新课标下初中数学方程应用建模能力的培养路径

江霞

（福州第十八中学，福建 福州 350007）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对数学知识点做了小幅增删，小学阶段取消了“简易方程”，加强了对基本概念的感悟和符号意识的培养［1］。这个删减必然会对初中数学方程应用教学带来影响。数学建模能力作为数学核心素养的重要方面之一，对学生的数学学习具有重要的影响，尤其是在错综复杂的数学问题求解中，通过建模可以简化问题求解步骤，激发学生数学学习兴趣，感受数学的魅力。教师在教学中要强化培养学生的数学建模思维，并以该思维求解决具体的数学应用题，推动课堂教学内容的实践转化，提升数学方程应用教学的质量和效率［2］。初中数学方程建模旨在对既有知识点构筑数学模型，提升学生数学问题求解能力。对此，数学教师要认真思考初中阶段如何培养学生的数学方程建模能力，以便渗透数学应用意识。数学方程建模的过程，是实践和理论融合的过程，也扎实学生对相关数学问题和数学知识的学习，让其更好地领会教学思想及其蕴含的数学求解策略。

数学方程建模教学的开展，可培养学生在数学问题的求解中，以“建模思想”来解决非数学语言问题；并在合作交流乃至创造性实践中，进一步发挥学生的参与意识和参与热情。

一、初中生方程应用建模方面存在的问题

虽然小学的简易列方程解应用题为学生初中学习方程及其应用做良好的铺垫，但是还不够。初中一元一次方程、二元一次方程（组）及二元一次方程贯穿整个初中三年基本应用题、综合题，是提高学生的思维能力、数学应用和创新能力的重要途径。初中生在列方程解应用题建模方面有如下三点困难：其一，生活经验的不足或者生活经验与数学完全脱离。不少学生过着衣来伸手饭来张口的生活，对数学应用及概念经验缺乏感知，因此遇到以生活实际为背景的应用问题毫无头绪、无从下手。他们不知道如何梳理问题中的有效信息及数量关系，也不知道如何灵活地运用数学公式。其二，阅读文字和理解文字能力的欠缺。这是初中学生解应用题难的另一因素。由于大多数学生缺乏认真阅读题目的耐心和细心，对题干感悟和理解层次不足，尤其是遇到文字量较大的应用题，学生很容易视觉疲惫，分不清文字的主次，抓不住文中的关键字眼。其三，方法和技巧的欠缺。学生在平时的学习过程中，重结果轻过程，没有深刻地理解问题的本质，也没有把所学知识进行归类总结、转化为数学模型。因此，学生选择问题的分析方法时不够灵活和大胆，分析问题时比较被动和呆板，缺少动用多种途径尝试、寻找数量关系的意识和习惯。

二、初中生列方程解应用题建模能力培养路径

（一）遵循原则，构建真实学习情境

在课堂设计中，教师要遵循教学设计基本原则，设计出的建模活动目的能更明确，最终达到学以致用的效果；支持学生发掘问题，避免强加给他们额外的学习目标；设计出真实的学习情境，使学生能经历与现实世界类似的认知挑战。生活化的教学情境设计也能让学生更主动参与数学学习，有更大的主动性，还能在多模式的情境验证中求得不同的观点。通过创设情境进行教学，帮助学生在真实或接近真实的情境中有效解决相关数学问题。

在生活问题解决中，数学建模方法的养成，还需结合实践活动、社会热点、日常生活等，有效解决相关数学知识、建立模型。为引导学生深入社会、农村、工厂、企业等地方，取得第一手资料，从身边的基本问题触出发。在数学和生活的密切管理中，更好地让教学融入生活，并培养学生的应用数学思想能力。

案例1.年关将至，11 月份某服装厂每天生产女装300 套，或男装200 套，每生产一套女装需要成本50 元，可盈利24 元；每生产一套男装需要成本120元，可盈利60 元。若要使该服装厂盈利264000 元，则11 月份应安排生产女装、男装各多少天？

本题是关于利润的数学建模问题。引导学生理解生活中成本、售价、数量、利润等概念（注意单件利润与总利润的区别），提取题型中的有效信息。

已知西服、童装单件的成本和利润，生产的天数未知。若设二元，可设生产女装x天，生产男装y天。根据利润公式找等量关系，总利润=单件利润*生产数量，建立数学模型，可得方程组：

若设一元，也可根据利润的数学模型列出一元一次方程300 × 24x+200 × 60(30 -x)=264000。

在该二元一次方程知识点考察上，二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。

而二元一次方程组有解，有且只有唯一的一组解，即x,y的值只有一组。

但当方程组中上下两式相等时，则有无数个解。当两式平行时，无解，如x=y,x又等于y+1。

在解法上，减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元一次方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。即有些题型既可以设二元又可以设一元的思想，解决类似应用题。

