双迷宫型通道Helmholtz周期结构的低频带隙机理及隔声特性

韩东海,张广军，赵静波，胡培洲，姚 宏，刘 红

(1.空军工程大学基础部，西安 710051；2.空军工程大学航空工程学院，西安 710038)

0 引 言

低频降噪历来是国内外工程界学者关注的热点问题。随着我国空军装备的现代化和训练的实战化，飞行员将长时间在飞机机舱这种密闭舱室进行训练和作战。而飞机机舱距噪声源较近，长时间的噪声将对飞机上的精密设备和飞行员的身体健康产生极大危害，其噪声主要特点是噪声频率范围广、低频段噪声作用明显。传统的低频降噪手段需要庞大的系统和材料，会使飞机的重量增加，从而使飞机的作战性能大幅降低，这显然不符合实战化要求。因此，寻找一种低频、轻质、小巧的隔声降噪材料或结构是解决这一问题的关键。

近年来，声子晶体的研究应用为减振降噪、控制低频噪声提供了新的解决办法。声子晶体是由两种或两种以上材料组成的周期性复合材料或结构。由于声子晶体的结构参数具有周期变化的特点，因此具有带隙特性，具体指的是：位于带隙频段内的声波或弹性波在该材料或结构内无法传播，而带隙频率范围外的声波或弹性波可以正常传播。正是由于这一特性，声子晶体在隔振降噪领域不断发展，受到各国学者关注[1-7]。Kushwaha等[8]于1993年首次提出声子晶体概念，并且提出在该结构中存在剪切波的完整带隙；Martínez-Sala等[9]于1995年首次验证了弹性波带隙的存在；Sheng等[10]发现了一种突破传统Bragg散射型声子晶体局限的局域共振型声子晶体，并从此在低频降噪领域打开了新的局面。

其中，基于局域共振原理的Helmholtz共振腔是一种典型的声学结构，具有负质量密度、负体积模量的“双负”特性[11-12]。该结构是基于空气自身的振动作用，因此在材料的选用或系统的构成上，具有小型化、轻质化的优点，符合声子晶体在实际使用过程中的需求，得到了众多学者的认可[13-17]。Guan等[16]设计了一种螺旋形Helmholtz共振腔声子晶体，该型声子晶体通过改变开口处空气柱长度，使得第一带隙下限降至217 Hz；刘敏等[18]将Helmholtz结构设计成圆柱形开缝型，进一步打开了低频带隙；Jiang等[19]将Helmholtz 结构设计成双开口形式，将第一带隙下限降至87.1 Hz；Cai等[20]提出用长颈或螺旋颈取代了Helmholtz共振腔传统的直颈，提高了结构的低频降噪性能；张宪旭等[21]通过对 Helmholtz共振腔短管位置进行控制，得到了可在1 300～1 500 Hz和1 500～2 000 Hz范围内有效控制噪声的新型声子晶体。

这些研究对于提高Helmholtz共振腔的声学性能具有重要的意义，但目前考虑低频隔声特性的研究仍然较少，尤其是100 Hz以下的低频段。本文设计了一种双迷宫型通道的Helmholtz周期结构，对其带隙机理进行了深入研究，通过有限元法得到了该结构在0～500 Hz频率范围内的能带结构及隔声特性，通过声-电类比的方法建立该结构的等效电路模型，进一步探索了声子晶体的带隙机理及结构设计参数对带隙的影响，为低频降噪领域中声子晶体结构设计提供了新的思考方向。

1 结构设计与特性分析

1.1 结构设计

双迷宫型通道Helmholtz周期结构的元胞横截面如图1所示(其中x，y为其周期排列方向)，该结构框架为正方形结构，材质为钢，整体分为内外两腔，内腔通过两个迷宫型的通道与外腔连接，其中晶格常数为a，正方形结构边长为l，管壁厚度为d，两侧迷宫形通道的宽度为s，等效长度为l1，悬臂梁的数目为n，内腔体积为V1，外腔体积为V2。通过折叠和盘绕，迷宫型通道的设计能够充分利用腔体空间折叠和盘绕，使得Helmholtz腔结构的空气通道长度大幅增加，因此声波在结构中的传播距离能够充分延长，可以有效降低低频带隙下限，狭窄的迷宫型通道通过粘滞作用使得部分声能转化为热能而损耗，提高其低频隔声能力；同时，采用的双开口设计，使共振区域增加，从而打开了更多低频带隙，并得到较低的低频能带特性，在结构设计中，可以通过改变通道长度及元胞之间排列方式来达到调节带隙范围的目的。

