基于SVD-UKF 的机车最优黏着控制研究*

周延锋，李宁洲，卫晓娟

（1 兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070；2 上海应用技术大学 轨道交通学院，上海 201418）

近年来，机车黏着控制问题一直受到国内外学者的广泛关注［1-3］。受各种因素的影响，轨面条件复杂多变，导致机车在运行过程中的牵引力/制动力的充分发挥受到了很大的限制。此外，重载机车的发展，加大了轮轨间的动力冲击载荷，不仅会影响正常的行车安全，还会导致轮轨关系进一步恶化和相关设备使用寿命降低。为改善轮轨关系、提高机车黏着利用率，需对牵引电机转矩不断进行动态调节，实现机车最优黏着控制。

为获得相对最优的机车黏着利用，大量学者对此进行了积极地探索与研究。文献［2］建立了全维状态观测器对黏着系数进行估计，结合递推最小二乘法与最速梯度法实现对最优蠕滑速度的递推搜索，进而依据蠕滑速度控制环实现了对牵引电机转矩的动态调整。文献［3］基于扩展卡尔曼滤波（EKF），提出了一种滑模控制算法，并依据所设计搜索算法实现了对最优蠕滑速度的递推搜索，实现了较好的黏着利用。文献［4］将模糊逻辑和多级卡尔曼滤波相结合，对轨面黏着实时状况加以识别，进而达到对机车黏着控制的目的。文献［5］基于全维状态观测器和滑模极值搜索算法，实现了最优蠕滑速度的动态追踪，然后依据所设计的滑模变结构控制器动态调整地铁列车牵引电机转矩，取得了良好的控制效果。文献［6］表明，当负载转矩变化量较小时，利用扰动观测器对轨面黏着系数进行估计，能够取得较好的观测效果。文献［7］构造的级联形式的负载转矩和转矩导数观测器，可同时获得黏着系数及其变化规律，为黏着预测控制提供了依据。文献［8］采用容积卡尔曼滤波对车速、轮速及黏着系数进行估计，同时为提高滤波估计精度，其将滤波异常的阈值进行提高，降低了渐消因子的产生概率。既有文献对黏着系数进行估计时，大多采用全维状态观测器、EKF、CKF 以及多级卡尔曼滤波器，但全维状态观测器对数学模型精度要求较高，且需进行极点配置，EKF 需要先求解Jacobi 矩阵，来实现对非线性函数的线性化处理，其过程会忽略高阶项，导致求解精度降低，CKF 采用球面—径向容积准则，具有三阶泰勒级数精度，但对状态突变自适应跟踪能力较差，级联形式的滤波器引入参数较多，存在整定困难的缺点。

文中首先采用奇异值分解的无迹卡尔曼滤波器（SVD-UKF）对机车黏着系数进行实时估计，然后结合带遗忘因子递推最小二乘法，递推得到轨面最优参考蠕滑速度，进而利用所设计的基于趋近律的滑模鲁棒控制器实现对机车的最优黏着控制。

1 机车动力学模型及黏着特性

1.1 机车单轮对动力学模型

牵引工况下，机车牵引力来源于牵引电机输出转矩。牵引电机通过齿轮箱等传动机构将电机转矩传递给轮对，由于轮轨间的黏着作用，致使轮对力矩转化为黏着力使车轮沿钢轨滚动前行，机车单轮对牵引力传递模型如图1 所示。

图1 机车单轮对牵引力传递模型

对电机输出转矩、齿轮箱传动特性以及轮对驱动力矩进行动力学分析，可得到轮对侧的等效动力学方程为式（1）、式（2）：

式中：Tm为牵引电机力矩；TL为牵引电机负载转矩；Jequ为轮对侧等效转动惯量；Rg为齿轮箱传动比；ωw为轮对角速度；R为轮对半径；μ(vs)为轨面黏着系数；W为轴重；ηgear为齿轮箱传递效率，各参数单位见后续仿真参数表1。

对机车运行动力学行为进行分析，可得机车动力学方程为式（3）、式（4）：

式中：Fu为轮轨黏着力；M为整车质量；Nm为动轴数目；vt为 车体速度；Fd为 基 本运行阻力；a0、b0、c0为基本阻力系数。

1.2 轮轨黏着特性

动轮在钢轨上滚动时，车轮与钢轨的接触面上会产生弹性变形，进而出现“蠕滑”现象。由于蠕滑作用，动轮的圆周滚动速度小于车体前进速度，将其两者差值定义为蠕滑速度，经过大量的试验数据分析，轮轨黏着经验公式为式（5）：

