高三数学复习课中微专题设计的策略探究

赵 莉 （江苏省苏州市张家港市乐余高级中学，江苏 苏州 215621）

高三数学复习课作为整个高中数学教学的重中之重，其有效性会直接影响学生复习的效果，如何构建优质课堂，提高复习的有效性是每个数学老师关注的问题.进入高三的第二个学期，学生已经基本完成了第一轮的复习，在这个过程中，学生构建了完整的高中数学知识体系，也厘清了知识点之间的联系，所以第二轮的复习一般会以专题的形式进行，通过选择一些知识概念的交汇点、思想方法的生长点，以点带面，帮助学生完善认知，巩固、梳理、整合已学过的知识，促进解题思想方法的形成，提高分析问题和解决问题的能力，进而提升学生的数学核心素养.通过专题复习还可以诊断出在一轮复习教学中的薄弱环节，查漏补缺，明确下一阶段要突破的目标.而相比传统的高三数学大专题复习，微专题切口小、角度新，针对性和典型性更强，具有“因微而细、因微而准、因微而深”的优势，故而能起到“见微知著、固本浚源”的复习效果.那么，高三数学复习课中的微专题该怎样设计呢？下面笔者就结合自己多年的高三数学教学实践，谈谈微专题设计的一些粗陋探试.

1 选题得当，让微专题既“微”又“专”

数学复习课微专题的设计大致可以分为两类来进行，一类是以知识点为主线，在巩固学生知识点的同时培养学生的解题能力；另一类是以方法为主线，提升学生的思维能力和核心素养.无论是哪一类，选题都是微专题设计的第一要素，如何让一份微专题设计既“微”又“专”，笔者认为可以围绕以下三个角度来进行.

1.1 从知识的系统性角度选题

微专题选题时虽不必注重知识的覆盖面，但要着眼于整个高中数学的知识体系，所以要分析所选题目的设计意图是什么，是否能以点带面巩固到相关的重要知识点，是否挖掘出了题目背后所反映的问题实质，是否把握住了高考方向，保证了复习的针对性和有效性.故微专题要“因微而细，因微而精”.譬如笔者对平面向量知识系统的分析：从代数角度选题即复习平面向量的运算律和计算；从几何角度选题即复习向量的加减法、数乘以及数量积的几何意义；从物理角度选题即可结合实际背景复习矢量的意义等.

案例1：精选例题——高三数学微专题设计“平面向量的线性运算”

这一题具有基础性、典型性，笔者的讲解剖析体现了解题的思路，再以点带面引导学生进行对平面向量的相关知识的复习，同时渗透了数形结合的数学思想.在此过程中，难度适中的例题可以启迪学生的思维，调动学生的学习积极性，提升学生的复习效率.

1.2 从知识的重难点、易错点角度选题

微专题要“因微而深”，微专题复习的主要目的就是进一步强化重点，有效突破难点，及时纠正易错点，所以在考虑了学生的实际学情及新高考的要求后选题要紧扣这三点来进行.如在复习基本不等式时将其嵌入函数、数列进行探究就是为了突破重点、难点.再譬如复习平面向量，平面向量加减法的几何意义、平面向量的基本定理、平面向量数量积的运算及模、夹角的运算是重难点，零向量的概念、向量共线的概念以及向量夹角的概念是易错点，所以在设计平面向量微专题时选题要有所侧重.

案例2：突出重点——高三数学微专题设计“平面向量的数量积”

此时点的坐标为（3，0）.

在以往高考中，向量数量积的坐标运算是一个热点，常在选择题和填空题中考查.这一题从学生认知发展和知识建构出发，利用坐标运算将向量的数量积和二次函数的最值有机地结合在一起，让学生体会向量的工具作用，培养学生的数学应用意识和创新精神.

1.3 从课堂的三维目标角度选题

“三维”是课堂教学目标的三大板块，即“知识与技能”“过程与方法”“情感、态度、价值观”，是新课程推进素质教育的根本体现.一份优秀的微专题设计是生成一节优秀复习课的前提，微专题虽“微”，但要“有效”.所以在选题时不必拘泥于教材的原有顺序，而要立足学情、教情、考情，选择一些高频考点去规划，力求让学生在回顾基础知识的同时锻炼技能、激发潜能.

2 生成得当，让微专题既“微”又“大”

微专题的“微”可以是选材内容上的“微”，也可以是教学方法或教学目标的“微”，但“微”的背后是“大”，在细微处做大、做透、做宽，才能达到“见微知著”的目的.所以，微专题的设计需要关注知识的连通，在生成中对知识进行拓展和延伸.

2.1 变式连通，做“大”微专题

微专题本质上是通过对知识的重组和整合，实现“串珠成链”的目的.所以微专题设计可以通过“变式”来连通知识点，构建更高级的逻辑关系和知识体系，从而实现让学生触类旁通、举一反三的教学效果.微专题设计还可以通过“变式”连通，让学生掌握通学通法，构建起解决同类型题目的“路线图”.