1.2 带隙及隔声特性分析

为了计算结构的带隙结构和隔声特性，在Comsol Multiphysics平台上选用压力声学和固体力学模块。在仿真实验中，考虑到空气的声阻抗比钢要小得多，声波很难发生透射，因此在仿真实验中可认为声波透过结构框架所消耗的能量非常微小，在计算过程中可以忽略，本文将结构框架视为刚体，不考虑其振动。由于该结构在x、y方向呈周期排列，可在该元胞的在x、y方向各施加Bloch-Floquet边界，将周期结构简化为单一元胞结构，按照正方形晶格的不可约Brillouin区遍历扫描，得到了该结构在0～500 Hz频率范围内的能带结构。为了得到双迷宫型通道Helmholtz周期结构在0～500 Hz频率范围内的隔声特性，本文构建了由7个元胞组成的周期结构，如图2所示。该结构在x方向上由7个元胞沿横向周期排列，元胞中心之间距离为a，而在y方向上设置一对Bloch-Floquet周期性边界，模拟纵向的无限周期排列。另外，在周期结构两侧分别建立入射声场和透射声场，声波输入采用平面波辐射，沿横向垂直入射，并在周期结构另一侧检测透射声压。为了减小计算结果的误差，在结构的左右两侧设置完美匹配层来吸收声波，而对于该结构的上下两边，则选择周期边界条件来代入计算。对于本文所要研究的双迷宫型通道的Helmholtz周期结构，可通过式(1)计算出隔声量T(或称传声损失)：

(1)

式中：Pi为入射声压；Po为输出声压。

实验中所设置结构参数如表1所示。

表1 结构参数Table 1 Structural parameters

仿真计算得到的带隙结构和传输特性如图3所示。

如图3(a)所示，该结构在0～500 Hz的频率范围内，具有3条完整的带隙(图中灰色部分)，其带隙范围分别为34.21～94.86 Hz、251.9～252.9 Hz和257.71～295.26 Hz。其中，带隙范围为34.21～94.86 Hz的完整带隙即为最低带隙，其带隙下限低至34 Hz左右，突破了传统声子晶体的带隙下限。考虑到实验存在的误差，同时也为了验证计算的正确性，本文做出了有限周期结构的传声特性图，如图3(b)所示。通过分析传声特性图可知，频率在带隙范围内的声波在该结构中传播时受到抑制，且声波的抑制范围与带隙频率范围相符合，充分证明了带隙计算的正确性；同时，在35 Hz左右出现一个32 dB隔声峰，在251 Hz处出现一个91 dB左右的隔声峰，在259 Hz处出现一个80 dB左右的隔声峰，表现出较高的低频隔声性能。另外，该结构在高频范围的隔声峰值大于低频范围的峰值，符合声子晶体结构的隔声规律。

2 低频带隙形成机理分析与等效模型的建立

2.1 带隙形成机理分析

从图3(a)中可以看出，能带曲线呈现较长的平直态，表明该结构存在局域共振模态。为了进一步探究双迷宫型通道Helmholtz周期结构的能带结构，揭示其带隙形成机理，本文选取第一带隙中的起始点和截止点(见图3(a)所示A、B点)作为研究对象，并提取了各点处的声场压力分布(见图4)，分析其带隙的形成机理。

图4(a)为A点的声压场，分析该图可知，此时结构内腔中的声压较大，基本上全部声压都分布在内腔中，外腔的声压很小，几乎为0。在迷宫型通道内，声压大小呈梯度变化，声压强度由内向外逐渐减小。这说明，在A模态状态下，由于入射声波的激励，该结构内腔中的空气与两侧迷宫通道中的空气形成了共振，声波因此被局域在结构的内部，无法在结构之间继续传递。因此A模态对应了第一带隙的下限，是带隙的起始点。

图4(b)为B点的声压场，分析该图可知，与A模态相反，B模态的全部声压基本上都分布在外腔中，迷宫通道内声压强度同样呈梯度变化，由外向内递减，而内腔声压较小，且为负值。这表明，在B模态的状态下，该频率的声波可以在结构之间正常传播而不受影响。因此B模态对应了第一带隙的上限，是带隙的截止点。

