盆架型压电平面电机响应面法动力学特性优化

王哲逸，李 冀，李晨捷，龙玉繁，贺红林

（南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063）

压电电机是一种直接驱动的新型微特电机。与传统直流电磁电机不同，压电电机利用压电材料的逆压电效应进行驱动。通过在压电材料表面施加电激励信号使其产生微观振动，进而激励定子体产生微观共振，再将其转化为动子的宏观运动[1－4]。平面压电电机在工作时有响应快、定位精度高、运动平稳、无输入自锁等一系列优点，因此平面压电电机广泛运用于生物医疗、芯片制造等有高精度定位需求行业[5－6]。Polit等[7]提出了1种具有纳米级分辨率的压电驱动平台，该驱动平台x、y向驱动行程可达15 μm，行进间位移分辨率可达1 μm；Zhang 等设计出一种新型精密二维定位平台[8]，平台将两向驱动耦合形成50 mm×50 mm的驱动行程，定位精度小于0.28 μm；贺红林课题组提出“田字型”、“双十字形”和“口齿式”电机结构[9－11]。总结前人研究成果，本文提出了1 种以定子纵、弯两种振动模态作为驱动模态的盆架型平面压电电机。电机利用压电材料的d31效应激励定子固有模态，通过定动子间的摩擦耦合，将定子的微观振动传递至动子[12]。

压电电机定子设计要求特殊，在设计过程中常出现为满足某一个性能参数要求而导致另一个性能参数产生剧烈变化的情况，极大地增大了电机设计难度[13]。以往为满足此类电机定子设计要求，常采用“手动试凑”的方法[14－15]。此类设计方法使得定子设计过程繁琐，结果也不理想。针对上述问题，时运来[16]提出了1种基于响应面法的优化设计方法，运用响应面法获得优化参数与优化目标的显式关系式，结合优化算法对其进行参数寻优，因其依靠经验进行优化参数选取从而降低了优化精度。杨模尖等[17]利用有限元分析获得了V型定子的关键结构参数对两相模态频率一致性的影响，通过试选的方式找到较合理的结构参数尺寸，因函数关系构建问题，该方法操作相对复杂[18]。Deibel 等[19]采用了遗传算法和单纯形法相结合的算法来优化换能器参数；Hong等[20]等运用Kriging Meta 模型，辅助以进化算法，对结构参数进行寻优。

本文提出了1 种基于ANSYS 有限元软件和MATLAB分析软件，结合响应面法和多目标遗传优化算法(NSGA-Ⅱ)的优化设计方法，以盆架型压电电机定子为研究对象对其性能进行验证。

1 电机定子设计

1.1 定子的结构拓扑

在满足电机直线驱动的基础上，定子设计还需大致满足3个条件[21]：

（1）存在合适的模态频率，使定子工作模态处于合适的超声频域。模态频率低则易产生噪声，模态频率高则电机能量损耗增加。

（2）压电陶瓷片尽量配置在定子最大应变处，以保证获得最大的驱动足振幅。

（3）应尽量降低驱动杆的弯曲刚度，进而使驱动杆上的驱动足获得更大振幅。综合上述条件，设计出如图1所示的盆架型平面压电电机定子。定子由4 根方形杆与十字结构体相连构成，在十字结构体中心处设置通孔用于固定和装配。为减小驱动的弯曲刚度，在驱动杆与十字结构体连接处作挖槽处理并在驱动杆中心开孔。在4根方形杆顶部设有球形驱动足用于传递运动。将压电陶瓷片对称贴于每根方形杆两侧，其中置于两端驱动足处的16片压电陶瓷片用于激励定子产生1 阶面内弯曲振动模态，置于十字结构体的16 片压电陶瓷片用于激励定子产生2阶反对称纵向伸缩振动模态。

图1 盆架形压电电机定子模型

1.2 定子驱动机理

本文采用压电陶瓷的LE模式并基于d31效应激励定子1阶对称弯振模态和2阶反对称纵振模态，通过二者运动耦合驱动动子滑块。电机盆架型定子一个运动周期T内驱动足运动过程如图2所示。

