南极科考平台肢腿部件合作博弈优化设计

赵富强，常宝玉，李钊钰，牛志刚

（1.太原科技大学重型机械教育部工程研究中心，山西 太原 030024；2.太原理工大学机械与运载工程学院，山西 太原 030024）

1 引言

南极内陆平均风速可达16m∕s，最大可达（40～50）m∕s，科考设备在南极考察作业时会遇到强风环境、雪丘雪隆地形，这对南极科考平台设计提出了新要求。针对南极科考平台肢腿［1］设计，不仅要考虑不同工况时肢腿位姿变化造成拉弯扭耦合作用变形，还需研究外形尺寸引起风阻、质量变化对整体功耗的影响。在机械设计时既要考虑降低功耗又想要提高机构承载能力，这两个设计目标相互矛盾制约，因此，开展南极科考平台肢腿部件优化设计理论与方法研究，对保障南极科考平台运行能力，提高节能水平有重要战略意义。

国内外针对机械结构优化设计主要是基于力学性能的尺寸优化设计研究。解决多目标优化问题常用遗传算法、粒子群算法、蜻蜓算法［2］优化算法。文献［3］用七种基于群体的元启发式算法对二维钢框架结构进行尺寸优化，在满足一定的位移和应力限制条件下，使刚接钢框架结构的重量最小；文献［4］以尺寸和质量为约束对三轴振动夹具采用多目标遗传算法进行轻量化和一阶固有频率最大化优化设计；文献［5］采用多目标遗传算法对汽车驱动轴展开多目标优化设计，优化后的结构在满足强度和刚度要求下达到了轻量化的设计目标；文献［6］采用人工神经网络－遗传算法对多单元锥管展开了多目标优化设计，提高其耐撞性。

遗传算法虽然适用范围广，但有计算效率低的不足，粒子群算法对比遗传算法有运算快的优点，文献［7］采用粒子群算法对复杂船舶结构展开优化，与遗传算法对比能更快找到最优解；文献［8］对万向联轴器叉头展开了基于粒子群优化算法的尺寸优化，提高了叉头的承载能力。采用粒子群算法求解多目标优化问题时因为权重的分配有其局限性，以博弈思想分析可以避免这些缺陷。文献［9］以多目标优化设计合作博弈求解方法对4桁架和拱形坝体进行优化；文献［10］提出一种自适应博弈方法，以汽车制动器为例分别与竞争博弈和合作博弈进行了对比，证明了其收敛速度更快。以上文献从整体强度、质量方面开展结构优化分析，而在实际工况中，结构优化不仅要考虑本身因素，还需要考虑服役环境约束对结构外形设计的影响。

这里以一种南极科考平台肢腿部件为优化对象，考虑因极限支撑和雪丘雪隆地形造成肢腿部件承载能力差、南极强风环境引起行驶功耗大的设计问题，采用合作博弈与多目标粒子群算法相结合的方法求解肢腿部件结构特征参数的最优解。

2 肢腿部件模型

2.1 南极科考平台总体构型

南极科考平台采用六肢腿履带足移动式构型，从上到下主要部件分别为固定台、肢腿和履带足，肢腿由上肢腿和下肢腿组成，固定台为正六边形，每个角处设置一个肢腿，上肢腿由推杆1 驱动，下肢腿由杆2 驱动，肢腿为固定台和履带足之间的连接装置，各肢腿协调动作实现各个方位爬坡、转向、跨越等功能，确保了南极科考平台在南极冰雪地形行驶的安全性，总体构型，如图1所示。

图1 总体构型Fig.1 General Configuration

2.2 肢腿部件

肢腿部件材料选用轻质材料铝合金7075，外形结构为厚板式构型，各部分之间用螺栓装配连接，避免因焊接对结构造成变形影响，这里以上肢腿为例，上肢腿装配图，如图2 所示。两侧板为主体结构，侧板变形直接影响着整个平台结构强度；承力杆组可有效简化上肢腿结构实现减重，增强抗扭转刚度；加强环可提高铰接孔处的强度。两侧板厚度为b，将上肢腿以侧板中间折弯处以为界分为左右两段分析，左段侧板宽度为hAB，右段侧板宽度为hCD。肢腿作为整个科考平台的重要部件所占重量约为整体重量的1∕5，起到支撑固定台、转换履带足空间位置和实现南极科考平台空间伸展的作用，这使得肢腿部件要承受复杂载荷，因此设计中既要从本体结构强度出发，满足肢腿在空间位姿变化时不出现过载变形的要求，又需考虑强风条件肢腿外形及质量对科考平台整体运行功耗的影响。特别是肢腿部件在极限支撑、30°坡度雪丘雪隆地形抬腿时，上肢腿比下肢腿承载大，因此以上肢腿作为优化对象，开展结构特征参数优化。

