基于SQP的小尺寸大承载隔振弹簧优化设计

刘宇航，圣小珍，祁孟盂，肖新标

（西南交通大学牵引动力国家重点实验室，四川 成都 610031）

1 引言

弹簧广泛应用于各类缓冲和减振结构，种类繁多，其中圆柱螺旋弹簧又因刚度稳定、承载力强、工艺成熟、寿命较长等优点，一直以来在各工程领域都发挥着重要作用。弹簧隔振器中，圆柱螺旋弹簧隔振器受到了较多的应用，其中隔振弹簧一般由一组或多组单弹簧构成，具有固有频率低、承载能力高、环境适应强等特点；铁路车辆中，转向架的一系悬挂部件由圆柱螺旋弹簧组成，关系到机车平稳性、安全性，决定着转向架垂向动力学性能。

随着空间和承载要求的提高，一系悬挂部件不断被优化，高速动车组中更是采用了内外组合弹簧的形式，以提升相同空间下弹簧的承载率。

螺旋弹簧隔振器在面对空间限制较严，承载要求较大的情况时，不仅要保证稳定的刚度性能，还需具有足够的承载大小，因此要进行系统的优化设计以满足指标要求。为了提高承载性能，借鉴高速动车组一系悬挂的特征结构，确定了用内外组合弹簧的形式来替代传统单弹簧，并在此基础上完成隔振弹簧排布和参数的优化设计。

螺旋弹簧虽然结构简单，计算方法和制作工艺成熟，但设计时涉及变量较多，各变量之间又会相互影响。传统的设计方法在经过反复尝试和验算后虽然能满足一般使用要求，但难以在指标要求范围内寻得最优方案。而利用优化算法进行弹簧的优化设计既可减少设计阶段的工作量，更能得到满足指标要求的最优方案，因此得到了较多研究和开发。为了减少外界不确定因素对弹簧自身性能的影响，降低相关参数变化对可靠性的灵敏度，提高弹簧的稳健性，许多研究便是以可靠性和稳健性为目标，进行弹簧的优化设计［1-3］。弹簧质量会影响减振效果以及整体性能，因此满足基本指标的基础上，以减轻质量为目标的优化设计也做了较多研究［4-5］。而当面对优化项较多时，只以其中某个参数为目标还不能达到设计指标的全局优化，因此需进行多目标优化设计的研究［6-8］，以得到满意的方案。尽管关于弹簧优化设计的不同目标和各种算法都有较多研究和使用，但针对隔振弹簧以提高承载为目标的优化设计还相对较少。并且在众多优化算法中，序列二次规划法（Sequence Quadratic Program，简称SQP）是处理中小规模非线性规划问题最优算法之一［9］，十分适用于隔振弹簧的优化设计。

根据某泵类隔振器的工作需求，针对小尺寸、大承载的具体特征，为了设计出满足指标要求的隔振弹簧，首先确定了能有效利用空间的内外组合弹簧的基本形式；然后基于SQP算法，探究满足刚度指标，符合弹簧设计标准的最优排布；最后以承载性能为优化目标，对弹簧的参数进行优化设计，得到满足指标要求的小尺寸、大承载隔振弹簧设计方案。

2 弹簧设计及SQP原理

2.1 单弹簧的设计流程

圆柱螺旋压缩弹簧的传统设计方法已十分成熟，基本设计流程明确。通常已知弹簧的工作载荷和工作变形范围，根据载荷类型和大小选取弹簧制作材料，得到对应的许用切应力［τ］。再由最大工作载荷F，计算出满足使用要求的线径d。然后初步选取旋绕比C，确定弹簧中径D。依据刚度设计指标，计算出有效圈数n。如此便得到了弹簧的三个关键参数：弹簧线径d、弹簧中径D、有效圈数n。弹簧的两端有一定的支承圈数m，一般在设计和制造中根据需要取（1.5～2），有效圈数和支承圈数相加可得到总圈数n1。由总圈数便可计算出弹簧节距t和弹簧自由高度H0。到此便得到了弹簧制造中所需的基本参数。

