Sylvester 可测算子方程的解∗

许毛丹，闫 成

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

Sylvester 方程是由Sylvester 在1884 年引入的线性方程,他证明了在矩阵上关于此类方程的基本结果[1].随后Sylvester 方程被广泛的应用于算子理论、物理、数值分析和工程上.Dalecki 与Rosenblum 在文献[2]和[3]中给出了Sylvester 方程在算子上的可解性.特别是Rosenblum 给出了方程在有界算子和无界算子上解的具体形式[3−4].Bhatia 和Rosenthal 在文献[5]中给出了Sylvester 方程在算子矩阵相似性、交换性和超不变子空间等方面的应用.在文献[6]中,Hiai 和Kosaki 给出许多关于矩阵方程解的积分表达式.通过这些积分表达式和双重算子积分,Dodds 等在文献[7]中研究了对称空间上Liapounov 方程的解.此外,将矩阵算子单调函数的反函数和Fr´echet 导数与积分表示结合,Bhatia 和Uchiyama 在文献[8]中研究了一类矩阵方程的解.在文献[9]中,Sano 给出该矩阵方程在特殊情况下的解.

本文主要讨论关于可测算子的Sylvester 方程的解.首先介绍Fr´echet 导数和τ可测算子的基本理论.其次给出算子方程解的积分表达式.最后讨论关于算子单调函数反函数的解和例子.

1 准备知识

设H 是可分的Hilbert 空间,M 是H 上具有正规忠实半有限迹τ的半有限von Neumann 代数(关于von Neumann 代数参阅文献[10-12]).设tr是矩阵的迹,则M2(M)表示由所有包含迹τ2=tr⊗τ的2×2 算子矩阵构成的von Neumann 代数(相关知识请参阅文献[13]).我们用1 和P(M)定义M 上的单位元和投影算子集合.如果对M 的交换子M′中的任一酉元u有ux=xu,则称线性算子x:D(x)→H 附属于M,其中D(x)⊆H.我们用ex表示H 上自伴算子x的谱测度.对任意Borel 集B⊆R,自伴算子x附属于M 当且仅当ex(B)∈P(M).如果对任意δ>0,存在e∈P(M),使得当e(H)∈D(x),τ(e⊥)≤δ时,则附属于M 的闭稠定算子x被称为是τ可测的.记L0(M)为τ可测算子全体(见文献[11]).如果x≥0,则称x是正的,自伴的和τ可测的.设x∈L0(M),s≥0.则x的第s个广义奇异值µs(x)为

我们用µ(x)表示函数s→µs(x).通过广义奇异值的方法,文献[14-15]的作者研究了次优化不等式(有关广义奇异值的基本性质请参阅文献[16]).在文献[7,11]中,非交换空间Lp和L1(M)+M 的定义为

其范数为

设X,Y为两个Banach 空间,B(X,Y) 为所有从X到Y的有界线性算子构成的空间.若U是X子集,f:U→Y是连续映射.则映射T∈B(X,Y)被称为f在点x0∈U的Fr´echet 导数当且仅当

如果f在U上每一点都可微,则它在U上可微.我们用Df表示f的Fr´echet 导数.

下面定义f的逆映射.设U是X的开子集,f:U→Y在U到Y的开子集V上是同胚映射,其中V=f(U).定义f的逆映射为f−1:V→X.当X=Y=L1(M)+M 时,我们有下面的引理.该引理中用到的技巧是处理算子方程的关键,特别是在本文中.引理2 的证明和文献[17]中定理2.2 的证明类似,为了方便和准确,我们给出证明细节.

引理1设X,Y是Banach 空间,U=B(a0,r)是X中闭球,F是U→Y的映射,其中a0是中心,r是半径.设T:X→Y是连续线性同胚映射.若对任意a1,a2∈U,存在q∈(0,1),有

2 算子方程的解

有关扇形算子的定义请参阅文献[18].我们首先给出下面一个引理.

引理3设0

证明要证Dψ(a) 是单射,只需证方程ax+xa=0 有唯一解.设x是齐次方程ax+xa=0 的解.对于λ∈ρ(a)∩ρ(−a),我们有

其中ρ是预解集.令t>0,将a的条件与上述等式结合,我们可以得到下列积分收敛且

其中Γ 为a的谱的边界线,与−a的谱分离,且方向为正.因(−a−λ)−1一致有界,则上述等式右边项消失.因此,

3 算子单调函数

在本节中,我们研究关于算子单调函数反函数的一些解和例子.为了方便,我们引入下列符号.我们用D 定义区间(0,∞)和上下半平面的并集.设Q是一个集合,其定义为