水下爆炸气泡运动稳定性分析研究*

张永坤

（91439部队 大连 116041）

1 引言

装药在水中引爆后，变成高温、高压气体，该气体被周围的水包围形成气泡。气泡内部高压驱使周围的流体以小于声速的速度向外扩散，在此阶段，一般把水看成不可压缩介质。由于惯性作用，气泡将过度膨胀，内压力减小，直至仅占外部流体静水压很小一部分，气泡表面的负压差使气泡的膨胀运动停止，并使气泡产生收缩运动，收缩过程由流场中周围流体静压力驱动，该过程将会继续直至不断增加的内部气泡压力将该过程瞬间逆转过来。气体和水的弹性特性、水的惯性为气泡振荡提供条件，该过程被称为气泡脉动，脉动过程直至气泡破裂为止。假定气泡周围水的密度不变，并且气泡保持球形，这两个假定在气泡膨胀阶段是可行的，随着气泡半径达到最小值（此时形成很大的压力与加速度）而越来越不正确。研究过程关注于第一次气泡脉动周期内气泡的产生、膨胀、最大、收缩、最小，此过程气泡上浮量很小，基本不用考虑气泡上浮的情况。气泡也只关注单个爆炸产生的大气泡的情况，流体中群空泡、碎空泡等情况不加以考虑。

水下爆炸气泡运动过程及分析，国内外学者开展了大量的研究，主要包括理论分析、科研试验、数值计算等方面［1～14］，为气泡运动稳定性分析奠定基础。文献［5］以势流理论为基础，忽略粘性影响，考虑气泡迁移效应、自由表面效应，建立了水下爆炸气泡脉动模型。文献［6］冲量时间基线的选取以及冲量的计算方法值得借鉴。文献［7］指出当气泡直径与水池直径比小于0.07，气泡直径与水深纸币小于0.15 时满足无限水域条件。炸药量一定的情况下，气泡脉动周期仅与静水压的5∕6 次方成比例。前期工作为本文研究奠定基础。

2 Rayleigh方程及其推广

早期气泡运动理论模型假定流体不可压缩、无粘和无旋的，忽略了压缩效应和粘性效应，认为在第一个脉动阶段，压缩效应和粘性效应都是不重要的。在球对称气泡的发展和坍塌阶段，可以通过对连续方程进行积分得到径向速度场，产生预期的类似源——汇的流场。

1）理想的Rayleigh方程

Rayleigh 最早对空化现象进行理论研究，建立了不可压缩流中理想球形气泡的运动方程：

采用Rayleigh 方程进行空泡溃灭的研究，在气泡半径较大时，其得到的结果具有一定的准确性，为研究气泡运动以及空泡发声奠定基础。虽然当空泡半径很小时，由于没有考虑空泡的气含量、表面张力、粘滞性、可压缩性等因素的影响，会导致一些不尽完善的结果，可以考虑通过相关参数、增减系数，使结果更趋于合理。

R 为气泡半径；Ṙ为对时间的一阶导数，径向速度；R̈为对时间的二阶导数，径向加速度；PR为气泡表面压力；P∞为无穷远处压力；ρ0为水密度。

2）考虑流体表面张力和粘性情况下得到的气泡运动控制方程：

S为表面张力，μ为粘性系数。

3）考虑气泡含气量情况下的Nolting-Neppiras方程：

4）考虑流体可压缩性时，根据Kirkwood-Bethe假设导出的Gilmore方程式：

c0为水中声速。

Rayleigh 的理论令空泡外侧的压力与真空空泡内部的压力相等。事实上，一个静空泡的表面压力将使空泡内的静压力比外部高，而且空泡也不会是真空的，它含有蒸汽和气体。如果空泡是在成长或破灭的运动过程中，由于粘性的作用，运动边界也要出现压力降，因此要考虑一些影响因素的作用。粘性的作用是在空泡成长和破灭过程中产生阻抗可机械能的损失；表面张力使气泡内的压力低于空泡壁外侧的压力，其对空泡起始有影响，但对空泡声发生的作用可以忽略；压缩性对空泡溃灭的最后阶段起到降低速度的作用。在此主要讨论永久气体的影响。溶解于水中的气体对水的张力强度起主要作用，因为它们控制着空泡的起始。此外，由于它们的存在对空泡溃灭起重要的缓冲作用，它们把空泡溃灭时的动能变为势能储存起来，因而空泡不会溃灭到半径等于零，而代之以一个最小的溃灭停止半径，它大约等于最大半径的1%到2%。然后，空泡又反弹，再次形成新的空泡和溃灭，通常重复此过程四到五次。

