两种电容效应的六维力传感器结构设计及解耦

蒲明辉，胡世通，罗 祺，潘海鸿

（1.广西大学机械工程学院，广西 南宁 530004；2.广西制造系统与先进制造技术重点实验室，广西 南宁 530004）

1 引言

力传感器作为工业智能化最重要的设备之一，广泛应用在机械加工、汽车制造、智能机器人以及航空航天等领域。力传感器种类较多，其中在电容式多维力传感器研究方面，文献[1]以平行板极电容效应为基本原理，设计出一种适用于机器人腕部的电容式六维力传感器，其通过检测因电容器正对面积和极板间距改变引起的电容改变值获得力值。文献[2]同时采用电压和电容技术，结合平行板电容效应和压电效应，设计了一种类似于牙齿的安全抓握力传感器。文献[3]将四个电容器的八个极板分别置于上下两个硅胶柔性基体上，设计了一种应用于机器人仿真皮肤的电容式二维力传感器，可检测法向力和切向力。文献[4]采用硬质电路板技术和微加工技术设计了一种电容式力传感器阵列，该传感器阵列由四个电容器阵列而成，可对切向力和法向力进行测量。

上述研究的电容式力传感器采用的电容器均为平行板电容器，而由于平行极板电容器自身电容边缘效应的存在，该类电容式力传感器都会因此增加非线性误差。如今，随着对电容边缘效应研究的不断深入，揭示了电容边缘效应的机理并加以利用，形成了垂直极板电容器，使设计出一种基于电容边缘效应原理的力传感器成为了可能。目前在基于电容边缘效应原理的力传感器研究领域，对多维力传感器研究极少，主要集中于单维力矩传感器的研究。其中，文献[5]利用电容边缘效应设计了一种新型电容式力矩传感器，该传感器仅可对轴向扭矩进行测量。

针对上述现状，提出了一种基于两种电容效应的六维力传感器，传感器同时使用平行极板和垂直极板两种电容器，且两种电容器均采用差动式结构。并在整体结构设计上，考虑加工的可行，将其进行分层设计，主要分为主体、测量层、PCB板三层，同时测量层又分为上测量层和下测量层。

2 电容式力传感器原理

电容式力传感器是以电容器作为转换元件，将被测力转换成为容值变化量的一种力检测装置。传感器受力后，敏感元件（如变形梁）发生变形，电容器动、静极板产生相对位移，电容器容值随之变化，最后通过转换计算测得的电容器容值变化量来获取所需要检测的力值。传感器所使用的电容器不同，原理也不同，其中垂直极板电容边缘效应原理和变极距型平行极板电容效应原理如下文所述。

2.1 变极距型平行极板电容效应原理

变极距型平行极板电容效应原理，如图1所示。当忽略电容边缘效应时，平行极板电容器容值计算公式：

图1 变极距式平行极板电容效应原理图Fig.1 Schematic Diagram of Variable Pole Distance Parallel Plate Capacitor

式中：ε—极板间介质的介电常数；S—两极板的相对有效面积（单位m2）；d—两极板间距（单位m）。

外力作用下两极板初始间距d0变化Δd，则初始电容C0变化ΔC：

将式（2）泰勒公式展开得：

当动极板位移量远小于极板初始间距时，即Δd远小于d0，可用式（4）对式（3）进行线性拟合。

由式（3）和式（4）可知，变极距型平行极板电容器容值改变量ΔC与极距改变量Δd理论上为非线性关系，当Δd远小于d0时可近似为线性关系，故其常用于小位移变化的测量中[6]。

根据上述变极距型平行极板电容效应原理分析，将最大变形量Δdmax和最小变形量0代入拟合式（4）得基于变极距型平行极板电容效应原理的电容式力传感器满量程输出YFS：

式中：Ymax—传感器最大输出值；Ymin—传感器最小输出值。

最大拟合偏差ΔYL.max：

由国标GBT 18459-2001《传感器主要静态性能指标计算方法》可知传感器线性度公式：

将式（5）和式（6）代入式（7）可得传感器理论线性度：

由式（1）求一阶导并去掉负号可求得传感器的灵敏度Kd：

由式（9）可知传感器灵敏度Kd与所使用的电容器极板正对面积S正相关，与极板间距d0的平方负相关，与极板宽度W无关。

2.2 垂直极板电容边缘效应原理

垂直方式布置动极板和静极板构成垂直板电容器，静极板非常薄，故静极板和动极板正对面产生的电容可忽略不计，极板间距为h，静极板宽度为W，高度为H，当在两极板间施加电压时，两极板将形成一个边缘场[7]，如图2所示。

