构建解题模型落实化学核心素养——以水溶液中离子平衡的数学函数模型为例

河北 马俊斌

(作者单位：唐山市第二中学)

“证据推理与模型认知”是化学学科核心素养的重要组成部分，中学化学学科的认知模型从内容和形式上可分为结构模型、数学模型、概念模型、过程模型、复杂模型等。在真实情境中建构模型、运用模型是落实“证据推理与模型认知”素养的最基本途径。模型与建模是科学发展的关键要素，也是科学学习中必不可少的认知能力。

解析法又称为分析法，它是应用解析式去求解数学模型的方法。数学中用解析式表示函数或任意数学对象的方法叫解析法。

化学中的很多认知模型都离不开解析思想，尤其是平衡关系式中的一些数量关系，科学的推理分析，结合用解析的思想、构建数学模型可以巧妙地化解其中抽象的认知难点，进一步抽丝剥茧，在解题中突破各种疑难问题，笔者从几个经典问题进行模型构建，并结合热点高考问题展开论述，不当之处，还望指正。

一、弱电解质溶液中的相关计算

【模型构建】

1.对数图像模型

以弱电解质CH3COOH的电离平衡为例，已知Ka(CH3COOH)=1.75×10-5≈1.0×10-4.75，结合其电离平衡常数表达式：

对其进行对数运算可得

将其抽象为一次函数，可得斜率为1、纵截距为4.75的直线，如图1所示：

图1

将其略作数学变化可得：

将其抽象为一次函数可得斜率为-1，截距为4.75的直线，如图2所示：

图2

若简化为任意一元弱酸HX，均可得其一次函数解析关系及图像如图3及图4所示，且其截距均为其pK的数值{pK=-lg[Ka(HX)]}。

图3

图4

同理，对任意二元弱酸H2X进行解析可得：

图5

图6

对于三元弱酸，读者可依据以上过程，推导其过程及图像。

通过对一元、二元弱酸图像的解析，可构建如下解析模型：弱电解质电离平衡常数的pK值即对数图像中pH轴上的截距，且二元弱酸满足pKa1

2.物质的量分数模型

同样以弱电解质CH3COOH的电离平衡为例，已知Ka(CH3COOH)=1.75×10-5≈1.0×10-4.75，现构建如下滴定模型：向10 mL 0.1 mol·L-1的CH3COOH溶液中逐滴滴加等浓度的NaOH溶液，溶液中CH3COOH及CH3COO-的物质的量分数(δ)与pH的相关关系如图7所示：

图7

若简化为任意一元弱酸HX，均可得如图8所示的相似图像，且当δ(HX)=δ(X-)时，pH=pKa。

图8

同理，对任意二元弱酸H2X进行解析，可知随着NaOH的加入，均有如下变化关系：

所以随着pH的增大，δ(H2X)逐渐减小，δ(HX-)先增大后减小，然后δ(X2-)开始逐渐增大，当δ(HX-)达到最大值时，即峰顶值，溶液成分恰好为NaHX，当δ(H2X)=δ(HX-)时，pH=pKa1，当δ(HX-)=δ(X2-)时，pH=pKa2，如图9所示：曲线①为H2X随pH的变化关系、②为HX-随pH的变化关系、③为X2-随pH的变化关系，且a点处δ(H2X)=δ(HX-)、pH=pKa1，b点处δ(HX-)=δ(X2-)、pH=pKa2。

图9

即可得如下结论：

①pHc(HX-)>c(X2-)

④pH≥pKa2时，c(X2-)≥c(HX-)

同理可得三元弱酸模型，不再进行推导。

【模型运用】

【例1】(2021·辽宁省学业水平选择性考试·15) 用0.100 0 mol·L-1盐酸滴定20.00 mL Na2A溶液，溶液中H2A、HA-、A2-的分布分数(δ)随pH变化曲线及滴定曲线如图10。

图10

下列说法正确的是

( )

A.H2A的Ka1为10-10.25

B.c点：c(HA-)>c(A2-)>c(H2A)

