复杂曲线轮廓的高精度加工方法研究

蔡安江，庞飞彪，吴隽楠

（西安建筑科技大学机电工程学院，陕西 西安 710055）

1 引言

复杂曲线的加工一般采用生成大量微小直线段来逼近加工曲线的方法，然而微小直线段拐角处只有位置连续，速度方向变化不连续，机床需频繁的加减速，易引起机床震动，降低加工精度和加工效率［1］。如何生成光滑的刀具路径是提高复杂曲线加工精度的关键。

近年来，学术界在刀具路径平滑技术上做了大量的研究。文献［2］针对工业机器人连续路径轨迹的稳定性及轨迹规划精度问题，采用三次Bezier三角样条曲线完成指定的工业机器人连续路径的轨迹规划，能得到平滑连续的速度和加速度曲线。文献［3］提出了一种不对称过渡轮廓角轨迹平滑方法（AT-CTS），具有较高的重现性和生成的不对称角，各运动轴的运动极限和动态特性不同时，利用驱动器的性能来获得周期较短的轨迹；文献［4］根据样条曲线拟合算法不能满足精度要求，曲线插值算法不易于实时局部修改的缺点，提出一种改进B样条曲线拟合算法。文献［5］提出了一种基于公差带的G2连续Bezier曲线刀具轨迹平滑算法，并建立公差带，对不满足轮廓误差要求的二次有理Bezier曲线进行重构，生成一个满足加工精度的全局G2 连续的加工路径。文献［6］对微线段转角在满足加工精度的条件下采用圆弧过度，此方法优势在于机床只需要进行直线插补和圆弧插补，但圆弧转接的方式不能使曲线的曲率连续，无法达到G2连续。

针对复杂曲线的高精度加工问题，采用基于公差带的刀位点调整策略，达到降低逼近误差的效果，对调整后的刀位点进行5次B样条曲线转接，实现刀具路C3连续，提高加工精度。

2 连续微小直线段加工区域识别

复杂曲线的加工通常以连续的微小线段逼近设计曲线来达到加工精度要求，这样就不可避免的产生逼近误差。对于设计曲线为长直线段时，刀位点不需要处理；对连续微小直线段的加工区域应先识别，并进行刀位点调整。

连续微小直线段加工区域的识别，先识别出长直线段加工区域，非长直线段区域即为微小直线段加工区域；再识别出破坏微小直线段连续性的尖点以及影响刀位点调整策略的拐点。将长直线端点、尖点与拐点作为连续微小直线段加工区域分段点。

2.1 长直线加工区域的识别

设定长度阈值，将复杂曲线的最小的直线段作为长度阈值Lmin，相邻刀位点之间的距离大于等于设置的长度阈值时，设定为可以直接进行直线插补区域；相邻刀位点之间的距离小于设置的长度阈值时采用微小直线段进行逼近。

2.2 尖点（一阶导数不连续点）的识别

图1 刀具路径存在尖点Fig.1 Sharp Points in Tool Path

2.3 拐点（二阶导数为零的点）的识别

曲线在拐点的前后曲线弯曲方向发生变化，为此设定拐点处的刀位点作为连续微小直线段区域的分段点，拐点的判别方法为：若ρa*ρb＞0且ρb*ρc＞0，则b点为拐点［8］。

3 基于公差带约束的刀位点调整方法

转接样条曲线刀具路径转接处曲率的连续性可以提高复杂曲线的加工精度，采用B样条曲线进行拐角过渡，B样条曲线由基函数Ni，k（u）、n+1 个控制定点Pi=（Xi，Yi）以及样条曲线次数（k-1）共同定义了插在两个刀具轨迹段之间的微样条曲线，表达式如下［9］：

基函数Ni，k（u）是几何参数u和节点向量U=[u0，u1，…，un+k]的函数，表达式如下：

为满足采用样条曲线过渡后生成的刀具路径达到C3连续，因此通过调整5次B样条曲线的7个控制点位置，使5次B样条曲线与直线段过渡点的P0、P6曲率为0，实现曲率连续。

采用样条曲线转接形成的转接误差为拐角处刀位点P3与样条曲线肩点的距离ε2。5次B样条的7个控制顶点的方法设定，如图2所示。前3个与后3个控制顶点分别置于转接的两段直线段中，第4个控制顶点置于拐角处的刀位点，为确保B样条曲线的对称性，将节点矢量定义为：