另外，由于迷宫型通道较为狭窄，通道内壁与空气之间会产生粘滞损失，粘滞作用使得部分声能转化为热能而损耗，此时，在通道内空气振动过程中会产生能量损失，普通波动方程的假设条件不再成立。其中，结构的热粘性损耗主要集中在迷宫型通道处，内腔部分的热粘性功耗可忽略不计。综上分析，本文通过使用声-电类比的方法来建立A、B两种模态的等效电路模型，并对该数学模型进行研究计算，探究A、B模态对该声子晶体的带隙结构的影响。

2.2 建立等效电路模型

为方便读者理解，本文在对双迷宫型通道Helmholtz周期结构带隙形成机理的分析中，将该结构划分成4个部分——左侧通道、右侧通道、内腔和外腔。

模态A主要是由内腔及两侧的迷宫型通道的空气区域协同共振产生，而结构外部的声压场压力为0，因此外腔不做考虑。根据声-电类比原理，Helmholtz谐振腔中各部分结构线度远小于声波的波长，声波在Helmholtz腔中的动态类似于电感、电容元件在电路中的电流动态。对于Helmholtz腔的开口部分，此处可看作声质量振子，类比为电路中的电感和电阻元件，内腔部分可看作弹性元件，类比为电容元件。因此，该结构中狭长的迷宫型通道内空气可以等效为电感L1和L2，而内腔中空气可等效为电容C1，由于迷宫通道比较狭窄，通道内空气与通道壁面之间存在粘滞性阻力，会引起一部分能量损耗，相当于在等效电路模型中添加电阻R。综上所述，其构成的等效电路如图5所示。

设结构高度为1，图5中L1和L2为等效电感，其表达式为：

(2)

式中：ρa为空气密度；l1为迷宫型通道长度；S为迷宫型通道的横截面积。

图5中C1为内腔空气的等效电容，其表达式为：

(3)

式中：V1为内腔体积；c为空气中声速。

系统结构振动的阻尼作用取决于空气振动时通道壁面对空气产生的粘滞性阻力，该部分的声阻(R)表达式为：

(4)

式中：μ0为空气的运动粘性系数。

模态A处的共振频率计算式为：

(5)

通过上述分析可知，为进一步提高低频隔声特性，降低带隙下限的起始频率，可以增大等效电感L1和等效电容C1数值。由式(2)可知，增大等效电感L1可以通过增大迷宫型通道长度l1或者减小迷宫型通道的横截面积S实现；由式(3)可知，增加等效电容C1可以通过增大内腔体积V1实现。这为声子晶体的低频设计提供方向。

对于模态B，由于左侧通道、右侧通道、内腔和外腔四个区域都具有声压场，因此在进行声-电类比的过程中，要完全考虑4个区域的作用，其构成的等效电路如图6所示。

图中C2为外腔空气的等效电容，其表达式为：

(6)

式中：V2为外腔体积。

模态B处的共振频率计算式为：

(7)

通过上述分析可知，为增加该结构带隙宽度，拓宽低频隔声的频率范围，提高带隙上限的截止频率，可以减小等效电感L1或等效电容C1、C2数值。由式(2)可知，减小等效电感L1可以通过减小迷宫型通道长度l1或者增大迷宫型通道的横截面积S实现；由式(3)可知，减小等效电容C1可以通过减小内腔体积V1实现；由式(6)可知，减小等效电容C2可以通过减小晶格常数a实现。这为提高声子晶体带隙上限，拓宽带隙宽度提供了结构设计思路。

等效电路模型计算与仿真实验两种方法所得结果如表2所示，其中误差是将仿真实验所得结果作为真实值计算所得。

表2 仿真实验与等效模型计算结果比较Table 2 Results of simulation experiment method and equivalent model method

可见，采用等效模型进行计算所得结果与仿真实验计算所得结果的误差较小，证明了该方法的正确性。两种方法产生误差的主要原因是：(1)迷宫通道中的空气可压缩性的影响不可忽略，导致等效模型的计算结果出现了误差；(2)迷宫型通道的等效长度及宽度难以精确测量，为等效模型的计算带来误差。

