基于附加质量法的吊杆索力测试研究

胡乐海， 邓年春,2

(1.广西大学 土木建筑工程学院，广西 南宁 530004；2.广西防灾减灾与工程安全重点实验室，广西 南宁 530004)

拱桥是使用较广泛的一种桥型，具有多方面的优势[1]。吊杆作为系杆拱桥的关键受力构件，其受力状态对结构的施工、运营及维护都至关重要。现有的索力测试方法主要有：压力表测试法、测力传感器法、磁通量检测法、振动频率法等[2]。振动频率法索力测试可以用于施工阶段和运营阶段，其操作简单，费用较低和设备可重复利用的优点使得该方法成为索力测试的首选方案。通过在索上安装振动传感器，采集振动信号，得到自振频率，并通过索力与自振频率的关系式即可得到索力。

然而，频率法索力测试需要考虑众多影响因素，如边界条件、抗弯刚度、计算长度等。吊杆实际边界介于铰支与固支之间，且更接近于固支边界[3]。吊杆钢丝介于松散与黏结2种状态之间，导致抗弯刚度难以确定[4]。孙永明等[5]分析边界条件对拉索索力测试的影响，提出了修正索力计算公式。Zui et al[6]引入多个无量纲参数简化索力方程，提出拉索两端固结时利用前两阶固有频率计算的实用公式。苏成等[7]通过研究抗弯刚度对索力测试的影响，提出了利用多阶频率识别拉索抗弯刚度的方法。朱卫国等[8]分析影响频率法索力测试的多种因素，得出合理确定有效计算长度可以保证测试的精度。Yan et al[9]将复杂边界下的拉索等效成一个分段模型，通过求零振幅点确定其长度，索力结果误差小于5%。于孟生等[10]分析了附加均布质量和集中质量块对索力的影响，结果表明在拉索中部改变质量对频率影响较大。频率法测试索力的影响因素复杂且难以精准确定，运用等效简化的思想，利用附加质量识别出吊杆的有效长度，从而得到索力表达式。此方法计算简便，精度较高，具有实际工程应用价值。

1 振动频率法基本理论

拉索的横向振动微分方程为

(1)

式中,EI为拉索的抗弯刚度；y(x,y)为y方向的振幅；T为拉索轴向张力；m为拉索的线密度。

采用分离变量法，令

y(x,t)=Y(x)Z(t)

(2)

将式(2)代入式(1)得

(3)

求解式(3)得

Y(x)=C1sin(Ax)+C2cos(Ax)+C3eBx+C4e-Bx

(4)

当两端为铰支边界时,Y(0)=Y(l)=0，Y″(0)=Y″(l)=0

(5)

式中,n为固有频率的阶数；fn为第n阶固有频率。若不考虑拉索的抗弯刚度，则拉索为张弦振动，其计算公式为

(6)

当两端为固结边界时，Y(0)=Y(l)=0，Y′(0)=Y′(l)=0

(A2-B2)sin(Al)sin(Bl)+2ABcos(Al)cosh(Bl)-2AB=0

(7)

当拉索较长时，几何刚度明显大于物理刚度，可以采用张弦振动理论公式。然而，对于索力较小，或者较粗短的索，物理刚度往往不能忽略[11]。此时，拉索由于考虑了抗弯刚度，从而在不同边界条件下会产生不同的振动特性。基于梁理论的振动方程，在两端铰支边界时有解析解，但是当边界条件为其他复杂边界时，索力公式没有显示表达式，而只能通过数值迭代求解，往往只能得到经验公式。

2 附加质量法理论公式推导

基于上述理论，在吊杆上附加集中质量，计算简图见图1。

图1 吊杆附加集中质量计算简图

附加质量吊杆的振动微分方程为

(8)

将y(x,t)表示为振型的级数形式

(9)

将式(9)代入式(8)得

(10)

两边同时乘以Yk(x)并在0到l上积分，利用振型的正交性[12]得

(11)

式(11)简写成

(12)

可见，拉索的固有频率ωn与外界激扰力无关，反映结构本身固有的动力特性。

假定附加质量后吊杆的振型仍为正弦函数形式，令

(13)

将式(13)代入式(12)得

(14)

取i= 1得

(15)

简支梁的振型函数为

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(17) ～ 式(19)及ωn=2πfn得

(20)

式(20)为推导的索力计算公式。将吊杆实际固有振型等效成两端铰支边界的固有振型，从而识别出吊杆的等效索长。利用频差法消除抗弯刚度得到基于前两阶振动频率的索力公式，结合等效索长即可计算出索力值。

3 数值模拟验证

3.1 一般边界，不同索长

吊杆的实际边界可简化为两端转动约束加弹性支撑，两者刚度分别取为1×106N·m/rad和1×1012N/m，设计索力为3 787 kN。索力计算结果如表1所示。

表1 两端一般边界不同长度吊杆数值模拟结果

从表1可以看出，在不同长度时本文公式的索力误差均小于规范公式的误差，且最大误差不超过2%，具有较高的精度。小于20 m的吊杆采用规范方法时误差大于5%，可见规范公式不太适用于一般边界条件下的短吊杆索力测试。对于长度为5 m的短吊杆，本文公式误差为0.56%，仍可以准确识别其索力值。附加质量后长度为5 m的吊杆频率降低了1.528 Hz，而长度为50 m的吊杆频率降低了0.015 Hz，说明短吊杆相比长吊杆对附加质量更为敏感。

