研究数学方法，提高中学数学教师业务水平

江苏省新沂市实验学校 孙丽平

中学数学教师的职责当然是教学，但为了搞好教学，就要适当地研究数学方法，提高自己的业务水平。可以说，研究、掌握并能够灵活地运用数学方法，是提高中学数学教师业务水平的关键。本文试对中学数学方法进行较为粗略的研究与探讨。

一、中学数学方法的含义、研究途径和研究意义

中学数学教师要提高自己的业务水平，就要研究、掌握中学数学方法，并灵活运用于自己的教学实践中。对此，首先要了解中学数学方法的含义、研究的途径和研究的意义。

1.中学数学方法的含义。

“方法”是解决具体问题而采用的方式、途经或手段，数学方法即是解决数学具体问题而采用的方式、途经或手段。也就是说，数学方法就是指数学的研究方法（包括数学思想），具体地说，就是根据数学学科的特点，运用概念、方法、技巧及数量关系，导出刻画数学学科的量的规律结果，并且不断地总结出种种在量之间进行推导和运算的具体方法。

需要强调的是，我们这里所说的中学数学方法，不是指通常的计算方法或工程技术中的数学方法，它基本上是属于科学数学方法论中的一些具体的研究方法，如反证法、同一法、待定系数法等。但就其本身而言，它既具有大量的具体方法，又具有对其他科学研究也有指导与借鉴意义的方法，如抽象分析法、模型法、公理化方法等；而且它还必须以唯物辩证法为指导，即具有哲学方法，如从实际出发、进行调查研究的方法，分析矛盾的方法等。

2.研究中学数学方法的途径。

中学数学方法是人类在数学发展中积累起来的宝贵精神财富，有着广阔的研究领域和丰富的研究内容。怎样才能把前人遗留下来的数学研究方法进行全面的总结与概括，这是一项艰巨的工作。要研究中学数学方法，需要注意以下途径：（1）要研究中学数学理论。中学数学教师要有坚实的数学理论基础，提高自己的数学修养，为研究数学方法打下基础。有了这个基础之后，要提高自己的解题能力，思考、感悟能力，总结、归纳能力。（2）要研究中学数学史著作。中学数学教师要阅读一定量的数学史著作，因为数学史著作中蕴含了丰富的数学研究成果，也记载了数学家们进行研究时的思维活动，从中可以提炼出有效的研究方法。（3）要研究中学数学中的唯物辩证法。中学数学教师要掌握唯物辩证法的研究方法。因为数学是从实践中来的，又要指导实践。因此实践是第一性的，方法是第二性的。在数学的产生与发展中充满了唯物辩证法，研究数学方法必须运用唯物辩证法就显而易见了。

总之，中学数学教师研究数学方法必须有良好的数学修养，坚实的数学理论基础，并以唯物辩证法为指导，密切联系数学发展史，尤其是数学思维发展史，剖析数学发现的重大成果，从中概括出切实可行的研究方法，这就是中学数学教师研究数学方法的基本途径。

3.研究中学数学方法的意义。

中学数学教师不研究、掌握数学方法虽然也能教学，但教学是盲目的、低效的，这样的教师是典型的“教书匠”。中学数学教师如果研究并掌握了数学方法，教学就能够高屋建瓴，驾轻就熟，提高教学效率；这样的教师，能够慢慢地成长为专家型、学者型的教师。具体地说，研究、掌握并灵活地运用中学数学方法有如下一些意义：（1）有利于中学数学教师准确把握《义务教育数学课程标准》，加深对中学数学教材的理解，提高自己的业务素质与业务能力，为胜任中学数学教学创造条件。（2）整个中学数学教材内容，充满了数学方法学习与应用。因此，研究、掌握并灵活地运用中学数学方法，在教学中能够发挥事半功倍、举一反三的作用，能够有效地提高数学教学效率；能够提高中学数学教师的数学研究能力，为数学理论的发展及其应用研究作出贡献。（3）能够丰富马克思主义哲学中的辩证法，一是因为数学中本身就充满了辩证法，二是数学思维能够推动辩证法的发展。

中学数学方法包括一般的研究方法和特殊的研究方法，一般的研究方法是从特殊研究方法中概括和发展出来的，是更具有普遍意义的方法。

二、中学数学的一般研究方法

作为数学学科研究的一般方法，虽然可以细分为很多具体的方法，但一般来说把它分为化归方法、模型方法、结构主义方法等。

1.化归方法。

化归方法是数学中非常重要的方法，运用极为广泛，如因果观点是通过分析、综合来实现命题之间的等价或非等价转化，递推关系是通过递推关系达到特殊向一般的转化，数与形之间、具体与抽象之间也是通过化归来实现转化。

