中俄联合办学高等数学双语教学难点剖析

谢素英，韩 斌，管俊彪

（杭州电子科技大学 理学院，浙江 杭州 310018）

随着经济全球化步伐的加快，中外联合办学已然在各地兴起，近几年中俄联合办学也在我校扎下了根基。而高等数学是中外联合办学理工科专业的一门重要基础课，是历届考研必考的重要课程之一，同时也是大学理工科专业后续课程的重要基础。高等数学的应用非常广泛，其内容已深入渗透至诸多科学领域，是现代科研工作不可或缺的重要工具。但高等数学内容多、理论深、方法杂，又号称为大学最难学的一门课程。对比其他课程，高等数学挂科率偏高已然是大学里的普遍现象。而高等数学的教学方法会直接影响到教学效果。面对种种问题，研究如何科学地教好高等数学是十分迫切的。事事都遵循客观规律，教学也不例外。良好的教学方法可以快速提高学生的逻辑推理能力、分析和解决问题的能力，进而也可以培养学生的初步科研能力。众所周知，独木不成林，一花难成春。作为从业多年的教师理应在传授知识的同时，注重培养青年教学梯队，打造教学质量过硬的双语教学团队。本文主要把教学团队多年来的教学质量经验与大家分享，希望对青年教师能够起到拨云见日、云开月明之功效。在进入大学的第一个学期，对高等数学的教学要科学引导学生入门，注重中学知识点和大学知识点的良好衔接；对高等数学双语教学的授课内容要科学取舍，抓住重点和难点，教学难点剖析要科学适度，展开归类例题的讲解；授课中时刻关注学生的听课状态，注意引导学生的兴趣，适时调整双语教学模式。

一、注意中学知识点与大学知识点的良好衔接

莘莘学子为了实现自己的梦想，经过层层选拔，终于步入了自己梦寐以求的大学殿堂。大一新生对未来充满了美好的憧憬和向往，对大学开设的高等数学双语课程流露出了好奇的目光。面对学生渴求知识的目光，我们要做的不仅仅是把知识简单地传授给他们，还要科学地将他们引入大学校门，即把他们的思维带入大学校园。学生往往有先入为主的思维惯性，喜欢这个老师就会喜欢他的课，因此教师要足够重视第一堂课。第一堂课是展现个人魅力的关键时刻，教师要有足够的“气场”，所谓的“气场”可以理解为教师的威慑力与学生的关注度和敬爱度。教师既要做到和蔼可亲、目光深邃如炬，又要对该领域博大精深的知识能够融会贯通，让学生对您有肃然起敬之感，您的每一句话对学生都会有警示和启迪作用。教师有必要强调为什么学习这门课，如何学好这门课，强调学习方法。对于初学高数的人一定要把中学和大学的数学知识点衔接好。中学数学是高等数学的基础，高等数学与中学数学知识密切相关。在目前的应试教育模式下，中学的数学教学对很多与高考无关的知识点进行了删节，比如：极坐标、一些反三角函数等。而个别省对求极限和导数进行了初步讲解，但中学老师又没有把极限和导数的概念讲透彻，造成部分学生到了大学里按照中学的惯性思维不顾条件地求极限和求导数。对于中学没有讲过或没有重点讲过的知识点，我们要及时补充，把知识点讲透，让学生丢掉中学的错误惯性思维，逐步培养高等数学缜密的逻辑思维。在授课学时不足时，教师可以把某些知识点做成电子课件，通过图文并茂的方式传授给学生，做好科学地衔接。在大学的第一学期要注意培养学生良好的学习习惯，中学的填鸭式刷题法固然可以提高分数，但大学里要更注意培养学生预习复习和课外阅读的良好习惯。在授课时可以同步地给学生发放每个章节的重点、难点和易混易错问题分析等，以及一些启发性问题和课外阅读资料，便于学生对每个章节的知识点进行总结。总之在第一学期教师要花足够的时间和耐心引领好学生在大学阶段学习的第一步。