图2 上肢腿装配图Fig.2 Assembly Drawing of Upper Limb

3 工况及受载变形分析

3.1 工况分析

南极科考平台通过各肢腿动作变化以适应不同地形，肢腿动作时其受力状况也发生改变，选取极限支撑、在30°坡度雪丘雪隆地形抬腿两种极限工况进行分析，肢腿动作及受力特征，如图3 所示。对各连接点进行受力分析，在图3（a）工况1 中，E点-上肢腿与下肢腿的铰接点，E点受到下肢腿的作用力Fe；D点-上肢腿与固定台的铰接点，受到固定台的作用力Fd。分别以E、D点为原点，以平行于侧板方向为x轴、垂直x轴方向为y轴建立两个平面直角坐标系，Fe与y2夹角为θe，Fd与x1夹角为θd。在图3（b）工况2 中，G1—下肢腿重力；G2—履带足重力；L1、L2—两个重力与重心的距离；β—雪丘雪隆路面的坡度。根据此建立力学方程分析部件受载变形情况。极限工况下肢腿动作及力学特征，如表1所示。

表1 极限工况下肢腿动作及力学特征Tab.1 Movement and Mechanical Characteristics of Limbs Under Limit Working Conditions

图3 肢腿动作及受力示意图Fig.3 Schematic Diagram of Limb Movement and Force

3.2 受载变形分析

3.2.1 纵向变形gAB、gCD

AB、CD段在图3（1）中两个坐标系中沿y轴发生的纵向变形gAB、gCD为：

式中：θe—Fe与所在坐标系纵坐标的夹角；lEA—E点与端板件螺栓连接处中心A点之间的距离；lAB—端板件螺栓连接处A点与上肢腿和推杆2的铰接点B点之间的距离；lCD—上肢腿和推杆1的铰接点C点与D点之间的距离；E—所选材料铝合金7075的弹性模量。

3.2.2 横向变形ΔlAB、ΔlCD

AB、CD段在图3（1）中两个坐标系中沿x轴发生的横向变形ΔlAB、ΔlCD为：

3.2.3 扭转变形φAB

在图3（2）中，AB段收到扭转作用，AB段相对扭转角φAB为：

式中：μ-泊松比；η—修正因数。

4 合作博弈求解肢腿部件多目标优化设计

合作博弈与非合作博弈区别为其目标最终为哪方达到最大效益，合作博弈是使整体效益达到最好，非合作博弈是使各博弈方达到最大效益。在合作博弈中各博弈方分别有其自己的策略与收益函数，各方通过合作、协商的方式确定可行解，最终的结果对于各决策者可能不是最优解，但对于全局来说是一个最优解。南极科考平台肢腿部件优化目标为肢腿承载变形、运行功耗，为使整个平台性能达到最优，采用合作博弈。两优化目标者之间存在着矛盾关系，所以将这两方作为博弈方，变量优化的过程就是要在这两者之间寻求最优解的过程。对于合作博弈解决肢腿多目标优化问题，具体步骤有建立上肢腿多目标优化博弈模型、粒子群算法对收益函数求最优解和最后对优化结果进行分析。

4.1 上肢腿多目标优化博弈模型

4.1.1 多目标优化问题的博弈描述

对上肢腿在实际约束条件下进行结构设计优化属多目标优化问题，多目标优化问题主要包括三方面内容：选择优化变量、建立目标函数和确定变量取值范围，其数学模型如下式：

式中：x1，x2，…xn—n个设计变量；f1（X），f2（X）…fm（X）—m个目标函数；与—第i个设计变量的取值范围。

解决多目标优化问题常用统一目标法，如下式：

式中：D（X）—统一后的总目标；Wi—个人设置的权重系数，该方法运算时间长，且优化结果受个人主观行为影响，将多目标优化问题转变为多方博弈决策问题，可以缩短运算时间，避免人为设置权重系数，提高解决问题能力。