化归方法也是中学数学中的重要方法，如把高次方程化为低次方程，把无理方程化为有理方程，把乘除法化为加减法，把立体几何问题化为平面几何问题，把几何问题化为代数问题，把无穷化为有穷，把连续化为离散等，这些都是化归方法在中学数学中的具体运用。

化归方法的核心是“等价变形”，等价变形往往可以通过对有关问题的必要和充分条件的逻辑演绎和计算来实现，而问题变换则要借助于合适的“映射”来完成。在同构的基础上，建立的关系、映射、反演方法，简称RMI（三个词语的英文首字母）方法，就是一种具有更普遍意义的映射方法。从原则上看，RMI 方法属于一般化归原则的概念范畴，但它是后者在某一方面的深化和具体化。由于数学的发展，人们已经具备了集合论的概念，并且在各个数学分支中大量接触到各种映射和变换等概念，这就使得RMI 方法原则有可能从一般的化归原则中脱颖而出，成为有其独立内容的数学方法论原则，并且能更贴切地直接应用于数学各分支。下面几种是在数学中有广泛应用的RMI 数学方法：（1）换元法。如根式代换、指数代换、对数代换、三角代换、复变量代换。（2）坐标法。即有映射：点实数对(x，y)。（3）初等变换法。如对称、平移、旋转、压缩等，常用于研究几何问题。（4）复数法。即有映射：Z（x, y）Z=x+iy。

2.数学模型方法。

数学模型方法简称MM（英文首字母）方法，广泛应用于自然科学和工程技术等许多领域。近年来，这一方法与问题解决已成为数学教学关注的热点。

MM数学方法一类由数学中的基本概念构造的MM，通常称为概念型MM；一类由公式、方程、函数构造的MM，通常称为方法型MM，它们大多是由对象间的数量关系抽象出来的，它们可直接用于解决有关的实际问题。

如欧几里得几何是根据直觉空间形体关系分析的MM，这类模型称为结构型MM，它是以数学对象为原型，经过多层次抽象得到的，是在已有数学知识基础上抽象出来的数学分支，各自有不同的逻辑系统，形成了不同的数学结构。在现代科技中常用的群、环、域、线性空间、拓扑空间等都属于这类MM。

从各个不同的角度，按照不同的标准，MM常常可以分成许多类型。例如，就运算方式可分为离散（或脉冲）型MM与连续（或模拟）型MM；就模型中的变量是否确定可分为确定型MM、随机型MM与模糊型MM，等等。然而从数学研究的基本对象数与形来分，数学模型不外分为数量关系MM，逻辑关系MM与混合关系MM三类。

构造MM的基本方法是数学抽象法，这种方法是对实际问题进行抽象概括，同时抓住问题实质，作具体分析的一种方法。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情形，创造出新的数学概念和方法去表现MM。在中学数学教学中，要加强建模教学。

3.结构主义方法。

结构主义方法在教材处理上强调趣味性，强调数学直观和实验，纠正学生视数学为畏途的观念，有一定的积极意义。

根据结构主义方法，数学可以分为如下三类：（1）代数结构。由离散性对象加运算构成的结构系统，称之为代数结构。如群、环、域、代数系统、范畴、线性空间等，其中群结构是最基本的代数结构。（2）序结构。所谓序结构，就是存在顺序关系的那种结构，如半序集、全序集、良序集等。（3）拓扑结构。所谓拓扑结构，就是能够描述极限的那种结构，要描述极限，就需要距离概念。因此，对于一个集合中的元素之间只要能引进“距离”（或度量）的定义，即可形成一个拓扑结构。如拓扑空间、紧致集、完备性度量空间、赋范空间等都是拓扑结构。这三种结构都有各种交叉形成“分支结构”。

需要指出的是，在中学数学里研究对象的拓扑结构（如实数域R、三维点集空间帮及其子空间）是借助度量来给出的，这一事实掩盖了在中学里拓扑空间的一般概念的作用。在中学数学里把空间的点与点之间距离的概念提到最重要的地位，而对拓扑的某些概念（如开集与闭集、连通性、集合的边界等）没有给出明确的定义。然而在中学数学里一般拓扑概念的作用是很大的：线、面、体之间的差别具有拓扑性质，图形的边界概念，开的图形和封闭图形之间的差别，等等，同样是属于拓扑领域的。在几何教材里研究平面的平行投影，这是关于仿射变换的，而且在一般情况下，它既不保持度量，也不保持距离的比，但是仿射变换使平面的拓扑结构保持不变。