为了方便弹簧的加工制造以及保证在使用过程中具有稳定的性能，还需对弹簧的各项特性进行一一校核。首先便是压并特性的校核，压并高度Hb需小于弹簧在最大工作载荷下的压缩高度，以避免弹簧在工作时簧圈发生互相接触，并且弹簧的压并应力τb需保证小于许用应力［τ］，这是由于在弹簧制造过程中需要通过压并来消除残余应力，以减轻蠕变现象，而如果压并应力过大则会带来制造工艺上的困难；其次是稳定特性的校核，为了保证弹簧在压缩过程中不发生失稳现象，需校核弹簧高径比b是否在允许范围之内；最后是共振特性的校核，因为弹簧自身具有一定的质量，所以存在自振频率fe，需校核弹簧设计是否避开了外界干扰频率，以防共振现象的发生。为了方便说明，将以上弹簧设计和校核中涉及的相关参数及公式汇总，如表1所示。

表1 弹簧设计和校核公式Tab.1 Spring Design and Checking Formula

表中：K—曲度系数，取值大小由旋绕比C影响；

G—材料的剪切模量取78.5GPa；

ρ—材料密度取7850kg∕m3。

2.2 组合弹簧的设计准则

为了提升相同空间下弹簧的承载率，将以内外组合弹簧的形式替代传统单弹簧。单弹簧的最大承载由表1中的公式可知，而对应组合弹簧的最大承载如下：

当旋绕比C=4时，可由式（2）得到相同空间下的组合弹簧最大承载F′与单弹簧最大承载F之比为：

可见此时组合弹簧相较于单弹簧，最大工作承载为其1.25倍，因此以组合弹簧的基本形式进行优化设计，可以有效提升承载性能。

组合弹簧由内外两个单弹簧构成，其基本设计原理和校核准则与单弹簧相同，但内外单弹簧间需遵守如下准则［10］：

（1）内外单弹簧的受压强度应接近，需大致满足以下关系：

（2）内外单弹簧的自由高度和受压变形量应相同，且都应在安全变形范围之内。

（3）内外单弹簧间的间隙δ需满足：

（4）内外单弹簧需保证同心且旋向相反，端部支承结构需防止弹簧在工作中偏移。

由弹簧的基本设计原理可知，不管是单弹簧还是组合弹簧，传统的设计流程里都需要选取多个旋绕比值C，以及暂定自由高度H0，并对设计结果进行多方面的校核，如若不满足要求则需对初始参数进行重新选取计算，直到得出满意的结果。而当以组合弹簧的基本形式，面对承载要求较高，尺寸限制较严的情况时，更加大了设计难度和计算量，并且由于限制条件较多，难以得到最优的弹簧方案，因此选择科学合理的算法对隔振弹簧进行系统的优化设计十分必要。

2.3 序列二次规划（SQP）算法原理

序列二次规划（SQP）算法最初由Wilson 于1963 年提出［11］，至今为止，经过国内外学者不断补充和完善，已发展到了相当成熟的阶段。SQP算法对约束优化问题进行计算时，首先在每个迭代点构造一个二次规划子问题，然后将该子问题的解作为迭代搜索的方向，最后沿该搜索方的方向进行一维搜索，直到逼近约束优化问题的解［12］。因此该算法在解决非线性约束优化问题具有收敛速度快，计算效率高等优点。

一般的非线性约束优化问题可以表达为：

式中：X—优化变量；f（X）—目标函数；gu（X）、hv（X）—不等式约束条件和等式约束条件。

在给定点Xk后，将约束条件转化成线性函数，并对拉格朗日（Lagrange）进行二次多项式近似，为了保证其解为可行点，再令S=X-Xk，得到如下关于变量S形式的二次规划子问题：

求解此二次规划问题，将其最优解S*作为原问题的下一个搜索方向Sk，并在该方向上进行原约束问题目标函数的约束一维搜索，即可得到原约束问题的一个近似解Xk+1，反复迭代该过程，直至求得最优解。

因此，相较于隔振弹簧的传统设计方法，基于SQP的优化设计便捷高效，可避免设计流程中的反复尝试、验证，大大减小工作量的同时，还能依据合理的约束条件和优化目标得到最优的隔振弹簧设计方案。