二、精选双语教学授课内容，突出重点难点

在教学大纲规定的学时内，要想详细地讲解高等数学的每个知识点是做不到的。但高数课程是一个良好的有机体，如果我们仅对其内容进行简单删节，就会破坏其知识的系统性和完整性，从而对学生的理解造成困扰。教师应在反复阅读教材的基础上，科学地选择教学内容，精选讲课要点。中俄联合办学的高数课程需要中英文双语教学，因此在选择合适的中英文教材时，要合理把握难度。我校采用中文教材和外文原版教材相结合的教学模式。实践中，发现中英文教材各有其优缺点，教师要取长补短，科学取舍。对于初学者，英文教材设置的章节比中文教材更加详细，起点更低，更容易理解。比如极限定义，英文教材用一节从直观角度来理解无限接近这一概念，随后再用一节严格地表述极限的数学定义。从这一点来看，大一新生对英文教材更容易理解，而中文教材对极限的直接表述较难被新生接受。因此对中英文教材应做到取长补短，合理设置教案，对学生初次接触、影响全局的重点难点要用足够的时间详细地讲解。例如，对极限概念的讲解是高等数学的重中之重，因为极限理论是高等数学的核心。尽管部分同学在中学里已经学习了极限，并学会了求极限的初步方法，但中学里往往不强调极限定义的精髓，很多学生会求极限，但不能真正理解极限。由于中学阶段学到的量是静态的量，学生很难对极限有很好的理解和掌握。对极限概念的讲解一般从数列的无穷小的变化过程讲起。首先要问无穷小是零吗? 初学者往往会想当然地认为无穷小与零是画等号的。如何让学生深刻认识到无穷小？无穷小到底是静态的量还是动态的量？结合中英文教材，数列极限的“ε-N”定义给了我们很好的解释。无穷小是一类趋向于零的“动态”变化过程，它可以是以零为极限的数列，也可以是以零为极限的函数，特别注意“零常数列”是一类特殊的无穷小，它也是一种动态变化过程，而“零常数列”并不等价于“常数零”。让学生真正理解极限，把“静态”的量转化为“动态”的量，是一种思维方式的转变。面对初学者教师首先要用中文把极限定义讲明白再给出英文的定义。为了让学生充分理解极限，首先要完整地给出定义的具体背景，通过多举例多分析讲清极限的来龙去脉，但又要注意不能和数学分析一样把极限讲得太深入，要适时把握好高等数学关于极限部分讲解的“深度”和“广度”。极限概念贯穿了高等数学的始终，函数的连续、求导、定积分及级数的收敛等都是通过极限来定义的。把极限概念讲透彻并让学生真正理解极限，对后续知识点的学习能起到事半功倍的作用。

其次，高等数学中的两个重要极限也是学生学习的难点和重点。

高数下册难点之一是两类曲线积分和两类曲面积分，即对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分；对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分。在讲解这部分内容时，为了不让同学把各种积分搞混淆，最好的讲解方式是从曲线和曲面两类积分的物理和几何意义上进行对比。例如，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分其本质差异是前者积分曲线无方向，其物理意义是变密度曲线的质量，而后者积分曲线有方向，其物理意义是变力做功。两类曲线积分的计算公式虽然都是通过“定积分”来完成，但仍有较大差异。为了有效区分二者的计算公式可采用“十二字口诀”的方式讲解，方便学生记忆。对弧长的曲线积分计算公式可用：“带回家，换马甲，论小大，定上下”；这里“带回家”理解为将曲线的参数式代入被积表达式，“换马甲”特指将曲线积分的弧长元素ds换成参数式。而对坐标的曲线积分的计算公式可用：“带回家，换马甲，抓始终，定上下”，这里的“换马甲”特指将曲线积分中的dx，dy（或dz）换成参数式。“论小大，定上下”会让同学牢牢记住对弧长的曲线积分的计算，定积分的下限永远小于上限，而“抓始终，定上下”会让同学彻底记住对坐标的曲线积分计算，定积分的下限永远对应起点，而上限永远对应终点。或者再简单一点可采用“一带，二换，三定限”七字口决的方式，让学生牢牢记住公式要点。

高数下册另一难点是格林公式和高斯公式的巧妙使用。1828 年，英国数学家乔治·格林（George·Green）在研究中推出了格林公式，主要揭示了平面区域上的二重积分与沿其边界的曲线积分之间的关系，公式如下：

式中，L 为区域D 的边界曲线，取正向。格林公式应用非常广泛，在讲解格林公式时，要抓住“三查”，即“查封闭，查正向，查连续”。为何要强调“三查”？因为格林公式的应用必须满足定理的条件，而我们的题目通常可分为三大类，即：（1）积分曲线满足封闭正向，被积函数满足连续性条件，直接用格林公式。（2）积分曲线为非封闭曲线，需要“顺势而为”添加有向线段做成封闭曲线，使之满足封闭正向的条件再使用格林公式。（3）当被积函数不满足连续性条件时，即有奇点的情形，采用挖洞法，挖去奇点，做成多连通区域后再使用格林公式。因此“三查”法强调了不同条件下如何使用格林公式。采用“三查”法讲解格林公式的应用在授课中收到了良好的效果。

