具有附属质量和刚度的梁振动特性分析*

王 明，高芳清,2，陈良杰

(1.西南交通大学 力学与航空航天学院，四川 成都 611756； 2.西南交通大学 应用力学与结构安全四川省重点实验室，四川 成都 611756)

0 引 言

梁结构是工程中应用最为广泛的一种力学模型，梁结构横向刚度较小，极易在服役期间产生共振现象，从而导致结构损坏。

W. L. LI[1]提出了改进傅里叶级数的方法，该方法在传统傅里叶级数方法的基础上增加了一项辅助多项式函数，成功解决了梁在边界上存在的不连续性问题。Ece等[2]研究了变截面各向同性梁的振动问题。M. ICHIKAWA等[3]研究了多跨梁的动力学特性。Lin等[4]研究了具有多个弹簧-质量的梁的自由振动。方宇等[5]针对火炮发射对炮管的振动，研究了移动质量对悬臂梁结构振动的影响。鲍四元等[6]使用改进的傅里叶级数法研究了弹性边界对单跨梁振动的影响。肖伟等[7]分析了弹性边界对梁结构振动频率的影响，计算了一般边界条件下梁结构受迫振动的响应特性。宋超等[8]用传递矩阵法研究弹性边界对多跨量结构振动的影响。陈正能等[9]研究了带有集中质量的悬臂梁结构自由端对梁固有频率的影响。陈玉坤等[10]研究了几何尺寸、材料属性和边界条件对FGM梁振动特性的影响规律。陈明飞等[11]基于一阶剪切变形理论，采用等几何有限元方法对任意曲率的功能梯度曲梁进行自由振动分析。刘瑞杰等[12]针对正交各向异性梁的振动问题，基于卡雷拉定理建立了多种边界下正交各向异性梁结构的振动分析模型。高晟耀等[13]为了解决各向异性直梁和曲梁自由振动分析问题，依据三维理论、采用等几何有限元方法建立了振动分析理论模型。杨莎莎等[14]基于三维弹性理论，建立了受任意边界条件约束的功能梯度梁的自由振动分析模型。Zhang等[15]使用改进的傅里叶级数对具有任意耦合角的三维梁结构进行了自由振动分析。Chen等[16]建立了弹性边界下旋转梁的傅里叶级数解。

现有研究的梁结构主要关注弹性边界梁、功能梯度梁，对具有附属结构梁的研究较少。实际工程中存在着大量可简化为具有附属结构的梁模型，如在桥梁上行驶的车辆、工作中的塔吊结构等。笔者以具有附属质量、附属刚度的梁为研究对象，以改进的傅里叶级数法为研究方法，研究附属结构对梁振动特性的影响。为实际工程中复杂梁结构的简化计算提供了理论依据。

1 具有附属结构梁的理论模型

1.1 弹性边界梁的理论模型

考虑细直梁的弯曲振动。如图1所示，设梁的长度为l，截面面积为s，材料的密度为ρ，弹性模量为E。在梁的两端分别布置位移约束弹簧和旋转约束弹簧，位移约束弹簧的刚度系数记作k0、k1，旋转约束弹簧的刚度系数分别记作K0和K1。通过改变约束弹簧的刚度系数即可模拟固定、简支、自由等多种约束的组合形式以及弹性边界条件。

图1 弹性边界梁模型

等截面梁结构的控制方程为：

(1)

经典梁结构理论中，在对结构进行振动分析时，往往将结构的边界条件取为自由、简支、固定等几种边界条件的组合形式以方便计算，而实际结构的边界条件更多的是弹性边界。

1.2 梁结构的位移函数

传统的傅里叶级数的导数在端点处会产生不连续现象，通过增加四项辅助正弦函数使位移容许函数满足求解域内2阶导数连续且3阶导数存在，从而有效地克服边界上可能存在的不连续性问题。梁结构的位移函数可表示为：

(2)

式中：Am，Bn为未知的傅里叶系数；λm=mπ/l，λn=nπ/l。

将上式用矩阵形式表示为：

Y=Nδ

(3)