3 隔振弹簧排布的优化设计

3.1 隔振弹簧的设计要求

在分析探究前，需对隔振器的设计要求作充分了解，确保在满足指标参数的基础上展开隔振弹簧的优化设计。某泵类设备隔振器的设计指标，如表2所示。

由表2可知，设计出来的所有的隔振弹簧均需限制在（400×400×400）mm的空间之内，承载要求高达45t，属于弹簧尺寸受到严格限制的大承载设计。隔振弹簧不仅承受泵类设备自身静载荷，还要受到工作时的循环动载，因此产生疲劳损伤。若以提高承载性能为优化目标，则能有效降低弹簧动应力水平，减缓疲劳作用的损害，延长隔振器使用寿命。

表2 隔振器设计指标Tab.2 Design Indicators of Vibration Isolator

由表1的计算公式可知弹簧承载性能受到许用切应力［τ］的直接影响，选择合适的［τ］值是优化设计的基础。铁路车辆中的悬挂弹簧也同样受到持续动载的作用，参照TB∕T 2211-2010《机车车辆悬挂装置钢制螺旋弹簧》中的疲劳强度要求：在特定动载系数下要保证弹簧具有不低于300万次的循环加载寿命。并且铁路悬挂弹簧在设计时一般取［τ］=740MPa。依据弹簧设计规范［12］，对于大线径的热成型弹簧，动载荷下的许用切应力［τ］范围为（426～712）MPa，具体取值由所选材料决定，本次设计中选择疲劳强度较高的弹簧钢材料60Si2CrVA，可取［τ］=710MPa，对照铁路悬挂弹簧的疲劳标准和设计要求，可认为该值是考虑了隔振器在动载作用下疲劳寿命的合理取值。

为了降低动应力水平，提高疲劳寿命，整体承载性能不仅要达到指标要求，还需尽可能的进行优化提升。而确定一种能有效利用空间的排布形式是提高承载性能的关键，因此对隔振弹簧参数进行优化前，首先应进行隔振弹簧排布的优化设计。

3.2 不同排布方案的说明

由于给定面积为方形，为了充分利用空间显然最好以方形阵列排布。依据不同弹簧数量，探究以下三种方形阵列的排布方式：（1×1）排布的1组弹簧，（2×2）排布的4组弹簧，（3×3）排布的9组弹簧。三种排布方式的具体示意，如图1所示。

图1 三种弹簧排布方式Fig.1 The Three Arrangements of Springs

为了对比三种排布方式在满足隔振指标要求和弹簧设计准则的同时，各自承载性能的优劣，采用控制变量的方法进行探究，作以下规定：

（1）三种弹簧排布方式的尺寸界限均需严格限制为：（400×400）mm。

（2）各组弹簧间安全间隙取值为10mm，弹簧与界限间安全间隙取值为5mm。

（3）均以内外组合弹簧设计，取旋绕比C=4。

（4）为了达到指标要求，三种排布下整体垂向刚度均应保证15kN∕mm。

其中，（1）和（2）规定了三种排布方式下弹簧的面积空间和安全间隙需保证相同；（3）规定了影响弹簧性能的旋绕比C不变以观察排布形式对承载大小的影响；（4）规定了三种排布方式的垂向刚度需与设计指标保持一致，因为影响隔振性能的关键因素为刚度，在进行隔振弹簧排布的优化设计时，若抛开指标要求是毫无意义的。

3.3 排布优化结果

参照控制变量法中的规定（1）～（4），保证相同面积空间、安全间隙和旋绕比，对整体垂向刚度以指标要求值为目标进行优化设计。由于弹簧高度仅影响横向刚度性能（具体公式见第3节），并且可以通过增减高度在不改变承载大小和垂向刚度的基础上调节横向刚度，因此这里对横向刚度暂不作考虑。由表1可知，垂向刚度由弹簧线径d、弹簧中径D、有效圈数n决定，为了便于分析，暂不考虑弹簧高度及其它特性校核，只对弹簧的三个关键参数进行优化设计，设计变量取：