图2 垂直极板电容边缘效应原理Fig.2 Schematic Diagram of Vertical Plate Capacitor Edge Effect

两极板产生的边缘电容为[8]：

在外力作用下极板初始间距h0变化Δh，使初始电容C0改变ΔC：

将式（11）泰勒公式展开得：

当动极板位移量远小于极板初始间距时，即Δh远小于h0，可用式（13）对式（12）进行线性拟合。

由式（12）和式（13）可知，基于电容边缘效应的变极距型垂直极板电容器的输入输出特性为非线性，当Δh远小于h0时可近似为线性关系。

根据上述电容边缘效应原理分析，将最大变形量Δhmax和最小变形量0代入拟合式（13）可得基于电容边缘效应原理的电容式力传感器满量程输出YFS：

式中：Ymax—为传感器最大输出值；Ymin—传感器最小输出值。

最大拟合偏差ΔYL.max：

将式（14）和式（15）代入式（7）得传感器线性度：

对式（10）求一阶导可得灵敏度Kvert：

根据式（17）可知，传感器灵敏度Kvert与所使用的电容器静极板的宽度W正相关，与两极板初始间距h0负相关。

3 传感器结构设计

所设计的电容式六维力传感器，如图3（a）所示，该传感器采用创新结构，同时使用垂直极板电容器和平行极板电容器，将电容边缘效应原理和变极距型平行极板电容效应原理两种测量原理相结合。同时考虑到加工可行性，将传感器进行分层设计，传感器主要分为主体、测量层、PCB板三个部分，测量层又分为上测量层和下测量层，如图3（b）所示。

图3 传感器结构Fig.3 Sensor Structure

主体上有外圈、S形变形梁、PCB板安装台，走线孔等，其中，S形变形梁可减少传感器各维度力之间的耦合作用，同时可提高传感器的灵敏度。上测量层设有上平行动极板以及垂直动极板，下测量层设有下平行动极板，且上、下测量层通过螺钉固定于主体上；PCB板上有检测电路、电容数字转换芯片、上平行静极板和下平行静极板（位于PCB板下表面）以及左垂直静极板和右垂直静极板，其中左、右垂直静极板均有两层，置于PCB上下表面。电容数字转换芯片可将电容信号转换为数字信号。

由上述可知，测量层结构采取上下两层布置，其整体结构，如图4所示，图中垂直动极板与PCB板（图4中未显示）上的垂直板静极板组成6个垂直极板电容器C1～C6。其中C1与C2，C3与C4，C5与C6构成三个垂直极板差动电容器CI、CIII、CV，如图5所示。上平行动极板与PCB板（图4中未显示）上的上平行静极板组成上层3个平行极板电容器C7、C9、C11，下平行动极板与PCB板（图4中未显示）上的下平行静极板组成下层3 个平行极板电容器C8、C10、C12，且6个电容器中的C7与C8，C9与C10，C11与C12构成三个平行极板差动电容器CII、CIV、CVI，如图5所示。

图4 测量层结构Fig.4 Measurement Layer Structure

图5 电容器分布图Fig.5 Capacitor Distribution Diagram

4 解耦分析

该传感器工作时外圈固定，内圈受力。当传感器内圈受到任意外力时都可将其分解为六维力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ，外力传递至S形变形梁使之产生变形，与S型变形梁相连的测量层及其上的电容器动极板发生位移，使得电容器极板间距发生改变，最终使差动电容器容值发生改变。

六个差动电容器受到各正方向力∕力矩时电容变化的趋势，如表1所示。在表中，“⇑”和“⇓”分别表示相对较强的电容的增加和减小，“↑”、“↓”分别表示相对较弱的增加和减小，“～”表示电容几乎没有改变。如，受力FX时电容器CV容值明显减小，CI、CIII容值小幅度增加，CII、CIV、CVI容值几乎不变化。

表1 电容随相应力的变化趋势Tab.1 The Trend of Capacitance with Corresponding Force

如表1所示，每一个差动电容器在六种不同的力输入下变化趋势不同。以每一个差动电容器做为传感器一条输出通道，并提取输出信号，即电容改变量ΔC，建立此电容式六维力传感器的解耦方程为：