图2 驱动足运动过程

在0～T/4时段，1、2号方杆的1阶纵振使它们由初始杆长伸长成最大长度，使1、2 号方杆顶部的驱动足与动子滑块相接触，而1、2 号方杆的弯曲模态振动使两杆由最大左弯状态恢复成直杆状态，使得1、2 号方杆顶部的驱动足分别由A1、B1运行至A2、B2并推动动子滑块沿x方向移动一个步矩λ；同时，3、4号方杆的2阶纵振使它们由初始长度收缩至最小杆长，使3、4 号方杆顶部的驱动足与动子滑块脱离接触，3、4号方杆的1阶弯曲模态振动则使3、4号方杆由最大前弯状恢复成直杆状，使3、4 号方杆顶部的驱动足由F1、G1行进到F2、G2。

在T/4～T/2时段，1、2号方杆的2阶纵振使它们由最大杆长恢复至初始杆长，两杆顶部的驱动足仍保持与动子滑块接触，而1、2号方杆的1阶弯曲模态振动使两杆由直杆状弯成最大右弯状，从而使1、2号方杆顶部的驱动足分别由A2、B2运行至A3、B3并推动动子滑块沿x方向移动一个步矩λ；同时，3、4号方杆的2阶纵振使它们由初始最小杆长恢复到初始杆长，使3、4 号方杆顶部的驱动足仍不与动子滑块接触，而3、4号方杆的1阶弯曲模态振动则使3、4号方杆由直杆状弯曲成最大后弯状，从而使3、4 号方杆顶部的驱动足由F2、G2行进到F3、G3。

在T/2～3T/4 时段，2 阶纵振使1、2 号方杆由初始状态收缩成最小杆长，进而使方杆顶部的驱动足与动子滑块脱离。而1、2 号方杆的1 阶弯曲模态振动则使它们由最大右弯状恢复成直杆状，从而使1、2号方杆顶部的驱动足分别由A3、B3运行至A4、B4；同时，3、4号方杆的2阶纵振使它们由初始杆长伸长成最大杆长，致使3、4 号方杆顶部的驱动足与动子滑块相接触，而3、4号方杆的1阶弯曲模态振动则使3、4号方杆由最大后弯状恢复成直杆状，从而使前、后杆顶部的驱动足由F3、G3行进到F4、G4，并推动动子滑块沿y方向移动一个步距λ。

在3T/4～T时段，1、2 号方杆的2 阶纵振使其由最小杆长恢复为初始长度，使驱动足仍不与动子滑块接触，1、2号方杆的1阶弯曲模态振动则使它们由直杆状弯曲成最大左弯状，从而使1、2 号方杆顶部的驱动足由A4、B4运行至A1、B1；同时，3、4号方杆的2阶纵振使它们由最大杆长恢复到初始杆长，使3、4号方杆顶部的驱动足仍与动子滑块保持接触，3、4号方杆的1 阶弯曲模态振动则使3、4 号方杆由直杆状弯曲成最大弯曲状，从而使3、4 号方杆顶部的驱动足由F4、G4行进到F1、G1，推动动子滑块朝y方向前进一个步距λ。定子每完成一个工作周期，1、2号方杆和3、4号方杆顶部的驱动足各完成一次椭圆轨迹运动，4根方杆的驱动足交替推动动子滑块沿x方向和y方向分别移动两个步距。重复上述运动周期时，动子滑块将不停地被定子体顶部的驱动足推动朝x方向和y方向移动。

2 定子结构的优化设计

本文基于ANSYS 有限元分析软件构造了电机定子的有限元参数化模型，采用全局差分法对定子尺寸参数进行灵敏度分析，运用ANSYS参数化设计语言(ANSYS Parametric Design Language，ANSYS APDL)编写了基于模态置信度准则(MAC)的内部循环程序，旨在对每次计算所得模态进行置信度识别。将内部循环所得结果导出至MATLAB软件中，基于克里金法构建定子优化参数和优化目标的响应面函数，利用多目标遗传优化算法NSGA-Ⅱ对所得响应面拟合显式函数进行优化分析并给出全局最优解。具体优化设计流程如图3所示。

图3 定子结构优化流程图

2.1 模态置信准则

模态置信准则(MAC)是实现参数化优化设计的基础，模态识别准确与否对优化设计起决定性作用。在设计中发现，所需工作模态往往分散在定子众多模态中，且工作模态阶次和顺序随着结构尺寸改变也相应地发生改变[22]。拟通过参数化设计和ANSYS APDL 编程对模态振型进行相关性识别，筛选出符合条件的工作模态，相应的振型相关系数定义为：