首先对于（1×1）排布方案，利用MATLAB中SQP算法程序进行优化设计，以垂向刚度为优化目标，考虑到优化计算时取极小值，因此由表1公式，带入相关参数可得以下目标函数：

依据控制变量规定，弹簧外径大小需满足D1+d1≤390，显然增大外径尺寸是提高承载性能的有利因素，因此这里直接将上式转化为以下等式约束：

依据外弹簧中径D1和线径d1，由组合弹簧设计准则中式（4）可得约束：

依据标准［12］，内外弹簧的有效圈数约束为：

内外弹簧的旋绕比约束为：

其余两种排布可同理推得相应目标函数和约束条件，这里不再一一展开。由表1可得弹簧最大工作承载的计算公式：

式中：K—曲度系数，与旋绕比C的取值相关：

在Fmincon函数中输入以上目标函数和约束条件，可对隔振弹簧在不同排布下，以垂向刚度为优化目标进行关键参数优化，最后进行优化结果汇总，如表3所示。

由表3的优化结果可知，随着排布阵列中弹簧数量的增多，整体的承载性能是逐渐减小的，因此若单从承载方面考虑，最优的排布形式为：（1×1）排布的1组弹簧。但依据本次隔振器设计的垂向刚度指标值15kN∕mm，从表中结果来看（2×2）和（3×3）两种排布均能得到优化极值，满足指标要求。但（1×1）排布优化结果中，当内外弹簧的有效圈数均为最小的2圈时，整体垂向刚度仅为8.97kN∕mm，与指标值相差较大。说明在给定约束条件下，（1×1）排布方案无法设计出满足指标要求的隔振弹簧。因此（2×2）排布的4组弹簧为最优排布方案，在给定约束条件下整体承载可达37.9t。

表3 三种排布形式的优化结果Tab.3 Optimal Results of Three Forms of Arrangement

4 隔振弹簧参数的优化设计

虽然前面已利用控制变量的方法，对弹簧排布形式进行了优化设计，并得到了最优排布下的弹簧关键参数。但由结果可知，最大工作承载并未达到指标要求值45t，且尚未考虑隔振弹簧的横向刚度大小kr和自由高度H0等其它基本参数。因此，在（2×2）排布的基础上，将对弹簧参数作以提高承载为目标的进一步优化。

螺旋弹簧的垂向刚度可认为是不变的常数，计算方法较为简洁准确。而横向刚度计算则较复杂，不仅涉及到自身参数、截面形状，还会受到垂向承载大小的影响。一般来说，为了简化计算可将弹簧看作悬臂梁，并利用等效弯曲刚度和等效剪切刚度等弹性力学理论进行推导计算，计算公式如下［12］：

式中：η—垂向承载大小的相关量，这里为了方便优化设计，对载荷进行忽略，取η=1，以弹簧自由状态下的横向刚度为指标进行约束。

本次优化设计以隔振弹簧的最大工作承载为目标函数，对弹簧高度、指标要求及其它特性校核作全面考虑，设计变量取：

同样利用MATLAB中SQP算法程序，以4组弹簧的最大工作承载为优化目标，由表1公式，带入相关参数可得：

约束条件中同样包括界限约束g1（x），由排布方案为（2×2）可得：

而中径与线径约束g2（x）同式（9），有效圈约束g3（x）和g4（x）同式（10）。

旋绕比C取值规定［13］，在线径d≥16mm 的时候推荐取（4～16，）而重载弹簧一般曲率较大，为了提高承载其旋绕比C可取小于4的值［14］，目前市场上大承载隔振弹簧的旋绕比甚至可取到3左右，而低于3时便会极大增加卷制难度并且对加工设备产生损伤，因此旋绕比取值规定C≥3，得到内外弹簧的约束如下：

因为是以承载为目标优化，隔振弹簧垂向刚度范围可取在设计指标的工程允许误差范围内，k上限取16kN∕mm，k下限取14kN∕mm，可得垂向刚度约束为：

在垂向刚度约束的基础上，由式（14）可得横向刚度约束：

弹簧高度受到有效圈数和支承圈数的影响，而在同等工况下，支撑圈数适当增加，过渡处的应力水平有较明显的降低［14］，因此这里取支承圈m=1.7。弹簧高度设计过高将造成高径比较大，易发生压缩变形失稳；弹簧高度设计过低将造成在工作中发生簧圈接触，导致弹簧损坏。因此结合表1，内外簧的稳定性约束和压并高度约束如下：