C.第一次突变，可选酚酞作指示剂

D.c(Na2A)=0.200 0 mol·L-1

【参考答案】C

【解析】用盐酸滴定Na2A溶液，随着HCl溶液的滴加，有如下变化：

且所给图像将分布分数(δ)随pH变化曲线与滴定曲线融合，在此，可以将曲线拆分出如图11所示的熟悉的物质的量分数图像：

图11

结合图像解析模型，可判断Ka1=c(H+)=10-6.38，A项错误；c点处c(HA-)>c(H2A)>c(A2-)，B项错误；由图像可知，第一次突变在b点，pH为8.32，溶液呈碱性，可选酚酞作指示剂，C项正确；当盐酸加入40.00 mL，全部生成H2A，所以c(Na2A)=0.100 0 mol·L-1，D项错误。

【点评】熟练掌握物质的量分数图像中的基本解析模型，将所给图像合理解析变形，可有效解决此题的A、B两项；再结合滴定的基本知识，可高效解题。

【例2】(2017·全国卷Ⅰ·13)常温下将NaOH溶液滴加到己二酸(H2X)溶液中，混合溶液的pH与离子浓度变化的关系如图12所示。下列叙述错误的是

图12

( )

A.Ka2(H2X)的数量级为10-6

C.NaHX溶液中c(H+)>c(OH-)

D.当混合溶液呈中性时，c(Na+)>c(HX-)>c(X2-)>c(OH-)=c(H+)

【参考答案】D

【解析】己二酸H2X为二元弱酸，对图像进行解析(如图13)。

图13

图14

【点评】熟练掌握二元对数图像中的基本解析模型，可迅速区分曲线并判断K值，提升解题速度，另外物质的量分数图像的解析模型辅助更加强有力地解决了此题中的难点。

二、沉淀溶解平衡中的相关计算

【模型构建】

对其进行对数运算可得lg[Ksp(AgCl)]=lgc(Ag+)+lgc(Cl-)=-9.75

化简得-lgc(Ag+)+[-lgc(Cl-)]=9.75

将其抽象为一次函数可得斜率为-1、截距为9.75的直线，如图15及图16所示：

图15

图16

若简化为任意一元沉淀MA，有

Ksp(MA)=c(M+)·c(A-)，

对其进行对数运算可得：

-lgc(M+)+[-lgc(A-)]=pKsp

将其解析为一次函数可得斜率为-1、截距与pKsp数值相等的直线，如图17及图18所示：

图17

图18

且由于浓度随坐标轴的变化，在直线下方，一定有沉淀析出，在直线上方，则为澄清溶液。除此之外，物质的Ksp越小，对应图像的截距越大。

同理，多元沉淀可自行推导。

【模型运用】

图19

( )

A.曲线①代表BaCO3的沉淀溶解曲线

B.该温度下BaSO4的Ksp(BaSO4)值为1.0×10-10

C.加适量BaCl2固体可使溶液由a点变到b点

【参考答案】B

图20

【点评】熟练掌握沉淀溶解平衡对数图像的解析模型，可迅速区分曲线并判断K值，提升解题速度，为解决后续选项奠定基础。

【例4】(2021·全国乙卷·13)HA是一元弱酸，难溶盐MA的饱和溶液中c(M+)随c(H+)而变化，M+不发生水解。实验发现，298 K时c2(M+)—c(H+)为线性关系，如图21中实线所示。

图21

下列叙述错误的是

( )

A.溶液pH=4时，c(M+)<3.0×10-4mol·L-1

B.MA的溶度积Ksp(MA)=5.0×10-8

C.溶液pH=7时，c(M+)+c(H+)=c(A-)+c(OH-)

D.HA的电离常数Ka(HA)≈2.0×10-4

【参考答案】C

图22

【点评】此题难度很大，科学的过程分析是解决本题的关键，而这也更加印证了证据推理与模型认知之间的统一关系，科学的推理分析才能为进一步的模型解析构建基础和平台。在科学的过程分析之后，解析模型的构建同时也需要有扎实的必备知识及学科能力为支撑，得出解析模型之后，几个选项便迎刃而解。

科学的模型构建可以使抽象的事物具体化，复杂的事物简单化。构建模型的过程本身就是完善证据推理，通过模型构建、模型运用、解决问题，形成有序的思维模型，也正是落实核心素养的过程。数学中的一些基本思维、基本模型，都是解决问题的有效方法，尤其是化学反应原理中的运算模型，合理的利用解析法进行学科融合，构建有效的认知模型，不仅在解题中事半功倍，更加可以加深对学科知识的认识理解。落实核心素养，不仅要求师生对化学学科知识有科学合理的认知，更要求对数学模型不断学习，以促进化学认知模型的认知与构建，更好的落实化学核心素养。