在博弈中，假设博弈G中包含有m个博弈方，每个博弈方的策略空间分别为T1，T2，…Tm，每个博弈方的收益函数分别为u1，u2，…um。多目标优化问题转化为博弈决策问题的具体操作有：m个优化目标对应博弈决策中的m个博弈方，各目标函数f1（X），f2（X）…fm（X）对应u1，u2，…um，设计变量x1，x2，…xn对应T1，T2，…Tm，设计变量的上、下限对应博弈中的约束条件，则多目标优化问题变为博弈形式为：

4.1.2 优化变量

侧板是肢腿的主体结构，选择侧板截面的参数作为优化变量，包括厚度b、左右两段的高度hAB与hCD。侧板的高度及厚度对上肢腿强度影响较大，因此选取此作为优化变量。由于科考平台总体已经定型，侧板的长度不再变化。选择与优化目标关联度最高的结构特征参数作为优化变量，可以大幅提高优化效率。

4.1.3 目标函数

（1）最小变形优化目标w

AB、CD段x、y、z方向总位移函数为：

肢腿总变形为w，为了统一量纲，在w中加入系数βi：

（2）最低功耗优化目标p

厚度b、左右两段的高度hAB与hCD三个设计变量直接关系到上肢腿外形和质量的变化，设计变量改变会影响整个科考平台在行驶中风阻的大小，这对整个平台运行功耗有直接影响。南极平均16m∕s风速的强风会产生不可忽略风阻影响，侧板面积直接影响着风阻大小，侧板面积与南极科考平台行进中的风阻f关系为：

式中：C—空气阻力；ρa—空气密度；VR—科考平台行驶时风速；Sz—上肢腿总迎风面积。

由此可得风阻消耗功率pf为：

式中：vC—南极科考平台行驶速度。

上肢腿质量M与整个南极科考平台行驶功率PR关系为：

式中：μL—摩擦系数；g—重力加速。

南极科考平台总运行功率为p：

4.1.4 约束条件

原上肢腿模型中侧板尺寸b=8mm、hAB=64mm 与hCD=74mm，侧板的b、hAB与hCD值过小会使肢腿在上述工况因大载荷发生结构变形，若过大不仅会和平台产生干涉还会造成整体质量偏大，若变量取值范围过大不仅会造成计算效率严重降低，而且无益于改善优化效果，所以在保证结构强度的前提下，以原上肢腿模型中侧板尺寸附近范围取值作为变量上下限，设定如下取值范围：

4.1.5 计算策略空间

多目标优化问题转化为合作博弈的核心是如何将优化变量转换为博弈方的策略空间，具体包括求解单目标最优解、计算影响因子、影响因子模糊聚类，最终确定策略空间。

（1）最小变形和最小功耗单目标优化结果分别为：

（2）设计变量xj对博弈方i的影响因子为Δji，采用式（18）偏导法求Δji。

式中：n—设计变量个数，定义第j个设计变量xj对全部m个优化目标的影响因子集合为Δj，求得三个变量的影响因子集合为：

（1）对影响因子进行模糊聚类，首先对数据进行标准化处理、建立模糊相似矩阵、求模糊聚类矩阵。

对B采用式（20）平移－极差变化方法求得：

采用欧拉距离法求得模糊相似矩阵R=(rij)n×m。

以下是求欧拉距离方法公式：

式中：c—相关系数。对R自平方求得传递闭包t(R)，求等价矩阵=t(R)，取分类系数k截取矩阵进行模糊聚类，得到模糊聚类矩阵RK如下：

在上式中：

其中，k的取值范围为［0，1］。

求得传递闭包t(R)结果为：

k依次取t(R)中各元素0.8010，0.8027，0.9963，1.000，所得到的模糊聚类矩阵分别为：

当分类系数k为0.8010时，全归一类｛x1，x2，x3｝，当分类系数k为0.8027和1时，分为3类｛x1｝，｛x2｝，｛x3｝，当分类系数k为0.9963时，分为2类｛x1｝，｛x2，x3｝，因为有两个博弈方，所以取分类系数k为0.9963，得到博弈方A1的策略集为T1=｛x1｝，博弈方A2的策略集为T2=｛x2，x3｝。

4.1.6 确定各博弈方收益函数

将设计变量集合转换为各博弈方的策略集后，将三个设计变量的下限定为初始策略集和分别为T1、T2的初始策略集，其中：

根据合作竞争策略，博弈方的收益函数为：

式中：ui—各博弈方的收益函数；m—博弈中博弈方的数量；wii—权系数与博弈方竞争程度相关，值越大则表示竞争越激烈，wij相反。

此处取wii=0.8，wij=0.2。博弈总收益u为u=u1+u2。

4.2 粒子群优化求解算法

对于建立的上肢腿部件优化博弈模型，需要对收益函数u搜寻最优解，这里采用有参数设置少、易收敛和运算快等特点的粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）求解目标函数最优解。该算法常用于解决许多全局优化问题，能满足实际工程应用。