德国数学家奥斯特洛夫斯基（Ostrowski，Alexander Marko-vic，1777-1855）在热传导理论的探索过程中，研究得到了高斯公式，公式如下：

其中S 为区域V 的边界曲面取外侧。在讲解高斯公式时，同样要抓住“三查”，即“查封闭，查正向，查连续”。同样因为高斯公式的应用必须满足定理的条件，而题目也基本分为三大类，即，（1）积分曲面满足封闭正向，被积函数满足连续性条件，直接用高斯公式。（2）积分曲面为非封闭曲面，需要“顺势而为”补有向曲面做成封闭曲面，使之满足封闭、正向的条件再使用高斯公式。（3）当被积函数不满足连续性条件时，即有奇点的情形，采用挖洞法，挖去奇点，做成多连通区域后再使用高斯公式。因此，“三查”法强调了不同条件下如何使用高斯公式。采用“三查”法讲解高斯公式的应用简洁易记，同样收到了良好的课堂效果。

三、授课中关注学生兴趣，适时调整教学模式

在学习中，感兴趣地主动去学习和无兴趣地被迫去学习，二者效果截然不同。在高等数学的双语教学中，如何培养学生的兴趣，调动学生的学习积极性一直困扰着许多教师。浙江大学数学系教授苏德矿给我们做了很好的示范。苏教授说：“当你喜欢一个人的时候，他的一举一动，一点变化你都看在眼里，别人都变成了常数，他才是唯一的变量，只为他倾倒，如此偏爱成为偏导。”在苏教授的数学世界里，许多抽象的概念和公式都可以找到生动的类比。作者在中学时期对数学的兴趣也是来自一位特级教师赵老师，他的课堂充满了风趣幽默的话语，满堂的欢声笑语。当然，我们不能苛求每位老师都具有他们的风范，但不能把高数讲成枯燥乏味地推理和计算。为了让大一新生适应双语教学，首先要采用“过渡式”和“混合式”教学模式，所谓“过渡式”就是针对部分英语和数学基础不是很好的同学，先采用中文讲解，再过渡为英文讲解，让学生熟悉数学英语词汇和正确表述，能看懂英文题目，英文板书和PPT。而“混合式”是针对英语基础良好的同学，在“过渡式”的基础上增加英语口语的表达和提问，让学生做到能够较流畅地用英语讨论数学问题。而双语教学的最高等级“自如式”就是学生可以听懂高数的纯英语口语上课，能够熟练地听说读写。但作为非“985”院校，学生的英语基础并非特别好，采用“过渡式”和“混合式”更为适宜。教师可以根据不同的班级，学生的听课状态和效果适时调整教学模式。

教学模式固然重要，教师在课堂上如何才能激发起学生的兴趣呢？要想引起学生兴趣，教师了解一些数学发展史是有必要的。数学的发展有一个漫长的过程，其发展过程中也是跌宕起伏的，对于很多知识点，在最初的研究过程中前人也曾走了不少弯路。教师在课堂上对高数的发展史用中英文作简短介绍，让学生了解高数的发展过程，做到追根溯源。数学的发展离不开每位数学大师，是他们的辛勤付出推动了时代的进步。教师在讲解某些著名定理时，适当穿插数学名人小故事，既可以活跃课堂气氛，也能使学生对定理记忆深刻。例如，在讲到拉格朗日定理、柯西定理和阿贝尔定理时，给学生插入一些关于名人的小故事，学生会兴趣盎然，同时记住前人进行科学探索的方法。此外，除了讲名人故事，也可以用中英文讲一些富有哲理的名言警句。例如，把每一件简单的事做好就不简单，把每件平凡的事做好就不平凡。教师如果想做到每堂课都有笑声，需要在课下收集整理很多能够启迪人生的有趣故事。教师只要舍得付出，把自己的能力兑换成充满笑声的课堂是能够实现的。高等数学的双语教学是一门艺术，能讲和会讲，进而做到受学生欢迎和爱戴是大相径庭的。讲台好比舞台，俗话说得好，“台上一分钟，台下十年功”，一个教师要对每堂课做好充分的准备，花很多工夫才会引起学生的兴趣，博得学生的掌声。