泛函微分方程分析与设计中几类关键问题研究成果

云南民族大学数学与计算机科学学院

1 创新点

项目研究突破了现有研究方法的局限性，降低了现有研究结论的保守性，为泛函微分方程的分析与设计提供了新的理论分析方法。主要创新点如下：

1.1 李雅普诺夫泛函的合理构造

项目针对不同类型的泛函微分方程，根据方程的结构特点及其分析与设计要求，提出了几类新的李雅普诺夫泛函构造方法。具体如下：

一是Markov跳跃参数依赖的积分二次型李雅普诺夫泛函的构造方法。

本项目提出了Markov跳跃参数依赖的积分二次型李雅普诺夫泛函的构造方法。该方法中的正定矩阵依赖于方程参数的跳跃模态，不仅增加了矩阵变量的灵活度，而且降低了系统分析结果的保守性。

二是高阶采样时刻依赖型李雅普诺夫泛函的构造方法。

项目利用自由矩阵零等式和输入时滞的特性，建立了高阶采样时刻依赖型李雅普诺夫泛函的构造方法。该方法蕴含较多的采样时刻信息，克服了传统李雅普诺夫泛函因仅含一阶采样时刻信息带来的局限性，降低了现有分析与设计结果的保守性。

1.2 参数依赖型矩阵系数多项式的定性判别方法

项目基于矩阵分析理论和凸优化理论，结合参数依赖型矩阵系数多项式的结构特点，建立了参数依赖型矩阵系数多项式的定性判别方法。该方法克服了现有方法因难以获得矩阵系数多项式的定性判据而导致的难以获得理想的分析与设计结论的局限性，降低了现有分析与设计结果的保守性。

1.3 不等式的改进与应用

一是非正交多项式依赖型自由矩阵积分不等式。

项目基于泛函分析理论和矩阵分析理论，结合非正交多项式的积分特点，借助自由矩阵思想，建立了基于非正交多项式的自由矩阵积分不等式。该不等式降低了因正交多项式本身具有的局限性而导致所得结果存在的保守性。

二是参数依赖型广义互凸组合不等式。

本项目基于矩阵分析理论和凸优化理论，结合互凸参数的结构特点，利用参数变换方法和其他分析技巧，建立了参数依赖型广义互凸组合不等式。该不等式解决了现有互凸组合不等式难以估计n阶互凸组合二次项的界值，从而导致蕴含异质时滞因素的泛函微分方程的分析与设计受到阻碍的重大问题。

2 成果应用情况

1）基于项目研究建立的参数依赖型矩阵系数多项式的定性判别方法，代表作[3]获得了新的时滞依赖稳定性判据。数值仿真结果（见表1）表明，基于本方法获得的系统稳定性判据（定理3.1）可允许的时滞最大可行上界远大于其他方法可允许的时滞上界，从而说明本项目提出的方法在降低理论结果保守性方面具有重要作用。

表1 不同方法允许的加性时滞最大可行上界

2）基于项目研究建立的非正交多项式依赖型自由矩阵积分不等式，代表作[13]获得了新的稳定性判据和扩展耗散条件。数值仿真结果（见表2）表明，基于非正交多项式依赖型自由矩阵积分不等式获得的系统稳定性判据（推论1）可允许的时滞最大可行上界不仅优于已有的结论，几乎可以达到该系统可允许的时滞上界的解析值，从而说明该不等式在降低理论结果保守性方面具有重要作用。

表2 τ已知时h的最大可行上界

3）基于项目研究提出的Markov跳变参数依赖的积分二次型李雅普诺夫泛函的构造方法，代表作[4]获得了新的稳定性判据和控制器设计方案。数值仿真结果（见图1和图2）表明，当系统没有控制输入时，系统是发散的，而采用本项目设计的控制方案时，系统的状态可以实现渐近稳定，从而说明本项目提出的方法是切实可行的。

图1 无控制输入时，系统的状态响应

图2 有控制输入时，系统的状态响

4）基于项目研究提出的高阶采样时刻依赖型李雅普诺夫泛函构造方法，代表作[1]获得了新的系统镇定性判定条件和模糊采样控制方案。数值仿真结果（见表3、图3、图4和图5）表明，基于该方法获得的系统镇定性判据（推论1）可允许的最大采样间隔优于现有结论所允许的最大采样间隔。不仅如此，由图3、图4和图5不难发现，基于该方法设计的模糊采样控制器可以非常有效地镇定具有半Markov跳跃的混沌系统。

表3 不同方法允许的最大采样间隔τ

图3 无控制输入时，系统的状态响应

图4 半Markov过程的跳跃模态

图5 有控制输入时，系统的状态响应

5）基于项目研究提出的参数依赖型广义互凸组合不等式，代表作[2]研究了转移速率部分未知的半Markov跳跃中立型泛函微分方程的随机稳定性问题；代表作[12]研究了具有加性时滞的Markov跳跃泛函微分方程的随机稳定性问题；代表作[18]研究了不确定中立型半Markov跳跃泛函微分方程的随机有限时间鲁棒有界性问题。数值仿真（见表4、图6和图7）表明，基于该方法建立的分析与设计结果具有更低的保守性。

表4 不同方法允许的加性时滞最大可行上界

图6 四槽反应系统结构图

图7 系统状态随机有限时间有界