粒子i的第d维速度更新公式：

粒子i的第d维位置更新公式：

式中：qi—权重因子；c1和c2—加速因子；pid—局部最优位置；gd—全局最优。

4.3 优化结果对比

对博弈总收益u采用粒子群算法求最优解，再比较粒子群算法对统一后的函数D求最优值，两种优化方法迭代过程，如图4所示。

图4 两种优化算法迭代过程Fig.4 Iteration Process of Two Optimization Algorithms

由图4可知，博弈-粒子群算法经过两次阶跃趋于最优，粒子群算法经过一次突变趋于最优，前者比后者迭代少、收敛快。最终求得各设计变量最优解及优化目标结果对比，如表2所示。

表2 优化结果对比Tab.2 Comparison of Optimization Results

为了分析整体优化效果，定义单位功耗内抗变形提升能力指标Δδ，如式（29）所示，其值越大表示优化结果对于整体优化效果更好。

由运算可得，博弈－粒子群算法相比于粒子群算法运算时间减少为一半，相对于原始模型两个优化目标wyuan=0.19mm，pyuan=117W，粒子群算法在w和p方面分别提高了63%和26%，单位功耗内抗变形提升能力Δδli为4.8×10-3mm∕W；博弈－粒子群算法在w和p方面分别提高了47%和12%，单位功耗内抗变形提升能力Δδboyi为6.4×10-3mm∕W，由此可得博弈－粒子群算法在单位功耗内抗变形能力提升比粒子群算法高1.3倍，优化效果更加理想。

5 上肢腿有限元数值模拟验证

为了研究优化后上肢腿在两种极限工况载荷作用下结构强度与变形情况，设置Abaqus 中分析步为静态通用，分别对原模型、粒子群算法、博弈－粒子群算法优化后的三个结构进行有限元分析，验证所设计结构的安全性。

5.1 有限元前处理

上肢腿模型网格设置为六面体单元形状，原模型有69209个单元，如图5所示。粒子群算法优化后的模型有118155个单元，博弈－粒子群算法优化后的模型有118151个单元，优化后模型除与原模型在单元数量不同外其余设置都相同。设置材料属性密度为2.810×109tonne∕mm3，杨氏模量为72000E∕MPa，泊松比为0.33，屈服应力504MPa。对推杆1、2与上肢腿铰接孔两处进行固定，对上、下肢腿铰接处和上肢腿和固定台铰接处以耦合参考点的形式施加载荷Fe和Fd。

图5 原上肢腿模型网格划分图Fig.5 Grid Partition Map of Original Upper Limb Model

5.2 有限元结果分析

经ABAUQS后处理得到原模型与优化后模型的有限元分析结果，如图6所示。

图6 优化前后有限元数值模拟结果Fig.6 Finite Element Numerical Simulation Results before and after Optimizations

上述三种结构的应力应变分析，如表3所示。其中，优化前最大变形发生在y方向，为6.7mm，优化后最大变形分别降低为原来的46%和33%；而最大应力位置都出现在侧板中段处。这表明优化后结构抗变形能力提升效果明显，满足在极限工况下的使用要求。

表3 上肢腿优化前后各项参数对比Tab.3 Comparison of Parameters Before and After Upper Limb Optimization

6 结论

针对南极科考平台肢腿部件在极限支撑和雪丘雪隆地形下抬腿时肢腿部件承载能力差、强风环境引起行驶功耗大的设计问题，以肢腿部件为研究对象，开展结构优化设计研究。

（1）提出一种基于合作博弈的南极科考平台肢腿部件多目标优化设计方法，将肢腿在受载发生最小变形、行驶最小功耗多目标优化问题转换为博弈问题求解肢腿部件的结构特征参数最优解，求解结果表明博弈－粒子群算法对比单纯粒子群优化算法不仅所需运算时间少，而且单位功耗内抗变形能力提升更高。

（2）对原肢腿模型、粒子群算法优化和博弈－粒子群算法优化后肢腿模型进行有限元数值模拟，可得两种优化后的模型最大应变分别降低为原来的46%和33%，最大变形改善效果明显，满足肢腿部件在极限支撑和雪丘雪隆地形下抬腿工况的使用要求，验证了优化后结构的安全性。