三、中学数学的特殊研究方法

中学数学的一般研究方法具有普遍的意义，但作为渴望不断成长的中学数学教师来说，还需要继续研究数学中几种常用的特殊研究方法，如分解与组合、特殊化与一般化、递推法。

1.分解与组合。

分解与组合是分析和认识数学问题的一个重要方法。分解的意义有：（1）通过分解弄清问题的外延。（2）把一个问题分解为几个熟悉的小问题。（3）使数学概念由低级向高级逐步推进。分解对于实现化归有着重要的作用。但是，在许多情况下，分解并不能独立地实现化归的全过程。要完全实现化归过程，往往还要进行组合。这正是分解与组合作为一种数学方法在化归过程中的活力所在。

如果问题的外延比较复杂，我们可以用二分法进行分解。所谓二分法，就是按对象有或没有某一性质来进行分解的方法。它可以把问题的外延连贯地分解成互相矛盾的两个方面，直到不必再分为止。

如：已知四边形P1P2P3P4的四个顶点位于△ABC 的边上，求证：在这四边形的四个顶点中总可找到这样三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于△ABC 面积的1/4。

证明：由于四边形的四顶点位于三角形的三边上，根据抽屉原则知至少有两点在同一边上，并且每条边上至多有两点。所以如图所示，不妨设P2、P3在BC 边上，并设P2在B 与P3之间。这时，P1P4的位置及四点的相互位置关系，用二分法分解即可得到答案。

分解与组合的思想方法是辩证思维方法之一，“分”“合”相辅是数学解题的重要策略之一。

2.特殊化与一般化。

特殊化具有事物的个性特征，是一种个别现象，有的显得很简单；一般化则是从特殊化中抽象出来的具有普遍意义的原理。“特殊化”与“一般化”的思想方法也是辩证思维的方法之一，因为从简单的“特殊化”能够推导出具有规律性的“一般化”，而“一般化”又能够反过来指导“特殊化”。

“爬坡式推理”就是一种从简单情形看问题的方法，它以简单情形为起点，为解一般问题奠定基础。并且简单情形就像一面镜子，一把钥匙，可以为我们看清问题助一臂之力，为探索问题途径提供线索和积累经验，成为解决一般问题的突破口。

由“特殊”到“一般”的过程称为一般化过程，实现这个过程首先需要找出待处理问题的一般原型，但找出待处理问题的一般原型，只是完成了一般化工作的主要部分，如要最终解决，我们还须接着把对一般问题的研究再回落到具体的、特殊问题上。因此，一般化总是与特殊化结合在一起去实现化归的。

一般化过程是发散思维的过程，一般化的途径与结果都是不确定的。所有这些都使一般化方法具有创造性。

3.递推法。

递推法是探索数学规律和解题思路的重要方法。在建立递推关系时，要根据实际问题的特点，进行深入的分析。在建立递推关系的过程中，需要涉及一些递推关系的解法，如列举累加法、列举归纳法等。实际上，数学归纳法采用的也是递归模式的推理。在数论中举足轻重的辗转相除法、高阶行列式求值时的递推展开以及无限下推法等等，都是递推模式的体现。如果说递推关系求解是求解的数学归纳法，那么，数学归纳法正是证明的递推法，它们之间有着深刻的共同点。

递推法在中学数学教学中有着广泛的应用，内容涉及到数列、方程、不等式、组合、函数等许多方面。

目前，关于中学数学方法的研究从整体上看，还处在一个初级起步阶段。虽然这样，普遍的看法正如波利亚所说：“一个想法使用一次是一个技巧，经过多次使用就可成为一种方法。”而当数学方法的层次增加到几乎所有数学问题都能使用时，则称这种最高层次的数学方法为数学思想。数学思想是数学的核心，只有把数学思想掌握了，数学教学才能发生作用，数学形成的演绎体系才有灵魂。

作为中学数学教师，要研究、掌握这种数学方法，尤其是数学思想，并把这种数学方法和数学思想运用于自己的教学实践中。唯有如此，才能够提高自己的业务水平，才能够提高自己的课堂教学效率，才能够为自己成长为专家型、学者型教师奠定坚实的基础。