5）气泡内外压力平衡方程

气泡表面上的点的压力等于初始气体的压力和表面张力分量的和。由于流体表面张力对水下爆炸气泡的运动状态影响很少，也可忽略表面张力的影响。

半径为R=RE、内部气体分压为pGE的空泡稳定平衡方程。

pR为气泡表面压力；p∞为无穷远处压力（也可确定为静压P0）；S为表面张力。

初始时刻的平衡（半径为最小R0）：

气泡半径的变化应该关注以下两种情况。

1）气体分压pGE保持不变

此种情况摄动发生的时间很长，要保证空泡在液体中进行充分的质量扩散，这样才能使气体分压保持不变，且压力值与液体中溶融气体浓度相平衡。

2）空泡中气体质量和温度Tn不变

此种情况对于气体扩散而言发生得非常迅速。水下爆炸气泡属于第二种情况。

水下爆炸气泡在形成和发展过程中主要经历两个阶段。第一阶段是爆炸后气泡形成的初始阶段，该阶段时间极短、力学过程极其复杂。第二个阶段是气泡形成后在水中运动、变形的发展阶段。由于第一阶段经历的时间极短，可认为气泡体积很小、压力很高、保持球形、表面的扩张速度为零。在第二阶段气体膨胀和变形的过程中，一般近似作为绝热过程处理。在气泡的膨胀和压缩及其变形过程中，考虑到气体和水在密度上的巨大差异，忽略气体运动对气体压力的影响，认为气体的压力仅和气泡的初始状态及其体积有关。即气泡内的压力Pb与气泡体积V 的关系：

或简化为

γ为气体的比热，对于TNT 炸药爆炸产生的水下爆炸气泡，γ取1.25；对于理想气体，γ取1.4；pG0初始内压，计算公式如下式，W 为装药质量，V0为最小体积（或者是初始体积）。

3 Rayleigh方程稳定性分析

采用Lyapunov方法进行气泡运动稳定性分析，首先给出Lyapunov 方法，说明方法的适用条件，然后将一个气泡脉动周期的运动过程进行详细分解，之后对气泡的稳定性进行分析得到其稳定和非稳定状态。

3.1 Lyapunov 稳定性（平衡点的稳定性）分析方法

自治系统：

其中，f：D→Rn是定义域D ⊂Rn到Rn上的局部Lipschitz 映 射。假 定∈D 是 方 程 的 平 衡 点，即f(=0。

定义和定理都是对平衡点在Rn 上的原点，即xˉ=0 的情况而言的。通过变量代换可以把平衡点变换为原点。

设x=0 是方程（自治系统）的一个平衡点，D ⊂Rn是包含原点的定义域。设V：D→R是连续可微函数，如果V（0）=0，V（x）＞0 在D-｛0｝内，̇(x)≤0 在D内，那么，原点x=0是稳定的。

Lyapunov 定理也可另外表述为如果存在一个连续可微的正定函数V（x），使̇(x)为半负定的，那么原点是稳定的；如果为̇(x)负定的，那么原点是渐进稳定的。

采用Lyapunov 定理，可通过半径的变化参数R、Ṙ，分析说明气泡的稳定性，当Ṙ≤0，可认为半径R的变化是稳定的。

3.2 Rayleigh 方程所表示的气泡运动的稳定性及不稳定性说明

气泡运动过程只要是压力场的变化导致的半径、径向速度、径向加速度的变化，半径的参数主要为R、Ṙ、R̈。不考虑惯性的影响，不考虑上浮的影响，气泡各阶段半径参数的变化如表1所示。

根据能量守恒定律，以及气泡运动特点，在第一个脉动周期内，将空泡半径的变化分为8 个节点，包括爆炸初始时刻、膨胀到一定时刻、膨胀至最大、最大气泡半径、开始收缩、收缩一段时间、收缩至最小、最小气泡半径等，如表1 所示。气泡膨胀至最大后，一般会稳定一段时间，也可将节点3、4综合为一点来考虑。

半径R 反映了气泡的平衡状态；半径的变化Ṙ反映气泡的稳定状态以及半径的极值情况；径向速度的变化R̈也反映径向速度的极值情况。

表1 各个阶段气泡半径的变化

根据Lyapunov 稳定性分析方法，在气泡膨胀阶段（Ṙ＞0），膨胀速度的变化R̈均小于0，气泡均处于稳定膨胀状态。在4 节点处Ṙ=0，R 达到最大值。也可以说在4 节点（R̈=0，Ṙ=0），气泡到达最大半径时，气泡处于稳定膨胀、平衡状态，也可认为是稳定的平衡态。

膨胀阶段R̈＜0，Ṙ＞0，说明气泡半径的变化是稳定的膨胀；同样，在气泡收缩阶段：R̈＞0 ，Ṙ＜0，说明气泡半径的变化是不稳定的收缩。

半径R 反映了气泡的平衡状态：在节点3、4 之间气泡处于平衡状态，其他节点之间均处于相对的不平衡状态，也即相对运动的状态。

收缩阶段：半径R 一直在减小，直至溃灭节点，气泡均处于不平衡状态；半径的变化Ṙ（收缩速度）均大于0，气泡处于不稳定状态。径向速度的变化R̈在节点8 处可能为0，气泡溃灭，Ṙ出现极值。