图2 5次样条曲线过渡转接误差Fig.2 Transition Transition Error of 5th Spline Curve

通过B样条曲线次数与节点矢量，可将控制顶点定位后就可建立样条曲线函数。

3.1 刀位点调整区域识别

根据尖点识别条件，刀位点c点为尖点，曲线A上的刀位点a、b、c调整为a’、b’、c1’；曲线B上的刀位点c、d、e调整为c2’、d’、e’；由于c点处的曲率不连续，导致c1’与c2’不重合，出现调整错误，所以尖点处刀位点不作调整，如图3所示。根据拐点识别条件，拐点d前后曲线凹凸性不同导致d点调整后d1’点与d2’点不重合，出现调整错误，所以拐点处刀位点不作调整，如图4所示。所以基于公差带约束的刀位点调整区域为：以长直线刀位点、尖点以及拐点作为分段点的微小直线段加工区域，即为连续微小直线段加工区域。

图3 含尖点的微小直线段Fig.3 Tiny Straight Line Segment with Sharp Points

图4 含拐点的微小直线段Fig.4 Tiny Straight Line Segment with Inflection Points

3.2 刀位点调整方法

为使刀位点逼近误差减小，则对连续微小直线段区域内部刀位点采用基于公差带约束的调整方法。设定：上偏差与下偏差为εmax，εmax为最大加工误差，逼近误差为ε1。已知ε1＜εmax。

妈，你都退休了，怎么又喜欢大红大绿的衣服了？看见母亲身上花得夸张的衣服，苏楠突然想到了杨小水，尽管她们年龄相当，但杨小水决不会穿这样的衣服。

曲线C（u）采用连续微小直线段转接，A、B、C为生成的刀位点，ε1为微小直线段逼近误差，ε2为5次B样条曲线转接误差，εmax为机床最大加工误差，如图5（a）所示。

基于公差带约束的调整方法为：将误差敏感方向作为刀位点调整方向，由于在曲率连续变化的曲线中，相邻微小直线段近似相等，因此将拐角B的角平分线作为刀位点B处的误差敏感方向。以转接误差ε2为调整距离，将刀位点A、B、C的位置调整为A’、B’、C’，如图5（b）所示。调整后的逼近误差为ε1’：

图5 刀位点调整Fig.5 Knife Position Adjustment

由此可知，基于公差带约束的刀位点调整方法可以使连续微小直线段的逼近误差大大降低。

4 刀具路径的平滑转接技术

4.1 拐角样条曲线最优控制点计算

采用5次B样条曲线进行过渡转接，为了实现接合点P0（u=0）和P6（u=1）的加速度和加加速度连续性，首先需要保证过渡样条曲线与拐角直线段相接点（P0点、P6点）的C3连续性，条件为样条曲线P相对于刀具路径长度S的二阶导数、三阶导数皆为0。

根据文献方法［10］得P1=2P2=P3，P0=（5P2-P3）∕2；同理当u=1，P5=2P4=P3，P6=（5P4-P3）∕2，定义P2P3=L，则P0P3=2.5L、P1P2=2L。由5 次B样条曲线的对称性可得P3P4=L、P3P6=2.5L、P3P5=2L，上述论证可知，确定了P2P3段长度L确定，则可确定过渡曲线控制点，从而确定了转接样条曲线。在刀位点不进行调整的传统拐角过渡算法中计算L的约束条件为：定义的最大过渡误差约束ε2max以及拐角两端直线段长度约束。

由于最大位置误差应小于用户定义的位置误差约束，即：

还受到拐角两端微小直线段长度L1L2约束。

采用的基于公差带调整的B样条曲线拐角过渡算法将确定P2P3段长度L的情况分为两类：第一类是拐角刀位点调整的连续微小直线段区域，相邻微小直线段之间的过渡转接；第二类是拐角刀位点不进行调整的非连续微小直线段区域内直线段过渡转接，包括长直线段之间的过渡转接、长直线段与连续微小直线段区域之间的过渡以及相邻连续微小直线段区域之间的过渡（拐点及尖点）。