2.2 结构尺寸灵敏度分析

根据初始运动机理和振动学特性要求所设计的电机定子结构已经具备了某种稳定的振动特性，但未经优化的定子结构无法充分体现自身的振动特性。因此，还需在原有结构基础上对定子结构尺寸进行寻优。盆架型电机的定子结构图如图4所示。

图4 定子结构图

由图4可知，定子结构尺寸众多，逐个分析各尺寸会降低优化效率，故有必要运用全局差分法筛选出对定子工作性能影响较大的尺寸进行分析。设定子设计变量为di(i=1,2,…，n)，得定子有限元模型特征方程：

式中：φi=φi(d1,d2,…,dn)为定子第i阶模态的振型；ωi=ωi(d1,d2,…,dn)为第i阶模态的振动频率；K=K(d1,d2,…,dn)为定子刚度阵；M=M(d1,d2,…,dn)为质量矩阵。当di产生了微变量Δd，必然有：

解得各尺寸的频率灵敏度为：

即：

根据式(5)求得优化目标函数针对定子尺寸的灵敏度，如图5所示。L1、R、K对频率一致性影响较小，L、H、L2对面内弯振影响大，L、H、K4、L2对反对称纵振影响大，L、H对频率一致性影响较大。

图5 定子部分特征尺寸敏感度图

2.3 建立定子优化模型

从尺寸灵敏度分析可知，盆架形定子众多的尺寸中K1、K4、H、L、L2等对目标工作模态的影响较大，故选定这些尺寸为优化变量，构建以工作模态频率一致性及振幅最大化为优化目标，并以模态置信度等为约束的定子结构动力学优化数学模型，即：

式中：f11为1 阶左弯振模态频率，f12为1 阶右弯振模态频率，f2为2 阶反对称纵振模态频率；ζs为定子振幅，ximin、ximax为结构尺寸xi的下限和上限。

3 响应面模型的构建

响应面技术具有很强的操作性，将它与有限元分析结合起来可以对复杂结构进行优化分析[23]。在通过ANSYS内部循环得到一系列可行解之后，建立响应面模型进行数据分析，求得全局最优解。响应面的基本思路为：首先，选择近似隐式响应函数的多项式形式，然后再通过一系列设计点来确定近似函数中的各个待定系数。故在确定拟合函数时，需选取合理的设计点和迭代方法，以确保近似响应函数能收敛于真实的隐式响应函数[24]。

在单一变量情况下，响应面函数形式如式(7)所示：

其中：y为拟合函数输出量，β0为系数，βi为各变量系数，xi为输入变量，ε为观测误差。分析发现，当变量为单个变量且最大项数为一次时拟合结果太粗略，将两个变量的乘积合并，得到：

将式(8)改写成：

再将其改写成矩阵形式：

式中：

可得最小方差为：

不难发现，当式(11)中最小方差趋于最小时，拟合曲面与实际隐函数趋于一致。当L对β的偏导数为零时，最小方差取极小值。

可得：

即可推导出所拟合的响应面为：

利用ANSYS动力学计算求得的数据，运用中心复合设计法CCD生成采样计算点，基于克里金法结合式(10)至式(14)建立定子结构参数L、K4关于目标函数的响应面模型，拟合精度为98.12 %，如图6所示。

图6 定子响应面模型

F为目标函数，响应面展开式为：

4 定子的NSGA-Ⅱ优化

本文中定子采用多目标遗传优化算法(NSGA-Ⅱ)进行优化，该方法是1 种非支配快速多目标优化算法，而且是基于Pareto 最优解的多目标优化算法[25－26]。NSGA-Ⅱ算法中新引入了精英策略，成为一种快速非支配的排序算法，这一改进扩大了采样空间，使得非支配排序计算复杂度大幅降低。

