柔性机械臂振动与能量最小的多目标轨迹优化

刘 勇，王 腾，杜 喆

（1.合肥工业大学机械工程学院，安徽 合肥 230009；2.合肥工业大学宣城校区，安徽 宣城 242000）

1 引言

与传统的刚性机械臂相比，柔性机械臂重量轻、载荷大、可操作性强。但由于柔性连杆的刚度低，柔性机械臂在运动过程中的振动会导致机械臂末端定位精度下降，不仅对机械臂操作精度产生负面影响，还会导致运行不稳定甚至机械臂损坏。因此，需要对柔性机械臂进行振动抑制。

为抑制柔性臂的残余振动，文献［1］提出了采用粒子群算法优化插值点位置增量和3次样条插值拟合优化后的轨迹函数以消除残余振动的方法。文献［2］设计了边界控制策略以驱动机械臂遵循给点轨迹并同时消除振动。文献［3］以驱动力矩为输入，末端变形和转角为输出建立了柔性机械臂的控制模型，并采用线性二次型（LQR）算法进行振动抑制。文献［4］提出了一种径向基（RBF）神经网络，使得存在输入死区的柔性机械臂的振动得到抑制。然而，以上研究对象均是单连杆柔性臂。针对二自由度平面柔性机械臂，文献［5］利用模糊逻辑控制器和神经控制器来产生控制动作，主动抑制振动。文献［6］通过机械臂关节角度的测量来进行轨迹跟踪，然后利用自适应控制神经网络，使得反馈参数线性化以消除不确定性振动。文献［7］设计了一种神经网络以应用于力矩控制，通过轨迹跟踪实现振动的抑制。对于给定的操作任务，当柔性机械臂运行轨迹不同时，其振动状态和能量消耗相差较大。

然而上述文献只是着眼于振动抑制，优化指标中只考虑到了柔性振动能量，而并未研究关节轨迹对机械臂振动状态的影响。文献［8］利用遗传算法求解了柔性机械臂振动能量最优轨迹，但是在处理运动过程中的弹性振动能量和残余振动能量时，采用的是加权方法，实质上考虑的仍是残余振动优化。为此，对柔性机械臂多目标轨迹优化问题进行研究，采用多目标粒子群（MOPSO）算法进行多目标优化，同时利用RBF神经网络对柔性机械臂逆动力学方程进行拟合［9］，以得到连续平滑的关节力矩，便于进一步施加机械臂振动抑制控制策略，提高柔性机械臂操作的稳定性和准确性。

2 柔性机械臂动力学建模

二自由度柔性机械臂，如图1所示。两根柔性臂杆均为欧拉梁，并忽略重力影响。由于关节质量较大，因此第一根柔性臂杆采用了简支梁模型，而第二根杆则采用悬臂梁模型。

采用拉格朗日动力学方程与假设模态法对柔性机械臂进行动力学建模，利用经典的瑞利-里茨法描述物体上各点的变形向量，自由振动的表达式为：

分别取简支梁和悬臂梁的前两阶模态，则前两根臂杆的横向位移可以表示为：

式中：a，b—只与时间有关的变量。

式中：q=[θ1，a1，a2，θ2，b1，b2]T—广义坐标。

U代表系统弹性势能，对于二自由度柔性机械臂有：

将式（2）代入式（4），则有：

K∈ℝ6×6，式中非零项为：

式中：M—质量矩阵，其具体元素，如式（3）所示；

C—耦合矩阵，可根据动力学方程求得。

3 柔性机械臂多目标轨迹优化

3.1 采用MOPSO求解理想轨迹

以柔性机械臂运动过程中的振动与能量消耗作为优化目标，采用MOPSO算法对两个优化目标同时进行优化。

对于运动过程中的振动，可以用臂杆2末端最大挠度的绝对值来表征：

而能量的优化函数为：

为了获得连续光滑的关节角度、角速度和角加速度，并且考虑关节机械限位问题，采用正弦七次多项式的方法对关节1和关节2的角度进行插值遍历，以此求解理想关节轨迹。由此，可以建立二自由度等效刚性机械臂的关节角表达式：

式中：qi—关节i的关节角；λ—多项式系数；t0，tf—初始和终止时刻。由初始和终止时刻的约束条件可知：

式中：qini，qend—起始和终止关节角。

将约束条件式（10）代入式（9）中，λi0，λi1，…，λi5可由λi6，λi7表示，则可定义决策向量λ =[λ16，λ17，λ26，λ27]。各关节的角度、角速度和角加速度均可由λ求得。

式中：V[k]，P[k]—粒子k的飞行速度和其在种群中的位置；

c1，c2—学习因子；

r1，r2—在[ 0，1]上均匀分布的随机数；

R[h]—外部档案中粒子的位置；

χ= 2∕( | 2 -φ-φ(φ- 4) |)—收敛因子；φ=c1+c2；

pbest—粒子自身经历过的最佳位置。

基于上述多目标轨迹优化得到理想关节轨迹后，利用传统近似方法求解柔性参考轨迹：利用理想轨迹求得刚性力矩。再用刚性力矩求出对应的柔性变量。再利用理想轨迹与柔性变量求解柔性参考力矩。最后，将柔性参考力矩代入柔性机械臂动力学方程，即可求得机械臂的柔性参考轨迹和实际柔性变量。