3 低频带隙影响因素分析

上节建立了双迷宫型通道Helmholtz周期结构在第一低频带隙上限和下限处的等效电路模型，本节将通过该模型对低频带隙影响因素进行分析。综合上述分析，对该结构低频带隙造成影响的因素主要是开口长度和晶格常数，为了便于比对分析，本文采用了控制变量法，在分析双迷宫型通道Helmholtz周期结构的开口长度和晶格常数对低频带隙产生的影响时，设定其余结构参数保持不变。

3.1 开口长度对低频带隙的影响

为了便于对比分析，在分析开口长度对低频带隙的影响时，取结构参数为a=63 mm、l=60 mm、s=0.35 mm、b=0.5 mm不变，当悬臂梁个数n的数目由3到8不断增大时，实质是迷宫型开口通道的长度不断增加，其对应关系如表3所示。计算此时带隙结构变化，得到迷宫型通道长度l1对带隙结构的影响如图7所示。

表3 悬臂梁个数n与通道长度l1的对应关系Table 3 Corresponding relationship between n and l1

如表3和图7所示，随着悬臂梁个数n的增加，迷宫型通道的长度在不断增加，而第一带隙下限和第一带隙上限在不断降低，带隙宽度不断变窄。根据等效电路模型分析可知，降低带隙下限的起始频率可以通过增加迷宫型通道长度l1或者增加内腔体积V1等方式实现，此时迷宫型通道长度l1的增加实质上是等效电感L1和L2的增加，同时悬臂梁个数n的增加也导致了内腔体积V1减小，但减小的幅度相对较小，而迷宫型通道长度相对大幅度增加和内腔体积相对小幅度减小相结合，从而导致带隙下限逐渐减小。第一带隙上限是由左侧通道、右侧通道、内腔和外腔4个区域共同作用所形成的结果。随着迷宫型通道长度l1增加，等效电感L1和L2也随之增加，而内腔空气的等效电容C1随之减小，外腔空气的等效电容C2基本不变，从而导致第一带隙上限降低，使得第一带隙的宽度变小，实验结果进一步证明了等效电路模型的正确性。因此通过改变悬臂梁数目n，能够在特定频段达到降噪消声的效果。

3.2 晶格常数对低频带隙的影响

为了便于对比分析，在探究该结构的晶格常数对第一带隙上下限的影响时，同样保持其余结构参数固定，将结构的晶格常数a以2 mm为间隔，从62 mm增加到70 mm，计算此时带隙结构在不同晶格常数条件下的变化，得到了第一带隙上下限随晶格常数增加而变化的曲线图，如图8所示。

图8显示了晶格常数a对第一带隙的影响，通过对该图分析可以得出，晶格常数对带隙上限影响较大，对带隙下限基本没有影响。随着晶格常数逐渐增大，其带隙上限不断下降，而带隙下限基本没有变化，导致其带隙宽度不断减小。通过对声-电类比法所得的等效电路模型分析可知，增加带隙宽度，提高带隙上限的截止频率，可以通过减小晶格常数a实现。实验表明，随着a不断增大，其外腔空气的等效电容C2也随之增大，与内腔空气的等效电容C1串联后的电容也变大，导致带隙上限的截止频率下降。但从另一个角度来看，通过减小结构单元的间隔，就能够有效扩宽该结构的带隙宽度。

由于双迷宫型通道Helmholtz周期结构特有的内外腔设计，可以通过减小晶格常数，增大带隙上限，从而得到较宽的低频带隙宽度。可以通过增加开口长度，使带隙上限和带隙下限有效降低，使低频带隙频段发生移动，到达特定频段。研究所得的这些结论对于该结构在低频降噪领域的应用具有一定的参考意义。

4 结 论

本文利用Helmholtz腔这一声学结构，提出了一种双迷宫型通道Helmholtz周期结构，该结构在0～500 Hz范围内存在多个低频带隙，且在低频范围内表现出了较好的隔声特性。文中采用有限元法研究了其能带结构和隔声特性，并采用声-电类比的方法构建了等效电路模型，进一步揭示了该结构的带隙产生机理，并探究了迷宫型通道长度和晶格常数等参数对带隙的影响。通过仿真实验与理论推导相互验证，证明了带隙计算的正确性。研究表明：通过设计改变悬臂梁数目，可以在特定频段达到降噪消声的效果；通过减小排列间隔来减小晶格常数，可以大幅增加其带隙范围，扩宽带隙宽度。这对解决宽频隔振问题提供了思路和理论支撑，对飞机舱室中的噪声控制问题提供了新的解决思路。