根据pm+1先验密度分布和pm+1的似然函数可推出后验密度分布如下：

2）pm+1的Bayes估计。在平方损伤下，pm+1的Bayes估计为：

3）pm+1的E-Bayes估计。超参数a和b分布服从（0，1）和（1，c）上的均匀分 布，则pi的E-Bayes估计为：

2.4 可靠度的点估计

在定时截尾试验时间ti时，对应的产品的失效概率为pi。则失效概率满足等式pi=1 −e−λti。等式两边取对数得：ln(1 −pi)=−λti。令yi= ln(1 −pi)，可得：

式中，iε是和之间的误差，由于误差数值较小，常将其省略。

3 引入失效数据可靠性综合估计

2.3节和2.4节分布给出了失效概率pi在无失效数据情形下的贝叶斯估计期望-Bayes估计和引入失效数据时失效概率pm+1的Bayes估计pˆm+1、E-Bayes估计本文将结合无失效数据和有失效数据对产品可靠性进行综合评估。

3.1 失效率的综合 E-Bayes 估计

在无失效数据为(ni,t i)(i= 1,2,… ,m)时，pm+1的加权综合估计[27]为：

3.2 可靠度的综合E-Bayes估计

在无失效数据为(ni,t i)(i= 1,2,… ,m)时，引入失效信息，与2.4方法相同，则得到引入失效信息后的λ的估计值如下：

可以得到引入失效信息后产品可靠度的点估计为：

3.3 截尾时间的确定

在引入失效数据时，在第m+1次定时截尾试验中，截尾时间为tm+1，相应的试验样本量为nm+1，结果有r个样品失效，而第m+1次试验还未进行。文献[13]给出了方法一确定nm+1、tm+1的值，文献[19]给出了方法二确定tm+1的值，本文通过数据拟合的方法给出方法3确定tm+1的值。

式中：[]为取整符号。方法一中确定的，只用到了1t和mt这个2个数据，没有充分使用其他无失效情形下的定时截尾时间，方法二使用了全部的无失效定时截尾时间，本文提出使用将全部无失效的定时截尾时间进行数据拟合来确定第m+1的截尾时间 1mt+。根据方法一、二和三可对失效概率ip和可靠度R进行E-Bayes估计。

4 某型导弹液压电机的案例分析

某型导弹液压电机寿命服从指数分布，其无失效数据[26]如表1所示。

表1 液压电机无失效数据

引入失效数据后，根据公式（24）计算出n7=3，根据方法一计算出t7= 1447，根据方法二计算出t7=11343，根据本文提出的方法三对定时截尾时间进行拟合如图1所示。

图1 定时截尾时间拟合图

根据拟合所得的表达式为：

式中：[]为取整符号。由式（28）计算得到方法三的第m+1的定时截尾试验时间为7 1t=1265。当c取不同值时，引入失效数据，失效概率的E-Bayes估计值

从表2中可以得出：

表2 引入不同失效个数时失效概率的估计值

1）当c取同一值，引入的失效样本数越大，失效概率估计值越大；

表3 效率的估计值

1）当c值不同值时，不含失效数据计算的失效率较方法一、方法二与方法三明显偏小；

2）引入失效数据后，方法一、方法二和方法三中的失效率值均随着c值的增加而减少；当c取同一值时，方法三的失效率比方法一与方法二的失效率较小。

从表4中可以得出：

表4 四种类型的可靠度估计值

1）在不使用失效数据时，在同一时刻下，取同一c值时，得到可靠度的点估计明显高于引入失效数据的其他三种计算方法，说明不使用失效数据，可靠度估计值是“冒进”的；

2）在同一时刻下，随着c值的增加，四种方法计算的可靠度均增加；

3）在同一时刻下，取同一c值时，方法三比方法一、方法二的可靠度综合估计值更高，说明方法三与不使用失效数据计算的可靠度综合评估值相比不“冒进”，方法三与方法一和方法二的可靠度综合评估值相比不“保守”。

5 结论

1）推导了共轭先验分布为Beta分布，其中超参数a和b均为均匀分布、时，在无失效数据情形下失效概率的期望-Bayes估计及引入失效信息下失效概率的E-Bayes估计

2）将配分布曲线法与E-Bayes估计法结合，使用加权最小二乘法，可进行指数分布参数估计并得到可靠度的点估计；

3）超参数b上限值c的取值对无失效信息与引入失效信息时失效概率的E-Bayes估计和综合估计、失效率及可靠度的点估计均有影响 ；

4）提出将定时截尾时间进行数据拟合的方法得到拟合方程从而确定第m+1次定时截尾时间。使用此方法计算的可靠度与无失效数据的可靠度相比不“冒进”，与其他的计算方法相比不“保守”，说明此方法的合理性。