3.2 柔性机械臂最优轨迹求解

用近似法求得的柔性参考力矩所造成的关节角度误差较小。但是，关节力矩的震荡明显，不利于实际工程应用，同时也会对进一步的机械臂振动抑制控制造成困难。针对上述问题，进一步采用RBF神经网络对柔性机械臂逆动力学方程进行拟合，即输入期望理想轨迹后，通过RBF神经网络直接求得实际关节力矩［9］。

所采用的RBF神经网络结构，如图2所示。其中，Q1，Q2代表关节1和关节2的期望理想轨迹，τ1，τ2代表关节1和关节2的实际关节力矩。wij(j= 1，2)代表权重系数。是高斯类型函数，ci为第i个径向基函数的中心，σ为径向基函数的宽度。具体的算法流程，如图3所示。

图2 RBF神经网络模型Fig.2 Model of RBF Neural Network

图3 柔性机械臂动力学算法流程Fig.3 Dynamic Algorithm Flow

4 仿真与结果分析

4.1 参数设置与仿真结果

利用MATLAB 对两自由度柔性机械臂进行仿真实验，机械臂两个连杆均为柔性连杆，机械臂相关的材料、质量和几何特性参数，如表1所示。

表1 二自由度柔性机械臂参数Tab.1 Parameters of 2-DOF Flexible Manipulator

机械臂的初始关节角为qini=[ 20°，0°]，终止关节角为qend=[10°，10°]，规 划总 时 间tf= 1.5s。 MOPSO 算法 参 数设 置为：nλ= 4，[λmin，λmax]=[ -0.1，0.1]，种群规模nP= 250，外部档案粒子数nR= 100，最大迭代次数Imax= 150以及c1=c2= 2.05。

4.2 仿真结果比较与分析

利用MOPSO求解多目标轨迹优化问题，得到的Pareto前沿，如图4所示。振动指标最小和能量最小的极端解分别记为非支配解A和非支配解B。

图4 Pareto前沿Fig.4 Pareto Front

非支配解A和非支配解B的代价函数值以及对应的决策向量，如表2所示。其中，梯形规划的参数设置为：加速时间和减速时间为0.2s，总时间同样为1.5s。

表2 目标函数极端解Tab.2 Extreme Solution of Cost Functions

将两种非支配解A和B的臂杆2末端挠度变化与传统梯形规划的挠度变化进行对比。根据图5可知，利用MOPSO算法所得到的两个极端解的臂杆振动均小于梯形规划。且梯形规划轨迹消耗能量= 499.50远远大于两个非支配解。非支配解A的最大振幅f1A约比非支配解B的振幅f2B大9.63%，但是能量消耗f2A却比f2B减小了677.36%。可见在振幅相似的情况下，改变多项式的系数会对能量消耗产生很大的影响。

图5 三种轨迹末端挠度变化对比曲线Fig.5 Comparison of Tip Deflection

利用MATLAB神经网络工具箱中的newrb函数训练RBF神经网络，SPREAD值设置为1。神经网络训练前后关节1和关节2的力矩，如图6所示。可以发现训练前的力矩变化抖动剧烈，可能会导致关节运行不平稳。然而，通过RBF神经网络对柔性机械臂逆动力学方程进行拟合后，关节控制力矩变得连续且平滑。通过RBF神经网络得到的实际关节力矩代入柔性动力学方程后得到的实际关节轨迹，如图7所示。两个关节的关节角均较好的达到了目标要求。机械臂运行终止时，非支配解A关节1和关节2的实际关节轨迹与理想关节轨迹的误差分别为：0.046°，0.069°；而非支配解B的误差分别为：0.029°，0.017°。关节运行误差较小，满足操作任务需求，且有利于后续的轨迹跟踪控制。此外，图8 表明，将拟合后的实际关节力矩代入柔性机械臂动力学方程后，平滑的关节驱动力矩会使得机械臂的末端振动进一步得到抑制。

图6 振动最小解与能量最小解在神经网络拟合前后的关节驱动力矩对比曲线Fig.6 Comparison Curve of Joint Driving Torque between Minimum Solutions of Vibration and Energy before and after Neural Network Fitting

图7 振动最小解与能量最小解在神经网络拟合后关节轨迹对比曲线Fig.7 Joint Trajectories of Minimum Solutions of Vibration and Energy Fitted by Neural Network

图8 振动最小解与能量最小解在神经网络拟合前后的末端挠度对比曲线Fig.8 Tip Deflections of Minimum Solutions of Vibration and Energy before and after Neural Network Fitting

5 结论

针对双柔性连杆机械臂振动抑制与能量优化问题，提出了一种基于多目标优化算法与RBF神经网络结合的轨迹规划方法。该方法能较好的实现振动与能量的优化目标，且求解出的驱动力矩连续平滑。RBF神经网络拟合得到的力矩不仅能实现理想的关节运动轨迹，满足期望的操作任务，还能进一步减小机械臂运动过程中的末端振动，有利于后续的柔性机械臂振动抑制控制或轨迹跟踪控制研究。该方案误差小、计算量低、适应性强，有利于实际工程应用。