式中：vs为蠕滑速度；a、b、c、d为轨面黏着参数。

几种典型工况下的黏着特性曲线如图2 所示。

图2 黏着特性曲线对比

由图2 可以看出，几种曲线均存在稳定区、最优黏着区和非稳定区。在稳定区，斜率ku＞0，随着牵引力矩的增加，蠕滑速度逐渐增加，黏着系数随之增大，直至到达峰值；在非稳定区，斜率ku＜0，黏着系数随着蠕滑速度的增加而减小，轮对发生空转，致使轮轨表面擦伤，影响设备使用寿命，严重情况下将危及行车安全；在最优黏着区，斜率ku≈0，黏着系数接近黏着峰值，机车黏着力得到充分利用。因此，机车最优黏着控制的目的在于维持蠕滑速度在最优黏着区，进而实现相对较高的黏着利用。

2 SVD-UKF 观测器设计

2.1 SVD-UKF

无迹Kalman 滤波（UKF）以无迹变换为基础，采用合适的采样策略逼近状态变量分布，由于其无需明确的函数表达式，可处理非线性系统函数不可导的情况，且非线性变换后的均值和协方差精度至少具有2 阶精度，诸多优点使其在许多非线性滤波应用中得到了广泛的应用［9-10］。

针对非线性系统有式（6）：

式中：k为离散时间；X（k）∈Rn为k时刻系统状态；Z∈Rm为观测信号；W（k）∈Rr为输入白噪声；V（k）∈Rm为观测白噪声。

式（6）中的状态变量X在任意时刻k的无迹卡尔曼滤波算法基本步骤如下：

第1 步：用式（7）、式（8）计算状态向量的初始值及方差：

第2 步：用式（9）计算Sigma 点集：

即得式（10）：

第3 步：用式（11）计算2n+1 个Sigma 点集的一步预测：

第4 步：计算2n+1 个采样点相应的权值为式（12）：

式中：上标i为各个采样点，下标m、c分别为均值、协方差，而采样点分布状态取决于a，参数β≥0，参数λ为缩放比例参数，用来降低总的预测误差，参数λ表示为式（13）：

式中：κ为待选参数，其取值应使得（n+λ）P为半正定矩阵，状态向量多维时，可取κ=3-n。

第5 步：求解状态向量一步预测和协方差阵为式（14）、式（15）：

第6 步：根据系统状态量一步预测值，再次利用UT 变换计算新的Sigma 点集为式（16）：

第7 步：计算预测的观测量为式（17）：

第8 步：计算系统预测均值及协方差为式（18）、式（19）、式（20）：

第9 步：计算Kalman 增益矩阵为式（21）：

第10 步：计算系统的状态更新和协方差更新为式（22）、式（23）：

UKF 采用Cholesky 分解法，对所采集样本的协方差矩阵进行处理，但该方法仅能够分解正定矩阵，对非正定矩阵，其计算过程将出现病态问题。为了避免其矩阵分解病态问题，增强更新迭代过程中协方差矩阵的稳定性，文中采用对系统扰动不敏感、稳定性强的矩阵奇异值分解（SVD），对系统进行滤波估计［11］。

对于m×n阶的矩阵A，其奇异值分解表示为式（24）：

式中：矩阵U为m×m阶正交矩阵，其列向量u1，u2，…，um为AAT的标准正交特征向量，称为左奇异向量；矩阵V为n×n阶正交矩阵，其列向量v1，v2，…，vn为ATA的标准正交特征向量，称为右奇异向量…σr≥0，σi为奇异值，σ2i为矩阵AAT的特征值。

矩阵A是否奇异并不影响分解的正常进行，且解具有唯一性。因此对UKF 算法的第2 步与第6 步进行改写，将其写为式（25）：

式中：ρ∈［1，］为尺度参数；σi和Ui分别为矩阵A的第i个奇异值和其相对应的左奇异向量。

2.2 基于SVD-UKF 的黏着系数估计

机车运行过程中，轨面黏着状态实时变化，导致黏着系数不断变化，但由于技术条件有限，目前无法对其直接测量。因此，文中将使用SVD-UKF对其估计。

由牵引电机负载转矩式（2）可知，轨面黏着系数μ（vs）与负载转矩TL间呈线性关系，因此可以通过对负载转矩的估计，来间接计算黏着系数，即得式（26）：

由式（1）可建立系统状态方程、观测方程分别为式（27）、式（28）：

选择车轮角速度ωw、电机负载转矩TL作为系统的状态变量，则在k时刻有式（29）：

取车轮角速度为观测量y（k），则观测量方程为式（30）：

将式（29）、式（30）离散化，并引入过程噪声W（k）和测量噪声V（k），可写成式（31）：

因此，负载转矩TL估计流程如图3 所示。

图3 负载转矩TL 估计流程图

3 基于指数趋近律的滑模鲁棒控制器设计

基于式（26）估计得到的黏着系数，结合递推最小二乘法［12］，可估计得到黏着特性曲线斜率，进而可根据式（32）计算得到最优参考蠕滑速度：

谈思想送政策、谈表现送动力、谈困难送温暖。中国石化青工委乘势而上，巩固“走访寻”工作成果，建立“与基层青年面对面”常态化交流沟通机制，做好青年思想状况调查研究，定期向党政报告青年思想状况和动态，用心倾听青年心声，及时反映青年呼声，有效解决青年实际问题和困难。活动共解决青年实际困难上万件，各单位共推送优秀案例326个，推送“走访寻”工作和“寻找最美”典型2300多期。