最稳定的情况发生在Ṙ＞0 和R̈＜0 时，这些情况发生在生长的空泡接近其最大尺寸时；

最不稳定的情况发生在Ṙ＜0 和R̈≥0 时，这些情况仅发生在破裂的空穴反弹之前。

总地来讲，膨胀阶段气泡逐渐趋于稳定，到最大气泡半径气泡稳定平衡；收缩阶段均处于不稳定状态，至最小半径时最不稳定。

4 气泡半径的计算

4.1 初始气泡半径

1）直接计算药包半径，作为参考参数。

其中m为药包质量，ρ为药包密度。

2）根据能量守恒得到最大最小半径的比值，然后通过最大半径求解空化核尺寸。

当空化气泡从一个空化核生长到其初始尺寸的若干倍时，空泡将会在最大半径Rm处开始破裂，此时空泡内有一个很小的气体分压PGM，在典型空化流动中，Rm约为最初空化核尺寸R0的100倍。

辐射到液体中的压力脉冲有一个最大压力幅值PP，由下式近似给出：

3）由式（5），（8），（9）联合可得初始半径。

爆炸气泡γ一般取1.25。

4.2 最大气泡半径

最大气泡半径Rm与药包的装药量W 及爆心初始深度H之间的关系：

4.3 溃灭气泡半径

由表2 可知，在药包质量、入水深度确定的条件下，最大半径、脉动周期以及药包半径为比较准确的结果。最小半径与药包半径之比为10 左右，溃灭半径影响因素较多，结果不规律。

4.4 气泡脉动周期

几种水下爆炸试验过程气泡运动现象。

1）0.25kg 特屈儿药包，爆炸深度为91.5m。当气泡最初迅速膨胀以后，脉动缓慢下来，这种缓慢使运动在爆轰结束0.014s后停止下来。然后，气泡经0.028s以不断增加的速度压缩至最小。

表2 气泡半径计算结果

2）0.062kgTNT药包，爆炸深度为2m（海水深度为9m）。当气泡最初迅速膨胀以后，脉动缓慢下来，这种缓慢使运动在爆轰结束0.030s 后停止下来，稳定约0.010s，然后，气泡经0.030s 以不断增加的速度压缩至最小。如图1所示。

图1 62gTNT炸药气泡脉动时间半径曲线摄影图片

3）0.2kgTNT药包，爆炸深度为2m（海水深度为9m）。当气泡最初迅速膨胀以后，脉动缓慢下来，这种缓慢使运动在爆轰结束0.052s后停止下来，稳定约0.013s，然后，气泡经0.067s 以不断增加的速度压缩至最小。如图2所示。

图2 200gTNT装药爆炸气泡半径随时间变化曲线

62gTNT 当量装药水下2m 爆炸气泡最大半径为0.68m（理论计算爆炸气泡最大半径为0.61m，气泡脉动周期为91ms（理论值105ms）；200gTNT 装药水下2m爆炸气泡最大半径为0.83m（理论计算爆炸气泡最大半径为0.89m），气泡脉动周期为140ms（理论计算爆炸气泡脉动周期为152ms）。

比对分析可知，静压对于气泡运动周期的影响比较大，深水中大气压在静压中占比较小，静压主要由水深产生，气泡由最大压缩至最小的时间比较缓慢。

爆炸深度相同的情况下，药量的变换导致前半周期与后半周期存在一定的差异，两种情况下基本以最大半径为中心对称分布，最大气泡半径存在一定的稳定时段，药量大的工况气泡由最大衰减至最小的时间比较缓慢。试验样本量有限，更进一步的规律还需数据的进一步比对分析。

5 结语

通过本文研究得到以下结论。

1）根据Lyapunov方法以及气泡运动理论分析，在气泡第一个运动周期内，气泡运动的最稳定状态位于气泡达到最大值的时段，其他状态都不稳定，最不稳定的状态发生在气泡由最小至溃灭的时段。

2）在药包质量以及布深确定的条件下，药包半径、最大气泡半径、气泡脉动周期值为精确值，最小半径约为药包半径的10倍。

3）溃灭半径影响因素比较多，变化不规则，从理论公式上可知，溃灭半径与气含量含气量成正比，即随着气含量增加，收缩半径的最小值变大，收缩越缓慢，含气量的影响只能体现影响规律，用于计算存在很大的误差。

4）结合试验现象可知，在爆炸深度相同的情况下，药量的变换导致前半周期与后半周期存在一定的差异，两种情况下基本以最大半径为中心对称分布，最大气泡半径存在一定的稳定时段，药量大的工况下，气泡由最大衰减至最小的时间相对比较缓慢。