案例3：一题多变——高三数学微专题设计“基本不等式”

这是一道双变量的最值问题，做题的首选方法是“1”的代换，通过构造积为定值，找和的最小值，学生在一轮复习时已能掌握解题的原理和方法.在二轮复习时笔者在微专题中设计了以下变式：

这六个变式题是对书本例题进行了不同角度、不同层次、不同背景的改编而得到的，层层递进、螺旋上升，引领学生发散思维，让学生在“变”的过程中发现“不变”的本质及解题规律，找到问题的部分对象所具有的特征，再将熟悉的这一特征运用到这类题目中，将隐藏在深处的规律显现出来，进而培养学生应用基本不等式解决问题的工具意识和定位意识.

2.2 技巧连通，做“宽”微专题

案例4：一题多解——高三数学微专题设计“三角函数”

这三种解法分别通过因式分解变换弦化切变换降次扩角变换将已知条件转化再结合倍角公式与和角公式即可解得所求的三角函数值.一题多解有利于提高学生全面分析问题及综合运用知识的能力所以在设计微专题时笔者有意识地挖掘问题的多解因素用于鼓励学生不囿于单一的解题思路和方法并给予足够的时间来思考问题发散思维构建灵活多变的解题技巧.

案例5一题多选高三数学微专题设计数列

已知等比数列的公比为

1略2在①＝-3②＝9③＝27 这三个条件中任选两个补充在下面的问题中并解答.

问 题若________求｛a｝的通项公式及数列-1）n+4a｝的前项和S.（注如果选择多种情况解答则按第一种情况计分

这是一道结构不良题，也是新高考中的创新题型，具有条件模糊、解决方案多样、结果开放等特点.本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，还考查了方程思想和运算能力.所以解决此类问题要求学生根据自身的知识结构、认知结构及解题经验在规定的时间内做出合理的选择，并迅速制定问题的解决方案.笔者在微专题设计时紧扣高考考点，引入“一题多选”，拓宽了学生思维的系统性、灵活性及创造性.

2.3 思维连通，做“透”微专题

案例6：一题多思——高三数学微专题设计方法篇“数形结合”

图1

图2

利用祖暅原理得的体积相当于底面积为4π，高为2 的圆柱的体积，

所以的体积为＝4π×2＝8π.

数学文化试题是新高考的热点，也是比较新颖的题型，所以笔者在微专题设计方法篇“数形结合”中引入了此题.此题考查的知识点是旋转体的体积，直观的立体图形可以很好地诠释本例的问题，但因旋转后的几何体不是常规的圆柱、圆锥、圆台，所以通过祖暅原理将问题转化是本题的难点.祖暅原理中强调的是截面的“任意”性，所以直观的“形”并不能辅助解决问题，而是要用精确的“数”来证明，可利用祖暅原理将所求的旋转体体积转化为求圆柱体积.做“透”此题可引发学生的思考和探索，可让学生理解何为“数缺形时难直观，形缺数时难入微”，进而感受到数形结合是“数”与“形”的相辅相成，在后面的解题中可以更好地利用这个重要的思想方法.

3 巩固得当，让微专题既“微”又“实”

3.1 解后反思，引发思考

学生在经过微专题复习课的例题和变式后，在全面掌握基础知识的情况下，要及时巩固练习及整理反思，使知识在头脑中根深蒂固，同时还要严谨审题，缜密思考，养成规范解答的习惯.所以，微专题的设计要加上巩固反思这一模块，它能及时反馈不同层次学生掌握知识的情况.如在复习“直线与圆的位置关系”微专题中，笔者设置了直线与圆的相切问题：在直线：＝+4 上取一点（2，6）作圆：+＝4的切线，切点为，，则切线方程为_________________.变式：在直线：＝+4 上任取一点（，）作圆：+＝4 的切线，切点为，，则切线长的最小值为________.之后设置了这样的一个问题：根据以上条件，仿照变式，你可以再自编几个题目吗？对于基础好的学生，自编了这样的题目，如：①求过两切点，所在的直线方程；②过点（，3）作圆：+＝4 的切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为________.③过直线上一点作圆：+＝4 的切线，切点分别为，，则四边形外接圆的方程为_________________.在教师总结的基础上，学生自己独立完成归纳提炼；对于基础一般的学生，教师可以逐个辅导，找出问题所在，增加他们练习和板演的机会，这样能让不同层次不同类型的学生获得学习的需要，提升学习效果.

3.2 及时总结，促进生成

在复习“直线与圆锥曲线的综合问题”时，笔者设置了三个微专题，在“直线与圆锥曲线的最值问题” 微专题中设置了一问：你认为处理圆锥曲线最值问题的求解方法主要是什么？学生利用平时的积累发现圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.在“直线与圆锥曲线的定值问题” 微专题中设置了一问：你认为圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略”是什么？一是求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.二是求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.三是求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.在“直线与圆锥曲线的探索性问题” 微专题中设置了一问：在解决探索性问题上，你想对你的同学提出什么温馨提醒？学生归纳整合后，得出要解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论.（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.微专题中及时巩固这个做法收到了很好的效果，基本上帮助学生掌握了这一类问题的求解方法.

波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，要让学生拥有丰富且组织良好的知识，高效的课堂是不可或缺的.微专题的复习方式是教师将知识作为中心，对学生已有的数学知识进行提升，对知识网络进行构建，帮助学生形成良好的认知结构，提升解决问题的能力，促使学生对数学知识有更加全面的掌握.在高三数学微专题的设计中，把握以上策略和技巧可以让“微专题”更好地为高三复习教学服务，进而生成学生有收获、有成长的课堂.