式中：N=[cosλmx，…，sinλnx]，表示改进傅立叶级数系；δ=[Am，…，Bn]T，表示广义的位移变量。

1.3 根据Rayleigh-Ritz能量法的求解过程

首先对梁结构系统的能量进行描述，包括梁结构的弯曲应变能、动能、边界弹簧所存储的势能和外部激励所做的功。细直梁结构忽略了旋转和剪切效应，因此系统的弯曲应变能可表示为：

(4)

系统的动能表示为：

(5)

根据式(4)、(5)，即可求得系统的刚度矩阵和质量矩阵。

1.4 具有附属结构梁的振动

附属结构包括附属质量、附属刚度、附属支撑等，梁的边界条件可归类为位于边界位置的附属支撑。如图2所示为弹性边界梁模型。

图2 弹性边界梁模型

下面给出附属结构能量的表达式，附属质量所存储的附加动能表示为：

(6)

式中：Cm为控制附属质量的系数；x0、x1为附属质量的位置区间。

当附属质量变为集中质量时，可表示为：

(7)

式中：xc为附属集中质量的作用位置。

附属刚度所存储的附加应变能表示为:

(8)

式中：Ck为附属刚度控制系数；x0、x1为附属刚度的作用区间；xc为附属集中刚度的作用位标注置。

弹簧所存储的势能包括位移和旋转所引起的势能，弹簧存储的位移势能表示为：

(9)

弹簧存储的旋转势能表示为：

(10)

式中：ks和Kr分别为位移约束弹簧和旋转约束弹簧的刚度；xc为弹簧的位置。

在梁结构原有的动能或变形能中增加附属结构的附属动能或附属势能，即可得到结构总的动能和势能，分离出广义位移变量δ即可得到系统的质量矩阵M和刚度矩阵K。梁结构系统振动的标准特征式为：

(K-ω2M)δ=0

(11)

通过求解方程的特征值和特征向量，即可得到系统的固有频率和振型。

2 方法的收敛性分析

梁结构横向振动的固有频率与梁结构的长度、抗弯刚度、密度以及截面面积有关，计算结果采用结构的圆频率进行描述，同时对结果进行无量纲处理，无量纲圆频率公式为：

(12)

为方便后续描述边界条件，将各个边界条件记作：固定(C)、简支(S)、自由(F)、弹性(E)。

2.1 弹簧刚度的设置

弹簧刚度的取值与边界条件的模拟有关。为探讨弹簧刚度的取值问题，需要研究弹簧刚度与梁系统无量纲频率之间的关系。按照表1所给出的弹簧刚度进行分析。

表1 弹簧边界条件设置

如图3所示，给出了改变旋转约束弹簧刚度时，梁结构横向振动的前五阶固有频率的变化规律。随着弹簧刚度的增加，固有频率逐渐收敛。当k在0～4时，无量纲固有频率值存在一段较为缓慢的上升区域，在此之后逐渐保持不变或者改变量极小；当k取值大于6时，计算结果已收敛或者满足精度要求，因此，下文中将取k值为8，表示完全的旋转位移约束。

图3 旋转约束刚度与梁无量纲频率的关系

如图4所示，给出了位移约束弹簧刚度改变对梁结构横向振动的前五阶固有频率的影响。从图中可以看出，当k取值为0～2时，梁结构的无量纲频率缓慢增加；当k取值在2～5时，梁结构的无量纲频率具有较为明显的上升阶段；当k取值大于6时，梁结构的无量纲频率几乎不再具有明显的变化。对比各阶频率，低阶频率上升阶段缓慢，上升区间较窄，这反应了弹性边界对高阶频率的影响更大，在计算高阶频率时选择弹性边界条件会更精确。下文中将取k为8，表示梁结构横向位移的完全约束，取值k为4，表示梁结构位移的弹性约束。

