观察法是获得新知识的重要途径

◎张少林

(丽江师范高等专科学校数学与信息技术学院，云南 丽江 674100)

在数学解题时，通过观察可以发现已知与未知对象或结论的联系，发现有关的各种特征，有助于诱发直觉思维或联想类比，实现解题思路的突破，迅速而准确地找到解题方法观察是认识的开端，是发现问题、了解问题和解决问题的第一步我们如果能够很好地利用观察法，就可以为后续的工作打好基础，为获得科研、应用或教学的成果提供良好的前提条件

一、观察能力在数学学习中的重要性

观察能力的培养在数学教学中具有重要意义它是发展学生智力的基础,也是学生获得数学知识的必要条件一个学生如果不善于观察,他就不能获得大量的感性材料,他的思维就会缺乏坚实的基础,所获得的知识也是肤浅的,难以从中寻找规律在数学教学中,如果学生有较强的独立观察能力,当教师进行物理演示教学或用图形说明某一数学规律时,学生就可以把握事物基本规律,正确理解数学概念在计算中,大多数学生都可以按照一般计算规则进行计算,但是观察能力强的学生可以一目了然地掌握题目的一些特点,采用简单的方法,做到正确、快速地完成计算任务在实际生活中，计算一些物体的体积时,观察能力较强的学生可以快速地将所学的几何知识联系起来,从而正确计算综上，观察能力直接影响学生的学习质量,教师必须重视对学生观察能力的培养

二、将观察法应用在数学教学中的注意事项

(一)数学教师要观察学生的活动状态

一些教师深受传统教育的影响,经常采用“填鸭式”的教学方式,忽视学生的活动状态,这样不利于学生思维的发展,也会影响学生的学习主动性因此,学生偏科现象十分普遍教师如果继续这样教学,只会消除学生的学习动机,难以提高教学水平因此,教师要从自身出发,更新教育观念,积极建立学生的学习自主性,激发学生的课堂主动性,观察学生在课堂上的活动状态,把解决问题作为教学的出发点和落脚点,不要过于注重教学进度,要侧重于解决问题例如,在教学一些内容的时候,教师应该结合学生对知识的掌握水平,让学生可以根据自己掌握的知识轻松地解决问题教师可以适当改变问题的形式,以激发学生的参与兴趣然而,并不是所有的学生都能积极参与教学活动的因此,教师应观察学生的活动状态,促使学生努力思考,积极实践,相互交流,以掌握数学规律

(二)数学教师应该观察学生的思维状态

数学更注重学生的思维许多数学问题需要学生有很强的思维能力才能有效地解决因此,在课堂教学中,教师应注重对学生思维能力的培养教师不仅要观察学生的学习状态,还要观察学生的思维状态现代教育教学研究表明,积极思考、问题创新、发散思维等都是学生思维活动的具体体现因此,教师要牢牢抓住这一点,充分引导和激活学生的思维,促使学生积极参与课堂活动例如,在讲解一些内容时,对于学生提出的一些问题,教师应该先观察学生的思维状态,再根据学生思维的发展过程提出建议刚开始的时候,学生的思维是混乱的因此,教师要充分发挥自己的引导作用,引导学生深入分析问题,培养学生的思维能力此外,一些学生想回答问题,但他们缺乏自信,害怕回答错误,引来其他学生的嘲笑对此,教师要因势利导,积极改变提问形式,激发学生回答问题的信心,帮助学生厘清思路,提高指导的针对性

(三)数学教师应该观察学生的课堂参与状况

学生是否积极参与课堂活动,直接影响着教学效率的高低不同层次的学生在思维、兴趣爱好、学习能力等方面存在明显的差异,每个学生参与课堂的积极性也各不相同为了进一步激发学生的参与积极性,教师需要观察学生的课堂参与状况,结合学生的参与状况制定实践方法现代教育教学研究表明,学生是否情绪高涨、是否积极配合教师的教学、是否积极参与学习和讨论等都是学生参与课堂的状态的具体体现，因此需要教师仔细观察例如,在教学一些内容时,为了帮助学生深入理解,教师可以引导学生走上讲台进行演示在学生示范时,教师要注意其他学生的参与状态如果大多数学生能集中注意力,只有少数学生注意力不集中对此,教师应灵活调整自己的教学理念,将示范实验转变为小组实验,鼓励每个学生参与其中，在深入推广中,探索数学知识形成和发展的条件,努力做到让每个学生都积极参与