式中：ku为黏着特性曲线斜率。

机车黏着控制的目的在于实现机车黏着的最大利用，因此依据搜索得到的最优参考蠕滑速度，不断动态调整牵引电机转矩，使机车黏着特性始终稳定保持在黏着峰值点附近。滑模控制作为变结构控制系统的一种控制策略，具有较好的抗干扰能力和鲁棒性，其在控制领域得到了广泛的应用［13］。故文中采用基于趋近律的滑模鲁棒控制来实现机车的黏着控制。

定义滑模函数为式（33）：

其导数为式（34）：

为改善滑模控制中趋近运动的动态品质，采用指数趋近律来进行控制器设计，有式（35）：

定义Lyapunov 函数为式（36）：

对式（36）进行求导得式（37）：

由式（34）、式（35）得式（39）：

则滑模控制率为式（40）：

为降低控制器滑动模态快速切换时的抖振，采用双曲正切函数tanh()代替切换函数sgn（s），该控制率可使被控系统稳定地运行在滑模面上，控制率u可表达为式（41）：

4 仿真与分析

为验证所设计SVD-UKF 观测器及黏着控制器的正确性及有效性，在Matlab 中建立相关的仿真模型，机车动力学参数见表1。

表1 机车动力学参数

文中采用的SVD-UKF 算法参数为：x（0）=［0，0］，P（0）=αE（α=105），采样时间Ts=0.01 s，系统噪声协方差Q=diag［0.000 001，10 000 000］，尺度参数ρ=1；控制器参数设置：ε1=0.1，ε2=0.025，k=0.5，参数调整过程中，为保证快速趋近滑模面的同时削弱抖振，应在增大k的同时减小ε1。

单一工况下的黏着系数曲线与电机牵引力矩曲线分别如图4、图5 所示。从图4 可以看出，所设计的SVD-UKF 观测器具有良好的观测性能，黏着系数观测值始终在实际值附近波动，观测噪声较小。与图4 相对应，图5 中的牵引电机力矩迅速在2 s 左右达到5 120 N⋅m，在机车运行工况不变的条件下，所设计控制器能够使黏着系数稳定在最大值0.265 左右，并维持牵引电机力矩不变，有效地提高了机车的黏着利用率。

图4 单一工况下的黏着系数

图5 单一工况下的牵引力矩

不同工况下机车运行的车速与轮速曲线如图6 所示，从图中可以看出在20 s 和40 s 时，机车运行工况发生了改变，速度曲线出现拐点，斜率发生变化，但轮速与车速的差值始终保持在合理的范围内，避免了轮对空转的发生。

图6 机车车速和轮速曲线

机车在不同工况下的黏着系数与电机牵引力矩曲线分别如图7、图8 所示。由图7、图8 可知，机车启动后，状态观测器迅速搜索轨面黏着系数峰值点，0～20 s，与机车在单一工况下的运行特点类似，能够获得较优的黏着利用。20 s 时，轨面工况发生变化，黏着控制器迅速调整牵引电机力矩，搜索得到当前轨面黏着系数峰值点为0.14，当轨面条件不变时，牵引电机转矩始终保持在2 850 N⋅m左右。40 s 后，轨面条件转换为机车启动时的轨面条件，机车始终能够实现较高的黏着利用，同时对峰值点的搜索速度较机车启动时快，其符合机车启动时，轮轨黏着利用率较低的实际情况。

图7 不同工况下的黏着系数

图8 不同工况下的牵引力矩

5 结 论

在分析了机车动力学原理及轮轨黏着特点的基础上，建立了机车单轮对动力学模型，设计了采用奇异值分解的UKF 观测器对轨面黏着系数进行估计，结合递推最小二乘法和蠕滑速度递推公式，实现了当前轨面最优参考蠕滑速度的实时搜索，设计了基于指数趋近律的滑模鲁棒控制器，不断对机车牵引电机力矩进行动态调整，并在不同工况下对其进行了仿真分析。结果表明，文中提出的黏着控制策略具有一定的可行性，验证了所设计观测器及控制器的正确性及有效性，有效提高了机车的黏着利用率。