弹簧在制造时需进行压并，并保证压并应力在许用应力之内，由表1可先得到内外簧的压并载荷：

已知压并载荷下，可得到内外簧的压并应力约束如下：

因为弹簧受力工况为频率10Hz的动载荷，根据规范［11］需保证弹簧自振频率与外界频率之比大于10，因此，再对内外弹簧分别进行共振验算并作如下约束：

以上便是隔振弹簧在（2×2）排布的基础上，以承载性能为优化目标，增加了设计变量自由高度H0，放宽了旋绕比C和垂向刚度kv的取值范围，考虑了横向刚度指标的约束条件，同时校核了压并特性、稳定特性、共振特性的隔振弹簧参数优化设计，同样在Fmincon函数中输入后，基于SQP算法的目标函数迭代过程，如图2所示。由图2可见，随着迭代次数的增多，目标函数逐渐趋于极小值。迭代60多次后便得到了满足约束条件的最优值，效率较高。将优化后的弹簧各项参数汇总，与优化前对比，如表4所示。

图2 目标函数的迭代过程Fig.2 Iterative Process of Objective Function

表4 弹簧参数优化前后结果Tab.4 Parameters Before and After Spring Optimization

由表4可知，在（2×2）排布的基础上，对弹簧参数作了进一步的优化设计。优化后弹簧的旋绕比介于（3～4）之间，在可加工范围之内；整体垂向刚度为16kN∕mm，在可接受范围之内；整体横向刚度大于12kN∕mm，满足指标要求。承载性能上，优化前后隔振弹簧的最大工作承载由37.9t增加到50t，提升幅度为32%，在达到指标要求的同时也有效降低了动应力水平，延长了隔振弹簧的使用寿命。为了方便加工制造，最后还需将弹簧设计参数进行圆整，圆整后的各项结果，如表5所示。

表5 隔振弹簧优化设计结果Tab.5 The Design Result of Vibration Isolation Spring

由表5可见，在基本不改变刚度和承载性能的基础上，弹簧中径、线径、圈数、高度等各项参数均取符合制造工艺的圆整值，得到了隔振弹簧最终设计方案。为了说明本次优化结果的可靠性，下面对圆整后的弹簧参数作关于弹簧设计标准的验证，包括压并特性、稳定特性、共振特性，校核公式由表1可得，校核结果，如表6所示。

表6 优化结果的可靠性验证Tab.6 Reliability Verification of Optimization Results

由表6可知，圆整后的弹簧通过了上述特性校核，优化结果是可靠的。因此本次以承载为优化目标，基于SQP算法的隔振弹簧设计，是既满足隔振指标，也符合弹簧标准的合理方案。

5 结论

针对某泵类设备的隔振设计要求，展开了对小尺寸、大承载隔振器中隔振弹簧的优化设计，得到以下结论：

（1）当螺旋弹簧隔振器面对布置空间受限、承载较大的情况时，为了提升弹簧承载率，可以采取内外组合弹簧的形式替代传统单弹簧，旋绕比C=4时，相同空间下组合弹簧的最大工作承载为传统单弹簧的1.25倍。

（2）隔振弹簧排布的优化设计，当呈方形阵列排布时，个数越多整体承载越小。综合考虑指标要求和设计标准，隔振弹簧呈（2×2）排布为最优方案。

（3）隔振弹簧参数的优化设计，在总尺寸不变并符合各项设计要求下，最大工作承载由37.9t优化到50t，提升幅度为32%，优化效果十分明显。

（4）对弹簧参数的优化结果进行圆整后得到了最终设计方案，满足隔振指标及弹簧标准。可见基于SQP算法，以承载为优化目标，对其中的隔振弹簧进行系统优化是十分便捷高效的，该方法可为小空间下大承载量的弹簧设计提供科学指导。