三、观察法在数学教学中的有效运用

(一)通过观察、分析，推导出数列前n项和公式

1观察下列图形(如图1)，你得到了什么结论？

图1

1由小图着手，通过认真、仔细观察，发现图形是由2(1+2+3+…+)+(+1)个小等腰直角三角形构成的

2将2(1+2+3+…+)个小等腰直角三角形做相应的组合后，图形应由(1+2+3+…+)个小正方形和(+1)个小等腰直角三角形组成

3把2(1+2+3+…+)+(+1)个小等腰直角三角形用相应方式组合在一起，就构成了一个大等腰直角三角形，这就是图1,即大图

现在，如果把小等腰直角三角形腰的长度看作1，那么，这个由2(1+2+3+…+)+(+1)个小等腰直角三角形构成的大等腰直角三角形的面积应等于多少？

如果不考虑其他问题，仅把上式看作一个等式，那么，上式可以变形为：

上式显然是求前个正整数的和的公式这样我们就从一个求等腰三角形的面积的问题出发加以分析、研究，推出了一个等差数列的求和公式

(二)通过观察图形，发现变中有不变的数学思想

2下面每个图(如图2)中各有多少个黑色小正方形和白色小正方形？

(1)

(2)

(3)

(4)

…

()
图2

1这样接着画下去，第8个图形中有多少个黑色小正方形和多少个白色小正方形？第15个图形呢？第个图形呢？你能解释其中的道理吗？

观察、比较后一个图形与前一个图形中白色小正方形的个数，很容易得出相邻两个图形中的白色小正方形个数变化的规律是相差2，也就是以2个白色小正方形作为公差在变化

2这些图形中有没有不变的小正方形？变化的是什么？

通过观察、分析发现：第1个图形中有一个黑色小正方形，就有6个加2个白色小正方形；第2个图形中有2个黑色小正方形，就有6个加4个白色小正方形无论图形怎么变化，在图形中始终不变的是“6个白色小正方形”

由此，可以推出：

第8个图形中,有8个黑色小正方形，以及白色小正方形：6+2×8=22(个)；

第15个图形中，有15个黑色小正方形，以及白色小正方形：6+2×15=36(个)；

……

第个图形中白色小正方形有：6+2×=2(+3)(个)

通过观察，我们发现，虽然各图中的黑色小正方形和白色小正方形的数量变化了，但位于最左边和最右边的3+3=6个白色小正方形始终保持不变各图都具有这样的规律，即变中有不变这一重要的数学思想，我们由此得出了第个图形中白色小正方形的个数

(三)通过对有限个数据的观察、分析，找出无限个数据的规律

35252，5262，5272，5282，5292,5302，这六个数的总和是多少？

这道题有多种解法，把六个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但数较大，计算起来容易出现错误

如果仔细观察、分析，就可以发现这六个数之间具有这样的关系：第二个数比第一个数大10，第三个数比第二个数大10，第四个数比第三个数大10，第五个数比第四个数大10，第六个数比第五个数大10

因此，这道题可以用以下的方法计算：

5252+5262+5272+5282+5292+5302

=5252×6+10(1+2+3+4+5)

=31512+150

=31662

如果将具有这样关系的个数相加，那么它们的和又是多少？

分析：通过对前5个数据的分析，可以猜想此数列的通项公式为： 5252×+10×[(1+2+3+4+…+(-2)+(-1)]如果假设第一个数为,那么，它们的和应为：×+10×[(1+2+3+4+…+(-2)+(-1)]

由此，我们找到了具有这样关系的数的和的规律，实际上，这一规律中隐藏着等差数列前项和的公式

由上可以看出，对一个问题的解答，是从观察开始的通过观察，我们可以找到题中给出的条件具有的特征，进而通过分析、探讨、研究使问题得以解决，并进一步挖掘出问题中隐含着的新知识

(四)通过对一般函数求导，进一步推出复合函数的求导法则

4求函数=sin 2及=sin的导数

事实上，对于函数=sin 2，=sin，我们可以利用导数的定义及导数的四则运算法则求出它们的导数

′=(sin 2)′=(2sincos)′=2(sincos)′

=2[(sin)′cos+sin(cos)′]

=2(cos-sin)

=2cos 2

同函数=sin 2的求导方式，函数=sin的求导过程如下：

即(sin)′≠2sin

从以上两个函数的求导过程来看，我们可以猜测：一个复合函数的导数等于该函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数之积事实上，这个猜测是正确的即求复合函数的导数时，先求=()对中间变量的导数，再求出=()对的导数，然后相乘即可对于函数=[()]，可以看作是由函数=()和=()复合而成的，若函数=()在点处可导，函数=()在对应点处可导，则复合函数=[()]也在点处可导，且[()]′=()′·()′

数学大师希尔伯特曾经指出：“数学知识终究是依赖于某种类型的直观洞察力”这里的直观洞察力包括了观察法、归纳法、类比和联想等

四、结语

总之，观察是认识的开端，是发现问题、了解问题和解决问题的第一步，没有这个开端，对问题的探究就无法开展我们如果能够很好地利用观察法，就可以为后续的研究打好基础，为获得科研、应用或教学的成果提供良好的前提条件当然，观察仅是整个工作的第一步，为了最终获得问题的解决、取得有用的成果，我们还需要在观察的基础上，采用各种相应的方法(如抽象法、类比法、联想法、分析法、综合法、归纳法)和途径做进一步的探讨观察是掌握数学知识的重要途径，是获得数学知识和能力的前提和条件，也是发现新知识最重要的一个环节