图4 位移约束刚度与梁无量纲频率的关系

2.2 傅里叶级数截断值的设置

表2给出了改进的傅里叶级数展开阶数在4～11时，两端固定梁结构的前四阶无量刚频率。随着截断数值M的增加，无量纲频率逐渐趋近于精确值。对于低阶频率，即使在展开阶数较小时仍具有很好的计算精度，表明了文中方法的有效性和收敛性。傅里叶级数的展开阶数会影响结果的计算效率和精度，选取合适的截断值可以在满足计算精度的基础上尽可能地减少计算量，提升计算效率。在同时考虑计算效率和精度时，文中选取展开阶数为6进行分析计算。

表2 C-C边界下展开阶数与无量纲频率的关系

2.3 经典边界下梁的频率计算

为更好地对比本方法的有效性，以几种经典边界下的梁结构为计算模型，将文中方法所得结果与有限元解对比。如表3所列。有限元计算采用商业软件ABAQUS，梁模型长度为1 m，单元数量为20，单元类型为b21。

表3 经典边界下梁的振动特性

观察表3中给出的经典边界条件下梁的前四阶无量纲频率，发现文中所给方法是有效且高效的。

3 附属结构对梁的振动特性影响

以悬臂梁为研究的基础模型，在悬臂梁上增加附属质量或附属刚度，分别研究附属质量、附属刚度的大小、位置对梁结构振动特性的影响。

3.1 附属质量对梁振动的影响

在悬臂梁的中点位置增加附属集中质量，通过改变系数计算梁的前四阶频率。

表4给出了附加集中质量点的悬臂梁前四阶频率。观察表中数据，梁的第一阶、第二阶及第四阶频率明显下降，但梁的第三阶频率保持不变。

表4 具有附属集中质量梁的频率

为研究附加集中质量位置对梁结构频率的影响，在悬臂梁固定端，每l/5间隔增加附属集中质量，系数Cm=0.5。

表5给出了不同位置下附属质量对梁频率的影响，图5给出了梁的前四阶频率。相比于无附属质量的梁，梁的频率减小。当附属集中质量靠近振型的节点时，对梁的对应频率影响较小。观察图中悬臂梁结构的第三阶振型，其中一个节点位于0.5l附近，这也解释了上文中发现的悬臂梁此处增加附加质量时，结构的频率几乎未改变的现象。

表5 不同位置附属质量梁的频率

图5 悬臂梁前四阶振型系

3.2 附属刚度对梁振动的影响

在悬臂梁距离固定端0.4l～0.6l的区间内增加附属局部刚度。

表6给出了具有附属刚度梁的频率。随着附属刚度的增加，梁的频率也增大。

表6 具有附属刚度梁的频率

在研究附属刚度位置对梁频率的影响时，将悬臂梁均匀划分为五个区间，在每个区间内分别增加附属刚度，区间由固定端向自由端编号，编号顺序为1～5。表7给出了不同位置下附属刚度对梁频率的影响。

表7 不同位置附属刚度梁的频率

图6给出了梁前四阶频率的二阶导数。由数学知识可知，振型的二阶导数反应了振型不同位置的弯曲程度，当附属刚度位于振型曲率较大的位置时对相应的频率影响更大。因此在实际机械设计和应用中，可以针对梁结构的服役环境频率，对梁结构的相应振型做出优化和控制。

图6 梁前四阶振型的二阶导数

4 结 论

文中基于改进的傅里叶级数法建立了具有附属质量和附属刚度的梁系统模型。通过数值计算，主要有以下结论。

(1) 通过验证计算模型，表明弹性边界条件会影响梁的频率，特别是梁的高频计算使用弹性边界更精确。将改进的傅立叶级数法应用于梁结构的振动分析，可以高效地求解任意边界梁的振动特性，为机械结构的设计、优化和控制提供理论依据。

(2) 增加附属质量会降低梁的频率，当集中质量点靠近梁振型的节点时影响较小，反之影响较为明显。根据不同的目的可以选择合适的位置进行附加质量，如安装监测类仪器时需要保证自身的稳定，可选择节点附近进行安装；对梁结构的振动检测和控制时应避开节点位置。

(3) 通过增加附属刚度会增加梁的频率，当附属刚度位于振型较为弯曲的位置时，对相应频率影响更大。在工作频率相对应的振型较为弯曲的位置附加刚度，可以有效地提高频率，避免结构因共振造成损失。