4.2 第一类过渡转接

第一类过渡转接是连续微小直线段区域内的过渡转接，此类型过渡转接前将刀位点沿敏感方向进行调整，调整的大小为过渡误差ε2，即为样条曲线中点P（0.5）与样条曲线的控制定点P3之间的距离，所以基于公差带的刀位点调整会预先补偿由采用样条曲线过渡带来的转接误差，在确定L时不需考虑设定的位置误差ε2max，只与相邻微小直线段的长度相关，即L=min（L1∕5，L2∕5）。

调整后的刀位点信息为AB≈A′B′、BC≈B′C′、∠B≈∠B′调整后的刀位点A′B′C′处采用5次B样条过渡后样条曲线的中点P（0.5）与刀位点A、B、C基本重合，调整前最大误差为采用微小直线段逼近的逼近误差ε1，调整后的最大误差为逼近误差减去刀位点调整距离在逼近误差方向上的分量即为ε1-ε2*cos（α∕2），大大降低了逼近误差。

4.3 第二类过渡转接

第二类是非连续微小直线段区域内的过渡转接，包括长直线段之间的过渡转接、长直线段与连续微小直线段区域之间的过渡以及相邻连续微小直线段区域之间的过渡（拐点及尖点）。此类过渡转接中拐角的刀位点没有调整。存在于长直线段之间的过渡转接时，过渡样条曲线控制点定位，只需要考虑转误差是否满足要求，即L≤4ε2max∕3cos（α∕2）；存在于长直线段与连续微小直线段区域之间的过渡转接，过渡样条曲线控制定点定位时需要考虑转接误差约束以及微小直线段端的长度约束，即L≤min（4ε2max∕3cos（α∕2），L2∕5）；存在于相邻连续微小直线段区域之间尖点及拐点的过渡转接，过渡样条曲线控制定点定位时需要考虑转接误差约束及过渡曲线两端微小直线段的长度约束，即L≤min（4ε2max∕3cos（α∕2），L1∕5，L2∕5）。算法流程，如图6所示。

图6 算法流程图Fig.6 Algorithm Flowchart

5 仿真验证

仿真验证采用的复杂曲线，如图7所示。CATIA软件设置加工精度为0.02mm，生成由288个刀位点，即生成287段微小直线段以逼近原加工曲线。将288个刀位点信息输入到VERICTU软件中完成实验轮廓曲线的加工。

图7 仿真轮廓曲线Fig.7 Simulation Contour Curve

微小直线插补刀位点的误差分布图，如图8（a）所示。使用MATLAB 软件对CATIA 软件生成的刀位点进行基于公差带约束，进行刀位点调整处理，将处理后的288 个刀位点信息输入VERICUT进行仿真加工。处理方法如下：计算处本次实验复杂曲线存在4个拐点，分别是X=-97.878、Z=-37.764，X=85.433、Z=-18.322，X=96.997、Z=22.535，X=-96.582、Z=34.677，可将曲线分为四段进行处理，根据2.1中的方法对刀位点进行分类，仿真实验轮廓属于第一类过渡转接。对于第一类过渡转接，刀位点调整距离计算，其中，L=min（L1∕5，L2∕5）。使用算法后加工路径的误差分布，如图8（b）所示。

图8 误差分布Fig.8 Error Distribution

未使用算法最大误差为0.02021mm，平均误差为0.01191mm，使用算法最大误差为0.01417mm，平均误差为0.00834mm。对比结果表明该算法可使刀具路径误差减小，能有效提高复杂曲线加工精度。

6 结论

（1）提出的基于公差带约束的连续微小直线段刀位点调整方法及采用C3连续的5次B样条曲线刀具路径拐角过渡算法，实现了刀具路径的平滑转接，有效提高了复杂曲线的加工精度。

（2）提出了基于公差带约束的刀位点调整方法。根据转接误差将刀位点在误差敏感方向上进行调整，得到的刀位点比调整前的刀位点逼近误差更小，有利于实现高精度加工。

（3）将拐角过渡转接方式分为拐角刀位点调整的第一类转接与拐角刀位点不进行调整的第二类转接，对两类过渡转接方式采用不同约束条件，简化了过渡转接曲线的求解，提高了曲线求解效率。