将式（18）直接求逆可得解耦矩阵：

上式矩阵ΔC为可逆矩阵，故矩阵ΔC必须为（6 × 6）方阵，因此该方法求解耦矩阵只能使用六标定数据，即每个维度力只使用一组标定数据，因此计算误差较大。为了提高解耦矩阵计算精度，多采用大于输出通道个数的标定数，再对式（18）进行广义逆等算法，可得基于最小二乘法的求解解耦矩阵公式[9]：

式中：F—6×n力矩阵；

ΔC—6×n电容改变量矩阵；

( ΔCTΔC)-1ΔCT—矩阵ΔC的广义逆矩阵；

n—总共标定的实验次数。

求解解耦矩阵T的过程实际上就是多元函数最小二乘拟合的过程，为了获得较为准确的解耦矩阵，要求标定的实验次数要远大于六维力传感器的维数[10]。即标定实验次数越多解耦矩阵计算值越准确，故为了提高解耦矩阵精度，拟采用66组标定数，即矩阵F与矩阵ΔC均为（6 × 66）矩阵。

5 解耦实验

为获得传感器解耦矩阵T，现对该力传感器在没有振动、冲击、加速度的环境下进行静态标定，并获得实验结果[11]，标定平台，如图6所示。

图6 标定平台Fig.6 Calibration Platform

其通过加载砝码的方式对传感器六维力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ进行标定。加载砝码质量为m重力系数g取9.8N∕kg，力臂L为50mm，则力F=mg，单位为N。力矩M=mg×L，单位为N·m。

传感器量程，如表2所示。实验时依次对六维力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ单独加载至满量程力值再卸载，每次加载砝码质量为1kg，从0值加载至6kg，再卸载至0值，获得矩阵F′。矩阵F′中各列为每次加载的力或力矩。

表2 传感器量程Tab.2 Sensor Range

同时采集传感器六条输出通道信号获得矩阵ΔC′，矩阵ΔC′中各列为每次加载对应的传感器六条输出通道电容数字变化量。利用MATLAN软件根据式（20）求解出解耦矩阵T。

为了分析六维力传感器解耦精度，采用I类误差和II类误差来作为传感器解耦精度指标。I类误差表示该方向所加载的实际满量程外力大小与所测量到力值之间的最大相对误差，计算公式，如式（21）所示；II类误差表示仅某个方向受到满量程力值时其他方向因该方向的耦合而检测到力值所引起的耦合误差。

计算公式，如式（22）所示。A、B为传感器六维力中的任一方向力。

使用解耦误差矩阵E可以同时表示I类误差和II类误差，解耦误差矩阵，如式（23）所示。

解耦误差矩阵E主对角线元素指代I类误差，如，EFXFX表示传感器所受FX实际满量程力值大小与检测力值大小之间的相对误差；非主对角线元素指代II类误差，如，EFYFX表示传感器仅受力FX时，FY受到FX的耦合作用而检测到力，引起的传感器耦合误差。验证实验时，对传感器各维度力以满量程力值依次单独加载得力值矩阵F′′。同时提取各通道输出信号，获得矩阵ΔC′′。矩阵F′′每一列分别表示传感器六维力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ一次满量程力值标定数据，且前三列对应力的单位为N，后三列对应的力矩单位为N·m。矩阵ΔC′′中各元素为电容数字改变量。

根据式（20）进行解耦计算得到力∕力矩检测值F。

将式F′′和式F代入式（21）和式（22）中求出解耦误差矩阵E如下所示。

由解耦误差矩阵E可知该传感器六维力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ的I 类误差分别为：0.19%、0.66%，0.10%、0.14%、0.39%、0.32%。II类误差最大值为0.47%，即当加载力MY时，FY受到MY的耦合作用引起的耦合误差为0.47%。上述显示I 类误差和II类误差均较小，即传感器解耦精度较高，所以该结构维间耦合较小，满足解耦要求。

6 结论

（1）理论分析了垂直极板电容边缘效应原理和平行极板电容效应原理，提出了一种结合两种电容效应原理的新型六维力传感器，根据原理设计了传感器结构，并进行了静态标定实验。

（2）通过最小二乘法的线性静态解耦求得解耦矩阵T，并利用解耦矩阵T进行了解耦计算，计算结果显示所设计的力传感器六维力FX、FY、FZ、MX、MY、MZ的I 类误差分别为：0.19%、0.66%，0.10%、0.14%、0.39%、0.32%；II类误差最大值为0.47%，即传感器维间耦合较小，可解耦。验证了该结构的可行性。