3.2 固结边界，不同索力

由于吊杆的边界条件接近于固结[3]，以下数值模拟将对吊杆两端边界施加固定约束。在固结边界条件下，长度为10 m的吊杆在不同设计索力时，利用本文公式与规范公式得出索力值，计算结果如表2所示。

表2 两端固结边界不同索力吊杆数值模拟结果

从表2可以看出，在不同索力时本文公式的索力误差均小于规范公式的误差，且最大误差小于1.5%，相比规范公式总误差减小了1.07%，说明本文公式可应用于不同设计索力下的吊杆索力测试且具有较高精度。由以上可以得出，本文公式对于一般边界和固结边界下的索力测试均具有较好的适用性，且计算结果的准确性较高。对于长度为10 m，设计索力3 787 kN的吊杆，在不同边界下基频相差0.634 Hz，因此采用传统频率法进行索力测试时，短吊杆受边界条件的影响较大。

3.3 固结边界，不同截面

在固结边界条件下，长度为10 m的吊杆改变不同截面形式，中间位置绑定质量为5 kg。吊杆的设计索力按照规范取值，不同截面的钢丝数量为n，索力计算结果如表3所示。

表3 两端固结边界不同截面吊杆数值模拟结果

从表3可以看出，在不同截面时本文公式的索力误差均小于规范公式的误差，且最大误差小于3%，相比规范公式总误差减小了4.93%，满足工程精度要求。不同截面的吊杆附加相同的质量所得的计算结果有所差异，钢丝数为61的吊杆索力误差为2.59%，钢丝数为151的吊杆索力误差为0.45%。截面较小的吊杆，因其刚度较小，从而固有振型更易受到附加质量的影响，导致索力计算误差比截面较大的吊杆稍大。因此，对于刚度较小的吊杆，建议采用稍小的质量块。

4 公式的讨论

为进一步考虑本文公式的工程实用性，分析本文公式在不同工况时的索力误差，并结合分析结果给出公式的合理适用条件。各项参数同上，设计索力为3 787 kN。

4.1 固结边界，不同质量

在固结边界条件下，长度为10 m的吊杆在中间位置绑定不同质量的质量块，利用本文公式得出索力值及其误差，计算结果如表4所示。

表4 两端固结边界不同附加质量吊杆数值模拟结果

从表4可以看出，吊杆频率随附加质量的增大而减小，附加质量为30 kg时吊杆频率降低了1.132 Hz，而且不同的附加质量对索力也有一定影响。当质量块较大时，附加质量前后吊杆的振型相差较大，不满足公式的假设条件，最大误差为4.1%；当质量块较小时，附加质量前后吊杆的频率较为接近，公式计算时作差项容易导致有效数字的损失，最大误差为4.36%。因此，测试时需要选择合理质量的质量块。

4.2 固结边界，不同位置

在固结边界条件下，长度为10 m和40 m的吊杆分别在不同位置绑定10 kg质量块，利用本文公式与规范公式分别得出索力值及误差，结果如表5和表6所示。

表5 两端固结边界不同绑定位置吊杆数值模拟结果(10 m)

表6 两端固结边界不同绑定位置吊杆数值模拟结果(40 m)

从表5、表6可看出，质量块在中间位置时对吊杆一阶频率的影响比靠近端部时大，短吊杆的频率相比长吊杆对绑定位置的改变更加敏感。对于长度为10 m的吊杆，质量块在中间位置时频率降低了0.4 Hz，而质量块在四等分点时频率降低了0.184 Hz；对于长度为40 m的吊杆，质量块在中间位置时频率降低了0.022 Hz，而质量块在四等分点时频率降低了0.011 Hz。对于一阶振型而言，质量块越靠近端部位置对吊杆的振型影响越大，从而引起索力误差。短吊杆的振型更容易受边界的影响，质量块绑定在中间位置更为合适。

5 结论

通过理论分析和数值模拟的方法，对附加质量法吊杆索力测试进行了详细阐述，主要结论如下：

(1)利用附加质量识别出等效索长，推导的索力公式考虑了影响频率法测试精度的边界条件及抗弯刚度2个主要因素。等效简化了复杂的边界条件，有效规避了抗弯刚度的影响，计算公式简洁且准确性高。

(2)本文公式可用于不同长度、不同索力、不同截面及不同边界的吊杆，且均满足工程精度要求。对于短吊杆和一般边界下的索力测试，本文方法具有较好的适用性。

(3)不同的附加质量和绑定位置会影响索力测试的准确性。建议短吊杆采用稍小质量块绑定在中间位置，以防止对吊杆振型产生过大影响；长吊杆采用稍大质量块及精度较高的拾振器，以防止公式的计算误差。