文中将驱动足x、y、z向振幅最大化和模态频率一致性作为算法的目标函数，以3 阶工作模态频率差值总和≤300 HZ为约束，构造如表1所示的搜索空间。自初代种群起，对所有个体进行拥挤度排序，将每次迭代生成的子代种群与其父代种群重新组合，通过共同竞争来产生下一代种群。这样有利于保存父代中现存的优良个体，使之在进化过程中不被丢弃，提高了算法结果的准确度。同时引入拥挤度计算和拥挤度比较算子。将拥挤度作为种群中个体之间的比较准则，在迭代过程中对种群中所有个体以拥挤度为标准进行分层存放。这样能迅速提高种群精英度水平，使得准Pareto 域中的种群个体能均匀扩展到整个Pareto 域，避免算法过快进入局部最优而停止优化，保证了种群多样性。本文优化算法的实现流程如图7所示，优化中的相关参数设置情况如表1所示。

表1 优化变量取值范围

在基于多目标遗传优化算法的优化过程中，拥挤度的判定是确保种群多样性的决定性因素。拥挤度计算步骤为：

（1）不在两端的点拥挤度主要与其相邻两个点有关，遂将每个点的拥挤度id设为0；

（2）根据优化目标对种群进行非支配排序，使边界上的两个点拥挤度达到无限大，即od=ld=∞；

（3）对种群中其余个体进行拥挤度计算，并对同层个体进行排列分层[20－21]。式(16)为拥挤度计算公式。

式中：id为对应点的拥挤度，fi+1j和fi-1j为目标函数j对应的i+1点和i-1点的函数值。

5 优化过程与结果

5.1 迭代优化过程

为保证样本点数量和优化可信度，运用中心复合设计法CCD进行计算，得到161组设计点，在算法中生成8 000 个初始化种群个体并进行优化运算。迭代终止条件设为收敛稳定性趋于0%或种群中精英数达到70%，对优化模型中的各优化目标进行约束并取极值，迭代步数设为100步，算法参数设置如表2所示，算法迭代过程如图8所示。

图8 目标函数迭代过程

表2 NSGA-Ⅱ算法参数设置

5.2 优化结果

如图8所示，算法在迭代到第58 步时达到迭代终止条件，优化结束并输出结果。根据输出结果重建定子模型并进行模态计算，所得结果满足MAC≥0.9 和模态频率一致性等设计要求。随后建立优化后的定子机电耦合动力学分析模型，利用ANSYS对定子的频响特性进行求解，观测步长设为0.5 Hz。结果表明，相比于之前“手动试凑”所得结果[27]，优化后的定子结构模态频率一致性明显提高且无明显干扰模态，特别是x、z向振幅几乎相等，这说明该电机能较好地保证x、z向输出特性的平衡，谐响应对比分析如图9所示。定子尺寸优化结果如表3所示。

图9 谐响应对比图

表3 定子优化结果

同样基于ANSYS 对优化后的定子进行定频激励动力学分析。对陶瓷片施加频率为44 350 Hz、幅值为250 V、相位差为π/2的激励电信号。定子振幅达微米级且达到稳态时驱动足沿x、y、z的振动幅值分别为6.3 μm、5.48 μm、6.16 μm。从图10(b)中可以看出，驱动足在xOz平面内的运动轨迹扁平，收敛速度快，表明优化后的定子具有更优的驱动性能。

图10 瞬态分析对比图

相邻弯振频率差/Hz相邻弯纵振频率差/Hz瞬态分析下x向稳态振幅/μm瞬态分析下y向稳态振幅/μm瞬态分析下z向稳态振幅/μm 193.6 143.6 2.0 1.5 3.3 40.5 114.2 6.4 5.5 6.1

6 结语

提出一种基于ANSYS 和MATLAB，结合有限元响应面法和多目标遗传算法解决压电电机定子动力学结构优化问题的方法。以盆架型平面电机定子为研究对象，解决了多结构尺寸、多优化目标定子优化困难的问题。研究表明：

（1）优化后的电机定子拥有更优的模态频率一致性。三相工作模态间工作频率间隔从优化前的193.6 Hz、143.6 Hz降低至40.5 Hz、114.2 Hz。

（2）优化后的电机定子拥有更大的激励振幅。工作模态x、y、z向有效振幅从优化前的2.0 μm、1.5 μm、3.3 μm增加至6.4 μm、5.5 μm、6.1 μm。

本文提出的优化方法可为今后的压电电机动力学优化提供思路，但本文仅涉及定子的静力学优化，只在理论和仿真阶段对本方法所得结果进行验证，后续的研究中将进一步复现设计理论。