（二）剥茧抽丝，提升数到式转化

数学建模实质上是去粗取精、去伪存真、抽象概括的过程。在当下的数学课堂教学中对初中生文字理解能力不足，如果遇到文字量大的应用题，学生会视觉疲劳，分不清题干的主次，抓不住题目中的关键字眼的问题。为此应培养学生的检索能力，让学生在移植的数学模型中，建构基本数学，并确保其在培养学生检索能力上更灵活。数学建模教学中，落实培养联系实际、全面考虑问题等的能力。为在课本知识的教学中发展学生的建模思想，除了严格数学建模的一般步骤外，还需综合培养学生的数学建模思想；在实际中解决相关问题，促进学生数学素质提高。

以列方程解应用题模型为例，求解“一元二次方程中的平均变化率”问题。

案例2.由于新冠疫情的扩散，核酸检测的需求加大，工厂加大的投资力度。2020 年用于生产核酸检测试剂投资40 万元，2021 年用于生产核酸检测试剂投资48.4 万元，求两年间生产核酸检测试剂投资的平均年增长率。

1.引导学生思考，设这两年生产核酸检测试剂投资的平均增长率为x，那么2021 年用于生产核酸检测试剂的投资额为多少元？那么2020 年用于生产核酸检测试剂的投资额为多少元？

2.模型建立

2020 年用于生产核酸检测试剂的投资额为：40(1 +x)；2021 年用于生产核酸检测试剂的投资额为：40(1 +x)2；根据2021 年用于生产核酸检测试剂的投资48.4 万元，得到方程：40(1 +x)2=48.4。

设初始数据为m，终止数据为n，平均变化率为x，则经过两年增长或降低后得到方程形式为m(1 +x)2=n或者m(1 -x)2=n。

3.对一元二次方程求解并对俩解进行取舍，回答实际问题

解方程：40(1 +x)2=48.4

得：X1=0.1=10%，X2=-2.1（不合题意，舍去）。

故这两年生产核酸检测试剂投资的平均增长率为10%。

方程数学建模学生会根据实际问题中题干利用数学公式进行数学抽象，如上题中：2021 年用于生产核酸检测试剂的投资额为：40(1 +x)2。实际上，好多学生会错误地理解为是2 倍，而不是二次方。在解此类方程可以方程俩边同除40，再直接开平方，这样比直接去挂号求解来得简单易解；最后，根据实际意义，对答案进行检验及取舍如上题中平均年增长率为正数所以其中一个答案X2=-2.1 不合题意，舍去。

（三）挖掘教材，培养方法和技巧

应当下教学大纲和课本要求，在“基本知识、基本技术、基本技能”的系统教学环节，教师应确认识纯数学和应用数学间的关系，综合培养数学的建模能力，挖掘教材，强化建模意识。教师深入教材中心并加以钻研，在教材内涵挖掘上，对相关问题加以提炼，并寻求与实际数学建模及其教材相关的素材。一般情况下，初中应用题与大多与现实生活或具体情境相结合，教师应引导学生从中抽象出数学问题，运用信息收集与整理能力、类比能力、与创新能力等对题干进行分析、解剖，再用数学符号建立方程、不等式与方程、函数与方程等模型表示数学问题，最终找到解决方案。

在求解一元二次方程时，常见的应用题有：增长率问题、行程问题、流感问题、面积问题等。而列方程解应用题的基本步骤包括：读（读题）、找（找出题中的已知量、未知量，根据题意找等量关系）、设（设未知数，包括设直接未知数或间接未知数）、列（列一元二次方程方程）、解（解一元二次方程方程）、检验（注意解的准确性及是否符合实际意义）；答（题意所要求的答案）等6 环节。

其中，正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，笔者认为可以采取如下方式探寻等量关系：首先，要认真阅读题目，粗读、精读相结合，直至读懂题意；其次，充分理解题目中的有效条件，去除干扰项；再次，要善于发现并利用间接的、潜在的等量关系；最后，利用关键语句、公式、定理等寻找已知的数学模型，进行建模，确定解题方案，最终解答。

三、总结

在《新课标》的指导下，一线教师应该慎重考虑如何有效利用现有资源和条件，紧紧围绕数学建模能力，优化课堂教学手段，提升初中数学课堂中方程应用题教学效率［3］。巧用生活实例，激发学生建模思维；善用多样教学方式，提升学生建模能力，使其学会运用数学知识解决现实问题［4］。